單文娟　湯偉　劉炳

摘要：針對(duì)橫幅定量控制系統(tǒng)是高維、大規(guī)模稀疏的非方關(guān)聯(lián)矩陣，利用矩陣分塊法及變換因子將其轉(zhuǎn)化為低維耦合方陣，并設(shè)計(jì)了基于對(duì)象模型的伴隨矩陣解耦器，將多變量控制問題轉(zhuǎn)化為單回路群控制問題。以實(shí)驗(yàn)用稀釋水水力式流漿箱為例進(jìn)行定量計(jì)算及解耦器設(shè)計(jì)，有效地完成了稀釋水閥開度調(diào)節(jié)，減小了紙張定量波動(dòng)，為先進(jìn)橫幅定量控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供理論參考。

關(guān)鍵詞：紙張定量；多輸入多輸出過程；解耦；稀疏矩陣

中圖分類號(hào)：TS736

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：1011981/jissn1000684220180244

定量是反映紙張質(zhì)量的重要參數(shù)，也是造紙自動(dòng)控制系統(tǒng)中最主要的受控參量。成品紙張的定量特征可用二維坐標(biāo)系統(tǒng)描述：沿紙機(jī)運(yùn)行方向（Machine Direction，簡稱MD）和橫跨紙機(jī)方向（Cross Direction，簡稱CD）構(gòu)成2個(gè)坐標(biāo)軸。定量控制是使紙張定量在縱向與橫向都保持均勻[1]。MD定量值差異的原因較簡單，目前已取得較為令人滿意的研究成果。而CD定量控制技術(shù)較復(fù)雜，理論研究進(jìn)展相對(duì)緩慢，CD定量控制也受到越來越多的關(guān)注。

稀釋水水力式流漿箱采用向紙機(jī)橫幅方向勻漿器的支管上游注入稀釋水的辦法來調(diào)節(jié)全幅定量，流漿箱的唇口開度是全幅均勻一致的，消除了傳統(tǒng)調(diào)節(jié)方法的缺點(diǎn)，被越來越廣泛地應(yīng)用于造紙過程中。通過調(diào)節(jié)某稀釋水閥開度來改變?cè)撎幍木植慷繒r(shí)，流體流動(dòng)的沖擊特性會(huì)對(duì)兩側(cè)鄰域產(chǎn)生影響[2]，以及漿流的流速與濃度、稀釋水的流速及濃度、整流室的結(jié)構(gòu)都會(huì)對(duì)稀釋水的橫向擴(kuò)散造成影響。當(dāng)某個(gè)稀釋水閥動(dòng)作時(shí)，會(huì)影響相鄰若干范圍內(nèi)的紙張CD定量值，且CD定量控制系統(tǒng)中橫向測(cè)量點(diǎn)和稀釋水閥數(shù)量較多（橫向測(cè)量點(diǎn)數(shù)量從200至2000不等，稀釋水閥數(shù)量最多達(dá)300），最終產(chǎn)生的結(jié)果就是不同稀釋水閥控制區(qū)域相互重疊，在控制上表現(xiàn)出強(qiáng)耦合特性。加上很多不可測(cè)干擾，使得系統(tǒng)成為一個(gè)高維、多變量、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，常規(guī)的控制算法難以滿足CD定量控制系統(tǒng)的需求。

為取得滿意的控制效果，本研究全面分析了CD定量控制系統(tǒng)的耦合特點(diǎn)，利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)合模擬仿真，計(jì)算出耦合矩陣。鑒于計(jì)算的耦合矩陣為一個(gè)非方的高維大規(guī)模稀疏矩陣，不便于算法研究。本研究通過矩陣分塊法，將非方的耦合矩陣化為方陣，并根據(jù)實(shí)際映射關(guān)系，對(duì)每個(gè)分塊矩陣采用加權(quán)平均法獲得變換因子，進(jìn)行系統(tǒng)降維，從而將高維非方矩陣映射為維數(shù)與稀釋水閥數(shù)量一致的低維方陣。在不影響模型精度下，解決了橫向測(cè)量點(diǎn)和執(zhí)行器之間的一一對(duì)應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)化方降維后的耦合關(guān)聯(lián)矩陣，設(shè)計(jì)對(duì)角化解耦器，完成多變量的解耦。從而將多輸入多輸出系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為回路數(shù)量與稀釋水閥數(shù)量一致的單回路群控制問題，多個(gè)單回路的獨(dú)立控制有效地降低了系統(tǒng)控制難度，達(dá)到控制要求。

