王文慶, 馬一鳴

(西安郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710121)

液位控制是工業(yè)生產(chǎn)中的一類常見問題，在飲料和食品加工、溶液過濾、化工生產(chǎn)等多種行業(yè)的生產(chǎn)加工過程中都需要對(duì)液位進(jìn)行適當(dāng)?shù)目刂芠1]。大部分液位控制系統(tǒng)可以抽象為雙容水箱液位控制模型[2-3]。雙容水箱作為一種典型的非線性時(shí)滯被控對(duì)象，研究其建模和控制具有重要的意義。

可以利用傳遞函數(shù)系統(tǒng)建模[4-6]來研究雙容水箱的液位控制。作為一種系統(tǒng)外部描述，傳遞函數(shù)對(duì)于單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和綜合比較有效，但其只能反映系統(tǒng)外部變量間的因果關(guān)系，難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特性，也難以有效處理多輸入-多輸出系統(tǒng)[7]。

狀態(tài)空間的描述方法不但可以反映系統(tǒng)的輸入-輸出外部特性，而且能夠揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性，其既適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)又適用于多輸入-多輸出系統(tǒng)[7]。工程應(yīng)用中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)機(jī)理很難描述，非線性、不確定因素很難用精確的數(shù)學(xué)模型衡量[8]。目前關(guān)于非線性、不確定系統(tǒng)的研究主要運(yùn)用范數(shù)有界不確定性假設(shè)以及匹配條件假設(shè)，多集中于具有時(shí)滯的非線性、不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性方向，這一點(diǎn)并不切合實(shí)際[8]。例如，文[9]以范數(shù)有界性定理為前提，研究滿足魯棒穩(wěn)定性條件的不確定干擾；文[10]研究的魯棒控制問題是一類帶非線性擾動(dòng)的范數(shù)有界,時(shí)變參數(shù)不確定系統(tǒng)；文[11]以系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制率為研究對(duì)象，其不確定性參數(shù)具有時(shí)變未知,但范數(shù)有界的特點(diǎn)；文[12]采用了構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函時(shí)間導(dǎo)數(shù)上界的方法研究時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性。以上研究均要求受到不確定干擾的研究對(duì)象滿足匹配條件，而在工業(yè)實(shí)際生產(chǎn)中，滿足范數(shù)有界不確定性假設(shè)以及匹配條件假設(shè)的不確定干擾無法涵蓋所有的不確定干擾情況，這些穩(wěn)定控制方法依舊具有較大的局限性，無法有效地控制不滿足條件的非線性及不確定干擾，可控范圍相對(duì)較小。

基于以上分析，本文擬采用狀態(tài)方程的方法對(duì)水箱系統(tǒng)進(jìn)行研究分析，著重分析水箱系統(tǒng)中的非線性干擾因素，并進(jìn)一步研究不滿足匹配條件的不確定干擾的雙容水箱系統(tǒng)的魯棒控制，依據(jù)文[8]的非線性魯棒控制理論，結(jié)合模糊系統(tǒng)，設(shè)計(jì)模糊非線性逼近器，并仿真驗(yàn)證該控制理論的實(shí)際可行性及控制效果。

1 雙容水箱系統(tǒng)建模

工業(yè)水箱系統(tǒng)可抽象為一個(gè)雙容水箱液位系統(tǒng)，由上、下兩個(gè)水箱組成，如圖1所示。

圖1 雙容水箱模型

圖1中，上水箱W1的長(zhǎng)、寬、高分別為l1、w1、h1，橫截面積為S1；下水箱W2的長(zhǎng)、寬、高分別l2、w2、h2，橫截面積為S2。上水箱W1上端有一入水閥門T0，上、下水箱間有控水閥門T1相連，下水箱W2底部有一出水閥門T2，閥門T0、T1、T2的管徑分別為d0、d1、d2，其阻力系數(shù)分別為R0、R1、R2。

根據(jù)物料平衡原則[4]，分別對(duì)水箱W1、W2建立平衡方程式

(1)

(2)

其中，D0為上水箱W1的入水量；D1為上水箱W1的出水量，即下水箱W2的入水量；D2為下水箱W2的出水量；H1為上水箱W1的液位高度；H2為下水箱W2的液位高度；t為時(shí)間變量。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[13]

整理得

(3)

其中

C1=S1R1,C2=S2R2。

設(shè)計(jì)雙容水箱液位系統(tǒng)為單輸入-單輸出系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入為上水箱W1的入水流量D0，系統(tǒng)輸出為下水箱W2的液位高度H2，令

