王彤 張凱 楊軍 劉瑞 張浩祥 周曉 涂杰

摘要：為了解決傳統(tǒng)GM（1，1）模型在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中存在的局限性和較大偏差問(wèn)題，提高模型預(yù)測(cè)精度，拓寬其應(yīng)用范圍，結(jié)合全信息變權(quán)弱化緩沖算子、全信息加權(quán)平均法、Newton-Cotes公式和三次牛頓插值公式，從原始數(shù)據(jù)變換、背景值重構(gòu)、初始條件優(yōu)化3個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了重構(gòu)背景值雙變權(quán) GM（1，1）中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型。用西安市年供水量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)與分析，結(jié)果表明精度檢驗(yàn)等級(jí)為一級(jí)，具有很好的預(yù)測(cè)精度，可用于西安市年供水量的預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞：GM（1，1）模型：變權(quán)弱化緩沖算子；加權(quán)平均法；中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型

中圖分類號(hào)：TV213.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi： 10.3969/j.issn.1000-1379.2018.07.011

精確預(yù)測(cè)城市需水量是相關(guān)部門合理制定供水規(guī)劃的前提。城市水資源供需關(guān)系是一個(gè)多因素、多層次、多目標(biāo)的復(fù)雜系統(tǒng)，包含許多未知和不確定的影響因素，難以具體明確這些影響因素與供水量之間的函數(shù)關(guān)系。運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論，避開(kāi)城市水資源供需復(fù)雜關(guān)系的影響因素，以年供水量時(shí)間序列為基礎(chǔ)，通過(guò)建立灰色GM（1，1）模型來(lái)揭示城市年供水量變化規(guī)律是一種有效途徑。

在進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和隨機(jī)性較大，傳統(tǒng)GM（1，1）模型存在不同程度的局限性和較大偏差。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者從原始數(shù)據(jù)的處理、累加生成方法的改進(jìn)、初始值優(yōu)化、背景值優(yōu)化、模型參數(shù)估計(jì)、殘差優(yōu)化、綜合優(yōu)化等方面對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行了深入研究，同時(shí)，GM（1，1）模型在模糊回歸和區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)方面的拓展成為研究的熱點(diǎn)。筆者根據(jù)傳統(tǒng)GM（1，1）模型的建模機(jī)理，通過(guò)引入全信息變權(quán)弱化緩沖算子，結(jié)合全信息加權(quán)平均法、Newton -Cotes公式和三次牛頓插值公式，從原始數(shù)據(jù)變換、背景值重構(gòu)、初始條件優(yōu)化3個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了重構(gòu)背景值雙變權(quán)GM（1，1）中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型，并用西安市年供水量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明新建模型具有很好的預(yù)測(cè)精度。

1改進(jìn)的GM （1，1）模型建模過(guò)程

1.1原始數(shù)據(jù)變換

原始序列的光滑度對(duì)模型預(yù)測(cè)的精度有一定影響。為降低原始序列的波動(dòng)性和隨機(jī)性，改善其光滑性，提高模型預(yù)測(cè)精度，需要對(duì)原始序列x^（0）（k）[x^（0）（k）≥0；k=l，2，…，n]進(jìn)行數(shù)據(jù)變換處理。目前，數(shù)據(jù)變換處理方法主要有函數(shù)變換法和構(gòu)造緩沖算子兩大類。變換處理后的新序列應(yīng)滿足級(jí)比信息變權(quán)弱化緩沖算子對(duì)原始序列進(jìn)行數(shù)據(jù)變換處理。

無(wú)論x^（0）（k為單調(diào)遞減序列、單調(diào)遞增序列，還是波動(dòng)序列，定義d為全信息變權(quán)弱化緩沖算子，有：式中：A為變權(quán)緩沖系數(shù)，A∈（0，1）；y^（0）（k）為全信息變權(quán)弱化后的緩沖序列。

1.2背景值重構(gòu)

傳統(tǒng)GM（1，1）模型的背景值采用梯形公式（即n=1時(shí)的Newton-Cotes公式）求解，其誤差較大，精度較低。文獻(xiàn)先后提出了基于插值法和New-ton-Cotes公式的組合法來(lái)構(gòu)造背景值。

由于n=4時(shí)的Newton-Cotes公式具有5次代數(shù)精度，精度明顯高于具有1次代數(shù)精度的梯形公式，且牛頓插值公式計(jì)算過(guò)程較拉格朗日插值公式簡(jiǎn)單，因此本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，采用基于n=4時(shí)的Newton-Cotes公式和牛頓插值公式的組合法來(lái)構(gòu)造背景值。

首先，采用n=4時(shí)的Newton-Cotes公式得出背景值Z^（1）（k+1）為

將式（3）代人式（2），求得背景值Z^（1）（k+l）（k=1，2，…，n-3）：將式（6）代人式（5），解得Z^（1）（k）（k=n-1，n）為

綜上，基于n=4時(shí)的Newton-Cotes公式和三次牛頓插值公式組合法的背景值重構(gòu)公式為

1.3初始條件優(yōu)化

在上述原始數(shù)據(jù)變換的基礎(chǔ)上，將y^（0）（k）的一階累加序列x^（1）（k）（k=1，2，…，n）中各數(shù)據(jù)的加權(quán)平均值作為優(yōu)化后的初始條件：

x^（1）（t）=αlx^（1）（1）+α2x^（1）（2）+…+αnx^（1）（n）（9）

結(jié)合新信息優(yōu)先原則，新數(shù)據(jù)比舊數(shù)據(jù)賦予更大權(quán)重，即滿足αl<α2<…<αn。

權(quán)重αk為

基于全信息加權(quán)平均法的初始條件，將新信息的重要程度通過(guò)較大權(quán)重充分體現(xiàn)，同時(shí)考慮了舊信息的作用，是一種直觀優(yōu)化初始條件的新方法。