1CD定量控制系統(tǒng)概述

CD定量控制過程如圖1所示，定量傳感器安裝在紙機(jī)卷取部前的掃描架上。CD定量控制系統(tǒng)主要由三大部分組成：數(shù)據(jù)采集部分、控制器部分、執(zhí)行器部分。負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)采集的掃描儀，通過對(duì)紙幅做橫向往復(fù)的掃描運(yùn)動(dòng)，測(cè)量整個(gè)紙幅的定量。伴隨著MD的紙幅運(yùn)動(dòng)，掃描架傳感器在紙幅上形成一個(gè)“Z”字形的掃描路徑[3]。掃描的數(shù)據(jù)送到控制器中進(jìn)行算法處理，稀釋水閥執(zhí)行器執(zhí)行控制器計(jì)算轉(zhuǎn)化來的相應(yīng)控制量，執(zhí)行器的數(shù)量將隨著紙幅寬度的增大而增多，導(dǎo)致控制問題的規(guī)模非常龐大。整個(gè)CD定量控制系統(tǒng)涉及到數(shù)據(jù)的采集、處理、控制動(dòng)作的計(jì)算及對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制等步驟，是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)。

2CD定量數(shù)學(xué)模型分析

CD定量控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型包括2個(gè)部分：一部分是貫穿整個(gè)橫幅的稀疏關(guān)聯(lián)矩陣，另一部分是從稀釋水閥執(zhí)行器到對(duì)應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的紙機(jī)縱向傳遞函數(shù)。要將整個(gè)橫幅的定量控制好，就要對(duì)這2部分分別采取對(duì)應(yīng)的控制策略：一是每個(gè)稀釋水閥的回路控制，二是稀釋水閥和測(cè)量點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)影響。

當(dāng)整個(gè)紙幅橫向上有m個(gè)測(cè)量點(diǎn)和n個(gè)稀釋水閥時(shí)，就引入了一個(gè)m×n的關(guān)聯(lián)矩陣[4]，紙機(jī)的 CD定量控制模型如下：

Y（s）為CD定量測(cè)量點(diǎn)的輸出值；U（s）為稀釋水閥的調(diào)節(jié)量；G0∈Rm×n為整個(gè)系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣，gmn則指第n個(gè)執(zhí)行器對(duì)第m個(gè)測(cè)量點(diǎn)的影響系數(shù)。整個(gè)橫向的耦合關(guān)系被關(guān)聯(lián)矩陣靜態(tài)處理，為后續(xù)的解耦算法做好準(zhǔn)備。在CD定量控制系統(tǒng)中，每個(gè)執(zhí)行器的物理特性相同，且其傳遞函數(shù)h（s）用一階慣性加滯后（FOPDT）來描述，T為慣性時(shí)間常數(shù)，τ為滯后時(shí)間。

21關(guān)聯(lián)矩陣量化過程

關(guān)聯(lián)矩陣測(cè)量值維數(shù)m遠(yuǎn)高于執(zhí)行器維數(shù)n，一般橫向測(cè)量點(diǎn)數(shù)是執(zhí)行器數(shù)量的3～5倍（3n圖2執(zhí)行器和測(cè)量點(diǎn)映射關(guān)系

由于本例中CD定量測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量是執(zhí)行器數(shù)量的5倍，所以，每隔5個(gè)點(diǎn)設(shè)置一個(gè)執(zhí)行器。在每個(gè)執(zhí)行器影響的兩邊各26個(gè)測(cè)量點(diǎn)中，執(zhí)行器對(duì)正下游位置的測(cè)量點(diǎn)影響程度最強(qiáng)，耦合系數(shù)最大，如圖2中實(shí)線所示；隨著距離的增大，執(zhí)行器對(duì)測(cè)量點(diǎn)的影響程度將逐漸減小；如果超出26個(gè)橫向間隔，執(zhí)行器對(duì)測(cè)量點(diǎn)的影響作用甚弱?？梢?，紙幅上某點(diǎn)的定量值是否受到某個(gè)執(zhí)行器的影響取決于兩者之間的橫向距離。得到的關(guān)聯(lián)矩陣G0見式（3）（第i列中g(shù)1所在的位置即為第i個(gè)執(zhí)行器正下方對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)的位置）。