則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(4a)

(4b)

式(4)是抽象雙容水箱液位系統(tǒng)的狀態(tài)方程，是一個(gè)相對(duì)理想的數(shù)學(xué)模型，是無干擾、無時(shí)滯情況下的數(shù)學(xué)抽象。記

式(4a)又可寫為

x′=Ax+Bu。

(5)

實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過程存在非線性因素。雙容水箱液位系統(tǒng)中，不確定性因素主要包括2個(gè)方面：一是系統(tǒng)本身的不確定性，例如水箱工作環(huán)境的變化、控水閥門參數(shù)的不確定性、降階和非線性系統(tǒng)的線性化等；二是外部干擾的不確定性，例如被控過程中的各種干擾信號(hào)。因此，式(5)所表示的理想系統(tǒng)與實(shí)際情況相比誤差較大。

設(shè)考慮各種不確定性及輸入干擾后式(5)的一般形式為

x′=Ax+Δf(x,t)+B(u+Δg(x,t))。

(6)

其中，Δf(x,t)是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定性或干擾，主要來源于水箱、閥門參數(shù)、建模線性化假設(shè)等；Δg(x,t)是系統(tǒng)的輸入通道上的不確定性或干擾，主要來源于環(huán)境干擾等。該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)(6)狀態(tài)反饋的閉環(huán)結(jié)構(gòu)

圖2中，C表示需要合成的非線性魯棒控制器。顯然，式(6)的系統(tǒng)不再是線性的，常規(guī)的線性反饋控制器無法對(duì)其鎮(zhèn)定。下面將針對(duì)式(6)系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器。

2 控制器設(shè)計(jì)

為了設(shè)計(jì)非線性控制器，對(duì)式(6)系統(tǒng)的不確定性作如下假設(shè)

‖Δf(x,t)‖≤ζ(x),x∈U;‖Δg(x,t)‖≤η(x),x∈U。

(7)

其中，ζ(x)、η(x)是未知的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，‖·‖表示歐式范數(shù)。

由線性系統(tǒng)理論可知，式(6)所對(duì)應(yīng)的式(5)為線性系統(tǒng)，即存在一個(gè)線性反饋u=Kx,使對(duì)任意給定的正定對(duì)稱矩陣Q，Lyapunov方程

(A+BK)TP+P(A+BK)=-Q

(8)

存在唯一正定矩陣解P。

考慮(6)所表示的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下非線性魯棒控制器

u=ua+ub+uc。

(9)

其中

(10a)

(10b)

其中，α、β為可調(diào)正常數(shù)，滿足

(11)

其中，λmax(P)表示矩陣P的最大特征值，λmin(Q)表示矩陣Q的最小特征值。α、β應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)(6)的狀態(tài)、自適應(yīng)律、收斂速度及范圍來選取。若取

則式(11)被滿足。

其中，取正定函數(shù)

是常數(shù)，取λ=min{λ0,α,β}。

3 模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本部分設(shè)計(jì)相關(guān)的非線性逼近器。根據(jù)模糊系統(tǒng)的萬能逼近性質(zhì)，構(gòu)造非線性逼近器，作用于復(fù)雜系統(tǒng)(6)中的不確定干擾。選用由模糊規(guī)則庫、模糊推理機(jī)、模糊產(chǎn)生器和模糊消除器4部分組成的模糊系統(tǒng)，如圖3所示。

式中直接電能Edirect的計(jì)算方式如式(1)～式(8)所示，間接能耗Eindirect的計(jì)算方式如式(9)～式(15)所示。

圖3 模糊系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

以單點(diǎn)模糊化、乘積推理、中心解模糊和具有如下的模糊規(guī)則的模糊系統(tǒng)為例

(12)

(13)

為常數(shù)。若令

則式(13)可以表示為

z=θTE(v)。

(14)

即為所尋找的非線性逼近器。該逼近器可以以任意精度逼近有界閉集上的未知連續(xù)函數(shù)[16]。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 水箱系統(tǒng)的初始參數(shù)與Simulink模型

使用MATLAB 8.6軟件包仿真。基于模糊非線性逼近的魯棒控制Simulink模型，如圖4所示。

圖4 雙容水箱魯棒控制Simulink仿真模型

模糊逼近器模塊為雙輸入-單輸出系統(tǒng)，輸入Ⅰ為水箱W2液位高度，輸入Ⅱ?yàn)樗鋀2液位高度變化率；輸出結(jié)果為水箱系統(tǒng)總進(jìn)水量D0。

