考拉茲猜想

選取任意一個(gè)正整數(shù)。如果這個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，除以2；如果它是奇數(shù)，乘以3再加1。現(xiàn)在，用你得到的新數(shù)字繼續(xù)按上述規(guī)則處理。如此循環(huán)下去，你的數(shù)字最終都會(huì)變?yōu)?。

如選取的是6，根據(jù)上述規(guī)則，得出序列為：6，3，10，5，16，8，4，2，1。如選取的是11，根據(jù)上述規(guī)則，得出序列為：11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。

這就是考拉茲猜想，是德國漢堡大學(xué)的學(xué)生洛塔爾·考拉茲在20世紀(jì)30年代提出的。數(shù)學(xué)家們用了很多數(shù)字進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)沒有哪個(gè)數(shù)字最終不會(huì)變?yōu)?的。但問題是，到現(xiàn)在還沒人能證明考拉茲猜想。也許，有一些非常大的數(shù)字經(jīng)過處理后，最終會(huì)逐漸趨向于無窮大，或者一些數(shù)字會(huì)被困在某個(gè)循環(huán)中，從而無法變?yōu)?。但是，從來沒有人能夠找出這樣的反例。

移動(dòng)沙發(fā)問題

假設(shè)你在搬家，想把你的沙發(fā)搬到新的公寓里。問題是，走廊有個(gè)拐角，你必須想辦法把你的沙發(fā)弄過去。如果沙發(fā)很小，那么就不是問題了。如果沙發(fā)很大的話，那么它可能會(huì)卡在拐角處。如果你是一個(gè)數(shù)學(xué)家，你可能就會(huì)提出這個(gè)問題：可通過走廊拐角的最大的沙發(fā)是什么樣的？它不必是一個(gè)矩形的沙發(fā)，它可以是任意形狀。

上面就是移動(dòng)沙發(fā)問題的基本內(nèi)容。為了方便回答，這個(gè)問題還做了這些精簡：整個(gè)問題只發(fā)生在二維空間中，拐角是90度，走廊的寬度為1。那么，可以通過走廊拐角的最大的二維圖形是什么樣子的？

可以通過走廊拐角的最大的二維圖形的面積，還被稱為“沙發(fā)常數(shù)”。然而，沒人確切地知道這個(gè)二維沙發(fā)能有多大，數(shù)學(xué)家們只是知道一些相當(dāng)大的沙發(fā)可以通過去，另一些更大的沙發(fā)卻通不過去。當(dāng)前的研究表明，沙發(fā)常數(shù)的數(shù)值應(yīng)該在2.2195和2.8284之間。

完美的立方體問題

記得勾股定理不？直角三角形的兩條直角邊長為a和b，斜邊為c，那么a2+b？=c？。如果三條邊長度都是正整數(shù)，那么這三個(gè)數(shù)被稱為一組勾股數(shù)。例如，（3，4，5）就是一組勾股數(shù)。

現(xiàn)在，讓我們把這個(gè)想法擴(kuò)展到三維空間中。在上面的立方體圖示中，a、b、c代表著這個(gè)立方體的三條邊，g代表著體對(duì)角線。那么，根據(jù)勾股定理，你會(huì)得到a？+b？+c？=g？。

我們的目標(biāo)，就是找到a、b、c和g都是整數(shù)的立方體。也就是說，找到三維空間下的勾股數(shù)。數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了很多次嘗試，但是到現(xiàn)在也沒有找到一個(gè)立方體，其三條邊和體對(duì)角線都是整數(shù)的。但是，他們也沒能力證明這樣的立方體是不存在的。所以，尋找這種完美的立方體的任務(wù)仍在繼續(xù)。

內(nèi)接正方形問題

在紙上畫出一條閉合的線。這個(gè)線圈不一定是個(gè)圓圈，可以是任何形狀，但線的起點(diǎn)和終點(diǎn)必須重合，而且線與線之間不能有交叉。在這個(gè)線圈里，你可以畫出一個(gè)正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都處在線圈上。1911年，一位德國數(shù)學(xué)家提出了內(nèi)接正方形問題：任何一個(gè)二維的閉合線圈，是否都至少有一個(gè)內(nèi)接的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都處在線圈上？

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明，在任何一個(gè)二維的閉合線圈，你都可以畫出內(nèi)接的三角形或矩形。但是，要想證明能畫出正方形，就變得困難起來。到目前為止，還沒有人能解決此問題。

幸福結(jié)局問題

這個(gè)問題之所以叫作“幸福結(jié)局問題”，是因?yàn)樗鼘?dǎo)致了匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·塞凱賴什和他的美女同學(xué)愛絲特·克萊因共偕連理。這個(gè)問題是從這個(gè)規(guī)律開始的：

在一張紙上隨機(jī)地畫出5個(gè)點(diǎn)，但要求其中任意3點(diǎn)不共線，那么不管你怎么畫，你就總能找到其中的4個(gè)點(diǎn)，連接起來能構(gòu)成一個(gè)凸四邊形一一4個(gè)內(nèi)角都不大于180度的四邊形。

這個(gè)是關(guān)于凸四邊形的規(guī)律。后來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，要想畫出一個(gè)凸五邊形，你至少得需要9個(gè)點(diǎn)。而凸六邊形，得需要17個(gè)點(diǎn)。至于凸七邊形以及其他的凸多邊形，數(shù)學(xué)家們就搞不清楚究竟至少需要多少個(gè)點(diǎn)了。

是否存在一個(gè)公式，可以告訴我們至少需要多少個(gè)點(diǎn)就能畫出任意一種凸多邊形呢？數(shù)學(xué)家猜測(cè)，公式可能是M=1+2N-2，其中M是點(diǎn)的個(gè)數(shù)，N是凸多邊形的邊數(shù)。但到目前為止，數(shù)學(xué)家們只是證明了M是不小于1+2N-2的，還無法證明它們是相等的。所以，幸福結(jié)局問題仍懸而未決。