為得到關(guān)聯(lián)矩陣的具體數(shù)值，需知g（x），即當(dāng)某個(gè)稀釋水閥動(dòng)作時(shí)，其對(duì)兩側(cè)漿流濃度影響的函數(shù)關(guān)系。但紙漿濃度調(diào)節(jié)存在逆向響應(yīng)，逆向響應(yīng)曲線如圖3所示，即當(dāng)某個(gè)稀釋水閥開度增大時(shí)，該閥對(duì)應(yīng)的沿紙機(jī)方向（即縱向）的漿流區(qū)域的濃度會(huì)降低，但兩側(cè)區(qū)域的濃度不但不降低，反而有所增加[6]，這為CD定量控制帶來很大麻煩。需建立濃度稀釋的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)一步消除或平衡兩側(cè)逆向響應(yīng)，按照?qǐng)D4中改造后的響應(yīng)曲線計(jì)算g（x）。

參考國外學(xué)者給出的單個(gè)執(zhí)行器的響應(yīng)曲線表達(dá)式：

g（x）=r2

{e-α（x+βξ）2ξ2cos[π（x+βξ）ξ]+e-α（x-βξ）2ξ2cos[π（x-βξ）ξ]}（6）

其中，x為測(cè)量點(diǎn)相對(duì)位置，r為增益參數(shù)，α為衰減參數(shù)，ξ為寬度參數(shù)，β為差異參數(shù)，這些參數(shù)用來表征空間響應(yīng)曲線的形狀。g（x）刻畫了當(dāng)某個(gè)稀釋水閥動(dòng)作時(shí)，其對(duì)兩側(cè)漿流濃度造成的影響[7]。

分析響應(yīng)函數(shù)，通過一系列的參數(shù)范圍調(diào)整驗(yàn)證，可從帶逆向響應(yīng)的曲線1和曲線2變換出消除逆向響應(yīng)的曲線3，如圖5所示。曲線1的r=1，ξ=20，α=15，β=0；曲線2的r=25，ξ=20，α=15，β=04；曲線3的r=1，ξ=40，α=15，β=04。

圖5不同參數(shù)的響應(yīng)曲線

對(duì)于改造后的響應(yīng)曲線3，按照設(shè)定曲線參數(shù)，代入到g（x）中，逐一計(jì)算出G0=[g1，g2，…，gn]中每列g(shù)i的所有元素，從而得到系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣G0的具體數(shù)值。

在計(jì)算gi（k）時(shí)，發(fā)現(xiàn)過某個(gè)點(diǎn)后，gi（k）衰減很快，幾乎接近于0，為了降低運(yùn)算，進(jìn)行了截?cái)嗖僮?，將小?0-3的值近似為0。得到的G0是一個(gè)320×64維的包含大量0元素的稀疏帶狀矩陣，見圖6。其中，非0數(shù)據(jù)反映了各橫向位置的耦合系數(shù)，帶狀寬度體現(xiàn)了耦合的強(qiáng)度。圖7為G0的非0數(shù)據(jù)分布，主對(duì)角線上各元素較大，其余元素很小，即具有小范圍耦合特性的非方高維對(duì)稱關(guān)聯(lián)矩陣。

22關(guān)聯(lián)矩陣降維化方

G0是一個(gè)m×n維矩陣，實(shí)際上是一個(gè)m×n維控制系統(tǒng)，且實(shí)際中的m一般遠(yuǎn)大于n，這一點(diǎn)無疑增加了控制難度：大量的輸入輸出變量容易使得離線控制器不精確；較大的在線計(jì)算量和紙機(jī)的快速性使得運(yùn)算速度較慢；高維的被控對(duì)象模型很難辨識(shí)。為便于算法研究，要將高維的控制系統(tǒng)進(jìn)行兩步運(yùn)算：降維、化方，把G0映射成低維的n×n的方陣。