選取水箱W1尺寸為長(zhǎng)3 m、寬2 m、高2.5 m，水箱W2尺寸為長(zhǎng)3 m、寬2 m、高2.5 m；閥門T0、T1、T2的管徑分別取為d0、d1、d2均為0.02 m，經(jīng)查表得其阻力系數(shù)分別為

R0=0.15,R1=0.15,R2=0.15。

通過分析水箱實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停鋀2液位高度的區(qū)間選取為[0,2.5]，水箱W2液位高度變化率的區(qū)間選取為[-17,5]，水箱系統(tǒng)總進(jìn)水量D2的區(qū)間選取為[0,18]。系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)為控制水箱W2液位高度并使其保持在區(qū)間(0,2.5)內(nèi)。

將輸入Ⅰ的語言值用模糊集合“水位低(h1)”、“水位較低(h2)”、“水位適中偏低(h3)”、“水位適中(h4)”、“水位適中偏高(h5)”、“水位較高(h6)”、“水位高(h7)”表示；將輸入Ⅱ的語言值用模糊集合“負(fù)小(r1)”、“負(fù)較小(r2)”、“負(fù)中(r3)”、“負(fù)(r4)”、“零(r5)”、“正(r6)”、“正大(r7)”表示；將輸出的語言值用模糊集合“關(guān)(q1)”、“半關(guān)(q2)”、“小開(q3)”、“中開(q4)”、“開(q5)”、“大開(q6)”、“全開(q7)”表示。即

輸入Ⅰ 水箱W2液位高度

{h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7}。

輸入Ⅱ 水箱W2液位高度變化率

{r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7}。

輸出 水箱系統(tǒng)總進(jìn)水量D0

{q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7}。

建立的模糊規(guī)則，如表1所示。

表1 模糊規(guī)則表

經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)，選取模糊輸入Ⅰ、Ⅱ及輸出的隸屬函數(shù)，如圖5所示。

(a) 輸入Ⅰ

(b) 輸入Ⅱ

(c) 輸出

4.2 模糊逼近控制器控制效果驗(yàn)證

仿真初始值選取x1=1 m，x2=1 m/s；首先假設(shè)干擾為零。模糊逼近器仿真效果，如圖6所示。

圖6中，虛線為無干擾時(shí)控制器作用下的W2液位高度變化曲線，即水箱系統(tǒng)在理想環(huán)境中的工作狀態(tài)?？梢钥闯?，系統(tǒng)在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到了平衡狀態(tài)，上升沿和峰值出現(xiàn)的時(shí)間都很短，調(diào)節(jié)很快，且超調(diào)量極小，控制性能良好。

首先取干擾項(xiàng)

仿真曲線如圖6(a)所示?？梢钥闯?，加上干擾對(duì)控制效果無顯著影響，即說明控制器對(duì)該非線性干擾的控制有效。

進(jìn)一步取干擾項(xiàng)分別為

Δf2=x2sinx1+0.1,
Δg2=x2cos(x2x1),
Δf3=x2sinx1+x2cos(x1x2),
Δg3=x2cos(x2x1)+x2,
Δf4=x2ex2sinx1+x2cos(x1x2),
Δg4=x2cos(x2x1)+x2sinx1,

仿真曲線如圖6(b)、圖6(c)、圖6(d)所示。從圖中可以看出，雖然干擾項(xiàng)的復(fù)雜性不斷增加，除超調(diào)量有所增加外，其它各項(xiàng)性能指標(biāo)依然良好，表明所設(shè)計(jì)控制器的抗干擾性能良好。

(a) 當(dāng)干擾為Δf1、Δg1時(shí)的水箱液位高度

(b) 當(dāng)干擾為Δf2、Δg2時(shí)的水箱液位高度

(c) 當(dāng)干擾為Δf3、Δg3時(shí)的水箱液位高度

(d) 當(dāng)干擾為Δf4、Δg4時(shí)的水箱液位高度

4.3 與基于傳遞函數(shù)的控制器仿真對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證控制器的魯棒性，將模糊逼近器與文[6]中的基于傳遞函數(shù)的控制器進(jìn)行仿真對(duì)比，隨機(jī)選取3組不同的初始值進(jìn)行仿真，第一組初值為