1.4重構(gòu)背景值雙變權(quán)GM（1，1）中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型的建立步驟

（1）設(shè)x^（1）（k）≥0（k=l，2，…，n）為原始序列，由式（1）對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，得到經(jīng)全信息變權(quán)弱化后的緩沖序列y^（0）（k）。

（5）結(jié)合式（9），得出改進(jìn)的GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)式為式中：γ為時(shí)間參數(shù)

2精度評(píng)估

灰色預(yù)測(cè)模型的精度通常采用均方差比值C、小誤差概率P和關(guān)聯(lián)度K共同檢驗(yàn)。式中：e^（0）k）為殘差，e為殘差均值；S1為殘差的標(biāo)準(zhǔn)差；_S2為x^（0）（k）的標(biāo)準(zhǔn)差；x為x^（0）（k）的均值。

關(guān)聯(lián)度K計(jì)算公式為

均方差比值C越小、小誤差概率P越大、關(guān)聯(lián)度K越大，則精度越高。精度檢驗(yàn)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表1。

3應(yīng)用實(shí)例

表2為西安市2000-2016年年供水量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，據(jù)此繪制年供水量變化曲線（見(jiàn)圖1）。可以看出，數(shù)據(jù)整體隨機(jī)性強(qiáng)，為波動(dòng)序列。2006年西安市年供水量呈下降趨勢(shì)，原因可能是城市產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整及階梯水價(jià)的實(shí)施，促使居民節(jié)水意識(shí)增強(qiáng)，從而用水量略有下降。但隨著城市居民生活水平的提高和工業(yè)現(xiàn)代化的高速發(fā)展，西安市年供水量總體呈上升趨勢(shì)。

3.1模型計(jì)算

以西安市2000-2016年年供水量數(shù)據(jù)為原始序列x^（0）（k），計(jì)算級(jí)比σ^（0）（i），可知不滿足σ（i）∈（0.894 8，1.1175），故采用全信息變權(quán)弱化算子對(duì)x^（0）（k）進(jìn)行處理，在誤差最小化目標(biāo)下得出最優(yōu)變權(quán)緩沖系數(shù)A=0.39，從而得到緩沖序列y^（0）（k）。采用上述的步驟（1）～步驟（5），建立年供水量預(yù)測(cè)模型，得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為x^（1）（k）= 39038 288.71e^{（0.001 49（k-11.602 87））}-38363 231.61

（22）

由式（17）進(jìn)行一階累減還原，得到預(yù)測(cè)結(jié)果x^（0）（k）。具體預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差見(jiàn)表3，實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)結(jié)果比較見(jiàn)圖2。

3.2精度檢驗(yàn)及分析

對(duì)模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，得均方差比值C=0. 008 836，小誤差概率P=l，關(guān)聯(lián)度K=0.9956。結(jié)合表1精度檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)可知，模型預(yù)測(cè)精度為一級(jí)，預(yù)測(cè)結(jié)果精度高。從表3可得預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為0.53%。從圖2可看出，擬合效果好，具有很好的參考價(jià)值。同時(shí)，預(yù)測(cè)模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中-a=0.00149<0.3，滿足GM（1，1）模型進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的條件要求，故重構(gòu)背景值的雙變權(quán)GM（1，1）中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型可用于西安市年供水量數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。

4結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)GM（1，1）模型建模機(jī)理的研究，本文在3個(gè)方面對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)：①引入全信息變權(quán)弱化緩沖算子d對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行變換處理，使其滿足級(jí)比σ（i）要求，降低數(shù)據(jù)隨機(jī)性，增強(qiáng)數(shù)據(jù)平滑度；②推導(dǎo)n=4時(shí)的Newton-Cotes公式和三次牛頓插值公式的組合公式來(lái)重構(gòu)背景值，以增強(qiáng)模型進(jìn)行中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性；③利用新信息優(yōu)先原則，通過(guò)全信息加權(quán)平均法優(yōu)化初始條件。在此基礎(chǔ)上建立重構(gòu)背景值的雙變權(quán)GM（1，1）中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型，經(jīng)實(shí)例分析驗(yàn)證，得出以下結(jié)論和建議。

（1）所建新模型克服了傳統(tǒng)GM（1，1）模型難以進(jìn)行數(shù)據(jù)中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的不足，模型對(duì)西安市2000-2016年年供水量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證，預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為0.53%，精度后驗(yàn)差和關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)結(jié)果均為一級(jí)，模型預(yù)測(cè)精度高、擬合效果好，可用于西安市年供水量的預(yù)測(cè)。

（2）根據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果，供水企業(yè)可結(jié)合城市現(xiàn)狀自來(lái)水廠綜合供水能力，合理制定近遠(yuǎn)期供水規(guī)劃。同時(shí)，相關(guān)部門可結(jié)合自來(lái)水廠改擴(kuò)建或新建項(xiàng)目，合理調(diào)控水廠生產(chǎn)能力，使有限的水資源發(fā)揮更大的效益，以滿足城市用水需求，與城市總體發(fā)展規(guī)劃相協(xié)調(diào)。