221關(guān)聯(lián)矩陣的分塊劃分

不同的紙機(jī)，關(guān)聯(lián)矩陣G0是不同的。假設(shè)紙機(jī)的橫向耦合寬度為z，即每個(gè)輸入量只對(duì)它左右各z個(gè)輸出量有影響，本例中z=2。則320×64維的G0可劃分為由塊矩陣G1、G2、G3、G4組成的一個(gè)形似方陣的矩陣。

由式（7）可以看出，變化過程中應(yīng)用到了所有的原始CD定量數(shù)據(jù)，并且考慮到了耦合關(guān)系，因而避免了有用信息丟失的缺點(diǎn)。然而，G0仍是一個(gè)320×64維矩陣，需進(jìn)一步對(duì)分塊后的G0矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換成一個(gè)64×64的方形矩陣。

222關(guān)聯(lián)矩陣的化方轉(zhuǎn)化

對(duì)CD定量數(shù)據(jù)進(jìn)行高維到低維的變換，關(guān)鍵之處在于怎樣得到變換因子，為此，可考慮采用如下方法：首先，改變某個(gè)執(zhí)行器的設(shè)定值；其次，觀察穩(wěn)定后的CD定量曲線，發(fā)生改變的數(shù)據(jù)點(diǎn)（可以是若干個(gè)）即為與此執(zhí)行器相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。而在進(jìn)行數(shù)據(jù)的高低維變換時(shí)，應(yīng)利用到所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)。假定第j個(gè)執(zhí)行器對(duì)應(yīng)實(shí)際紙幅上的位置為xj，第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)際紙幅上的位置為x′i，可認(rèn)為某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于某個(gè)執(zhí)行器的權(quán)值與它們之間在紙幅上的對(duì)應(yīng)距離有關(guān)系。借助加權(quán)平均法獲得變換因子：gi=e-（x′i-xjα）2/∑ni=1e-（x′i-xjα）2；其中，α為非0實(shí)常數(shù)。經(jīng)計(jì)算，各分塊矩陣可映射為：g1=03，g2=07，g3=07，g4=03。因此，關(guān)聯(lián)矩陣G0從一個(gè)大規(guī)模稀疏的分塊矩陣轉(zhuǎn)化為低維的數(shù)值型方陣。紙幅成形過程中，在忽略邊緣效應(yīng)的情況下，整個(gè)紙幅以及機(jī)械結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，故方陣化后的關(guān)聯(lián)矩陣具有托普利茨（Toeplitz）對(duì)稱矩陣結(jié)構(gòu)（任意一條平行于主對(duì)角線的直線上的元素相同），見式（9）。

根據(jù)Toeplitz矩陣特性，關(guān)聯(lián)矩陣=Toeplitz（f），其中，f=[1，07，03，0，…，0]。對(duì)稱關(guān)聯(lián)矩陣中有大量的0元素，其中的非0元素則造成了執(zhí)行器之間的強(qiáng)耦合。

3耦合特性分析及解耦器設(shè)計(jì)