x1=1,x2=-1；

第二組初值為

x1=2,x2=1.1；

第三組初值為

x1=0.5,x2=-5。

每組初值均在無干擾和有干擾情況下仿真，干擾項(xiàng)統(tǒng)一選為

Δf4=x2ex2sinx1+x2cos(x1x2),
Δg4=x2cos(x2x1)+x2sinx1。

仿真結(jié)果，如圖7～圖9所示。

(a) 無干擾

(b) 有干擾

(a) 無干擾

(b) 有干擾

(a) 無干擾

(b) 有干擾

圖7～圖9中，虛線為基于傳遞函數(shù)的控制器作用下的曲線，實(shí)線為本文設(shè)計(jì)控制器作用下的曲線。每組圖中，圖(a)為無干擾的情況，圖(b)為加入干擾時(shí)的情況。

從圖7(a)可以看出，基于傳遞函數(shù)的控制器的仿真結(jié)果圖有一個(gè)明顯向下的峰值，超調(diào)量明顯大于模糊逼近器的仿真結(jié)果，且基于傳遞函數(shù)的控制器的波形在仿真時(shí)間為15 s時(shí)才趨近平衡，調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于模糊逼近器控制下的仿真結(jié)果。在圖7(b)中，干擾對(duì)模糊逼近器控制下的系統(tǒng)仿真結(jié)果沒有明顯的影響，各項(xiàng)性能指標(biāo)與無干擾時(shí)沒有差別，而基于傳遞函數(shù)的控制器控制下的系統(tǒng)仿真結(jié)果的超調(diào)量有所增加。

從圖8(a)、圖8(b)可以看出，在該組初始值情況下，模糊逼近器與基于傳遞函數(shù)的控制器作用下的仿真結(jié)果超調(diào)量基本相同，但基于傳遞函數(shù)的控制器作用下的仿真結(jié)果的調(diào)節(jié)時(shí)間依然大于模糊逼近器控制下的系統(tǒng)仿真結(jié)果。兩種控制器對(duì)于干擾的控制作用均較為穩(wěn)定。

圖9(a)顯示，在模糊逼近器控制下的系統(tǒng)仿真結(jié)果的超調(diào)量極小，調(diào)節(jié)時(shí)間很短，而基于傳遞函數(shù)的控制器作用下的仿真結(jié)果超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)大于模糊逼近器的仿真結(jié)果，且下水箱液位高度在短時(shí)間內(nèi)為負(fù)數(shù)值，從實(shí)際物理意義分析，已經(jīng)超出了區(qū)間范圍，也可以說基于傳遞函數(shù)的控制器未對(duì)水箱液位系統(tǒng)產(chǎn)生有效的控制。圖9(b)中模糊逼近器控制結(jié)果有效且控制性能良好，而基于傳遞函數(shù)的控制器仿真結(jié)果存在波動(dòng)，且仿真波形超出區(qū)間范圍。所設(shè)計(jì)的模糊逼近器的控制范圍較基于傳遞函數(shù)的控制器大，對(duì)系統(tǒng)初值的選取不敏感，魯棒性強(qiáng)。

6 結(jié)語

針對(duì)雙容水箱的液位控制問題，以物料平衡原理和狀態(tài)方程的方法，建立了區(qū)別于基于傳遞函數(shù)的控制方法的液位控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型；根據(jù)模糊系統(tǒng)的萬能逼近性質(zhì)及魯棒控制原理，設(shè)計(jì)了基于模糊非線性逼近的魯棒控制器。利用MATLAB軟件包對(duì)該控制器進(jìn)行了仿真，并利用雙容水箱系統(tǒng)驗(yàn)證該控制器的控制效果。通過選取多組水箱系統(tǒng)初始值驗(yàn)證了控制器的穩(wěn)定性，證明該控制器對(duì)于系統(tǒng)初值選取不敏感；通過不同復(fù)雜度的不確定項(xiàng)，證明了隨著不確定干擾復(fù)雜度的增加，除超調(diào)量有所增大外，其他控制性能沒有明顯變化，控制效果較好。將本文所設(shè)計(jì)的非線性魯棒控制器與基于傳遞函數(shù)的控制器進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不確定干擾復(fù)雜度增加、初值選取變化較大時(shí)，傳遞函數(shù)控制器已無法有效控制系統(tǒng)穩(wěn)定，而所設(shè)計(jì)的魯棒控制器依然控制有效且性能穩(wěn)定，較傳遞函數(shù)控制器，該控制器調(diào)節(jié)時(shí)間更短，超調(diào)量更小，對(duì)初值選取不敏感。