31耦合特性分析

本例中，流漿箱上安裝64個(gè)執(zhí)行器，每個(gè)執(zhí)行器控制1個(gè)區(qū)域，整個(gè)紙幅橫向定量分成64個(gè)區(qū)，通過Toeplitz矩陣求解結(jié)果，可以看出，當(dāng)?shù)趇個(gè)執(zhí)行器動(dòng)作時(shí)，該執(zhí)行器對(duì)正下方的i區(qū)域影響最大，關(guān)聯(lián)系數(shù)為1，左右兩邊也受到逐漸衰弱的影響，如（i±1）區(qū)域關(guān)聯(lián)系數(shù)為07，（i±2）區(qū)域關(guān)聯(lián)系數(shù)為03。即當(dāng)?shù)趇個(gè)執(zhí)行器調(diào)節(jié)量為ui時(shí)，為了保持i區(qū)域左右兩側(cè)的定量均勻，還需要對(duì)第（i±1）執(zhí)行器分別進(jìn)行07ui的調(diào)節(jié)，對(duì)第（i±2）執(zhí)行器分別進(jìn)行03ui的調(diào)節(jié)。在CD定量控制系統(tǒng)中，希望每個(gè)執(zhí)行器之間是獨(dú)立的，即當(dāng)檢測(cè)到i區(qū)域定量有偏差時(shí)，信號(hào)通過QCS系統(tǒng)計(jì)算出執(zhí)行器的調(diào)節(jié)量，控制第i個(gè)執(zhí)行器，消除對(duì)應(yīng)區(qū)域定量差，同時(shí)無需調(diào)節(jié)第（i±1）、（i±2）執(zhí)行器。對(duì)此，需增設(shè)解耦器，實(shí)現(xiàn)64個(gè)執(zhí)行器與64個(gè)測(cè)量區(qū)域的一一對(duì)應(yīng)。

32解耦器的設(shè)計(jì)

基于降維化方后的關(guān)聯(lián)矩陣，在控制器和被控對(duì)象之間，添加一個(gè)解耦器，在解耦器與關(guān)聯(lián)矩陣作用后，被控對(duì)象解耦成對(duì)角形式或主對(duì)角占優(yōu)的形式，從而設(shè)計(jì)對(duì)角控制器[8]，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的完全解耦。帶有解耦器的控制結(jié)構(gòu)如圖8所示。

在CD定量系統(tǒng)中，耦合作用被作為一個(gè)靜態(tài)關(guān)系處理，在被控過程的輸入端設(shè)置靜態(tài)解耦器。對(duì)于上述的64維的Toeplitz矩陣進(jìn)行奇異判定，det（）≠0，接近于0，為精確，可進(jìn)行廣義求逆。由于矩陣與自身伴隨矩陣之積為對(duì)角矩陣，即×adj（）=adj（）×=det（）×I，解耦器可設(shè)計(jì)為：K=adj（），從而將高維大系統(tǒng)控制轉(zhuǎn)化為多個(gè)單回路控制。

對(duì)于定量要求是特定的紙張，定量控制系統(tǒng)的量化數(shù)學(xué)模型可以明確得到，通過上述設(shè)計(jì)方法，能有效地計(jì)算出每個(gè)稀釋水閥的調(diào)節(jié)量，使紙張CD定量數(shù)據(jù)保持一致，也為后續(xù)的每個(gè)稀釋水閥明確了調(diào)節(jié)目標(biāo)。

4應(yīng)用實(shí)例

對(duì)于試點(diǎn)造紙廠抄紙過程控制，采用如圖9所示的DCS控制系統(tǒng)。該控制系統(tǒng)包含流漿箱本體控制柜、稀釋水閥控制柜、QCS控制柜。CD定量的解耦控制算法通過稀釋水閥控制柜實(shí)現(xiàn)。在稀釋水閥控制柜的上位機(jī)工程師站中，MATLAB對(duì)獲得的數(shù)據(jù)按照解耦控制算法進(jìn)行處理，運(yùn)算的結(jié)果通過稀釋水閥控制柜的S7300PLC控制器作用在稀釋水閥組，通過調(diào)節(jié)稀釋水閥的開度，實(shí)現(xiàn)紙幅定量的均勻分布。

針對(duì)試點(diǎn)造紙廠紙機(jī)幅寬為45 m，設(shè)計(jì)車速為650 m/min，定量為66 g/m2的生產(chǎn)線。在稀釋水閥控制柜上位機(jī)中，以定量值相等為標(biāo)準(zhǔn)，在64個(gè)閥門的綜合作用下，由解耦控制策略得到稀釋水閥的調(diào)節(jié)量U=[u1，u2，…，u63，u64]，見式（10）。通過S7300PLC控制稀釋水閥，在工況穩(wěn)定后，取某個(gè)時(shí)間段的定量監(jiān)控畫面（如圖10所示），并隨機(jī)測(cè)取了50個(gè)測(cè)量點(diǎn)，得到的定量偏差曲線見圖11，定量波動(dòng)范圍為±16 g/m2。從圖11可以看到，紙幅定量在設(shè)定值上下波動(dòng)，且偏差很小。應(yīng)用多變量解耦策略改善了執(zhí)行器的控制精度，提高了產(chǎn)品質(zhì)量，可為企業(yè)帶來一定的經(jīng)濟(jì)效益。

5結(jié)論

橫幅定量控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型反映出橫幅定量控制過程是一個(gè)采樣數(shù)據(jù)稀疏的高維大系統(tǒng)，且多個(gè)稀釋水閥之間相互耦合。本研究針對(duì)此難題，希望將一個(gè)耦合關(guān)聯(lián)的大系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單回路群，采取分而治之的處理方法。依此思路，計(jì)算出了橫幅定量系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣，通過對(duì)耦合關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行降維化方，將高維大系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有對(duì)稱關(guān)系的Toeplitz矩陣。并設(shè)計(jì)伴隨矩陣解耦器，完成多變量解耦控制。對(duì)每個(gè)單回路通過解耦后的關(guān)聯(lián)矩陣估算稀釋水閥調(diào)節(jié)量，可為每個(gè)單回路PID調(diào)節(jié)提供依據(jù)和幫助。整個(gè)過程采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算，能達(dá)到一個(gè)較好的調(diào)節(jié)精度，為紙張橫幅定量控制提供有效的理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1]Tang Wei， Wang Mengxiao， Li Minghui， et al. The advanced control strategies and decoupling algorighms of headbox[J].Transactions of China Pulp and Paper， 2006， 21（1）： 108.

湯偉， 王孟效， 李明輝， 等. 流漿箱先進(jìn)控制策略及解耦控制算法[J].中國造紙學(xué)報(bào)， 2006， 21（1）： 108.

[2]Cristian Gheorghe， Amor Lahouaoula， Danlei Chu. Multivariable CD control with adaptive alignment for a highproduction linerboard machine[J].Journal of Science & Technology for Forest Products and Processes， 2012， 2（5）： 32.

[3]Hu Weijun， Liu Wenbo， Wang Mengxiao. Design and simulation of fuzzy controller for CD basis weight[J].Control and Instruments in Chemical Industry， 2011， 12（44）： 1441.

胡衛(wèi)軍， 劉文波， 王孟效. 紙張定量模糊控制器[J].化工自動(dòng)化及儀表， 2011， 12（44）： 1441.

[4]Lian Yuyang， Tang Wei， Hu Lianhua， et al. Application of gram polynomials fitting technique in noise removal of crossdirectional basis weight measurement data of paper machines[J].Transactions of China Pulp and Paper， 2014， 29（1）： 49.

連鈺洋， 湯偉， 胡連華， 等. 紙機(jī)橫向定量測(cè)量數(shù)據(jù)Gram多項(xiàng)式擬合去噪[J].中國造紙學(xué)報(bào)， 2014， 29（1）： 49.

[5]Ammar M. Model identification of a paper machine crossdirectional process under model predictive control[C]//Modelling Symposium（EMS）， Europe， 2014.

[6]Kang Guobing， Chen Kefu， Liu Jianan， et al. Numerical simulation of dilution water applied to headbox with perforated rolls[J].Journal of South China University of Technology： Natural Science Edition， 2010， 38（9）： 57.

康國兵， 陳克復(fù)， 劉建安， 等. 稀釋水應(yīng)用于勻漿輥流漿箱的數(shù)值模擬[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版， 2010， 38（9）： 57.

[7]Mohammed E， Ammar. Automatic tuning of paper machines crossdirection controllers via linear matrix inequalities[J].Journal of Electrical Systems & Information Technology， 2015， 2（3）： 283.

[8]Yao Yanjing， Wang Jing， Pan Lideng. Decoupling internal model control for multivariable nonsquare system with time delays[J].Journal of Chemical Industry and Engineering， 2008， 59（7）： 1737.

要艷靜， 王晶， 潘立登. 多變量多時(shí)滯非方系統(tǒng)的解耦內(nèi)?？刂芠J].化工學(xué)報(bào)， 2008， 59（7）： 1737.