劉儼后，麻 娟，左敦穩(wěn)，李學偉,3

(1.山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255000；2.南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016； 3.西安瑞特快速制造工程研究有限公司，陜西 西安 710000)

1 問題的提出

Bucket Brigades是一種采用walking-worker的生產組織形式，中文文獻一般稱之為斗鏈，其基本規(guī)則為：

規(guī)則1工人按固定順序排列且不允許超越，工人與工件同步移動的同時完成作業(yè)，直到下游工人接手其工件(或到達末端)。

規(guī)則2完成作業(yè)的工人返回上游工人處接手工件(或從始端領取任務)。

斗鏈的示意圖如圖1所示，其中wj(j=1,2,…,n)表示在線工人，xj表示工人wj的位置。斗鏈最早由Bartholdi和Eisenstein開始研究，其研究基于以下約束：①工人為異質員工，按照作業(yè)速度由慢到快遞增排列；②由于工件交接和回取耗時比作業(yè)時間小得多，回取速度和交接時間忽略不計；③作業(yè)均勻連續(xù)分布在生產線上，交接可在任意位置進行[1]?；谏鲜黾s束，Bartholdi等[1]建立了一個標準斗鏈(Normative Bucket Brigades, NBB)模型，并證明NBB具有自平衡性。

在NBB的基礎上，國內外諸多學者對斗鏈展開了研究。Bartholdi等[2-3]分析了隨機斗鏈的自平衡特性和生產效率，并針對分支裝配線設計了一種作業(yè)共享機制；Bratcu等[4-5]結合實際案例，采用混合動態(tài)系統(tǒng)理論分析斗鏈的平衡性，并基于MATLAB進行建模與仿真；Armbruster等[6-7]針對工人差異，建立改進模型以提高生產效率，并研究了工人學習能力對斗鏈性能的影響；Song等[8]通過優(yōu)化工人指派進行斗鏈的自平衡研究；Lim[9]和Quader等[10]對雙向作業(yè)斗鏈進行研究，保證工人在回走階段也能有效作業(yè)；Manzini等[11]和Hong等[12]將斗鏈應用于物流配送倉儲的揀貨系統(tǒng)；Chen等[13]在斗鏈中引入工人超越機制，以提高生產效率。目前國內的相關研究較少，徐翔斌等[14]對斗鏈進行研究綜述及應用前景展望；彭勇等[15]研究了回取速度與工件交接位置的關系，證明回取速度越小，交接位置偏離越大；廖世龍等[16]提出一種帶有超越站的超越機制，以提高產能；劉儼后等[17]根據工位約束條件的不同，對斗鏈的平衡點特性進行了對比研究。

上述研究多針對約束②或考慮超越機制進行研究，文獻[17]針對約束③進行了研究，目前尚未有針對約束①的相關文獻。在真實車間環(huán)境中，很難對個體作業(yè)速度進行衡量和評價，作業(yè)速度或作業(yè)時間一般通過車間數據統(tǒng)計給出，約束①很難嚴格滿足。因此在實際生產中，管理決策更多的是針對作業(yè)速度相同的同質員工進行。為此，在釋放NBB的約束條件①的基礎上，本文對非嚴格遞增作業(yè)速度的斗鏈裝配線(Bucket Brigades Assembly Line, BBAL)進行建模與仿真研究，并進一步提出同質員工BBAL的有效運行規(guī)則。

2 問題描述

有n個工人{wj|j=1,2,…,n}的BBAL如圖1所示。若定義一個基準作業(yè)速度v0，則wj的作業(yè)速度可記為vj=λjv0(j=1,2,…,n)，其中λj≥1為作業(yè)速度系數，NBB滿足約束①，即λ1<λ2<…<λn。若作業(yè)速度系數滿足λ1≤λ2≤…≤λn，且至少存在一個“=”，則稱作業(yè)速度非嚴格遞增排列，本文根據約束①的滿足程度，將BBAL分為標準斗鏈裝配線(Normative Bucket Brigades Assembly Line, NBBAL)和非嚴格遞增斗鏈裝配線(Non-Strictly increasing Bucket Brigades Assembly Line, NSBBAL)兩類，其中NSBBAL又分為NSBBAL-E和NSBBAL-C，具體定義如表1所示。

在約束②和約束③下，所有工人在同一時刻完成任務交接，若定義裝配線長度為單位長度1(無量綱)，可用工人位置xj(0≤x1<…

定理1對于自平衡的生產線，均存在一個平衡點X*=f(X*)，即存在位置狀態(tài)向量X*，如果每名工人從X*給定的對應位置開始作業(yè)，則其總是在該位置接手下一個任務。

定理2若工人按作業(yè)速度沿生產線嚴格遞增排列(作業(yè)速度越低的工人在排列中越靠近生產線始端)，則平衡點是唯一的，該平衡點

(1)

上述定理描述了斗鏈的自平衡性，即存在一個平衡點X*，工人從任意狀態(tài)X0給出的位置開始工作，最終均能收斂至平衡點X*。在文獻[17]中，NBBAL已被證明具有自平衡性，其證明過程如下：

(2)

(3)

根據式(3)，NBBAL的狀態(tài)轉移過程是一個Markov鏈，可表示為

Xr=T×Xr-1+λ。

(4)

Xn=(0,v1tn,v1tn-1+v2tn,v1tn-2+v2tn-1

+v3tn,…,v1t2+v2t3+…+vn-1tn)T。

(5)

若記v1/vn=a0，(vj-vj-1)/vn=aj-1(j=1,2,…,n-1)，則

(6)

在迭代次數r≥n時，

(7)

因為λ1<λ2<…<λn，即v1

∑aj=1,0

(8)

3 NSBBAL自平衡性的建模分析及數值仿真

3.1 NSBBAL-E模型

在NSBBAL中，式(4)所示的Markov鏈模型仍然成立，即方程X=T×X+λ存在唯一解X*=(E-T)-1×λ，系統(tǒng)具有唯一的平衡點。首先分析“<”個數為0，即NSBBAL-E(λ1=λ2=…=λn)的情況，此時式(7)中系數a0=1，a1=a2=…=an-1=0，可得

(9)

(10)

(11)

?j∈[1,n]。

(12)

式(12)表明狀態(tài)向量Xn=X0，即經過n次迭代后，系統(tǒng)回到初始狀態(tài)，系統(tǒng)的可達狀態(tài)是一個有限集合{X0(Xn),X1,…,Xn-1}，系統(tǒng)在可達狀態(tài)集內循環(huán)迭代(X0→X1→…→X0→X1→…),即NSBBAL-E不具有從任意狀態(tài)收斂的能力。即使令X0=X*，系統(tǒng)也僅是理論上處于平衡狀態(tài)(X*→X*→…)，由于實際生產環(huán)境存在干擾，系統(tǒng)從平衡位置偏離后，不能重新收斂到平衡。

3.2 NSBBAL-C模型

在更一般的情況下，不妨設λ1≤λ2≤…≤λn中存在q(00，假設q個“<”分別位于λd1<λd1+1，λd2<λd2+1，…，λdq<λdq+1處，其中1≤d1

(13)

記d1，d2-d1，d3-d2，…，n-dq的最大公約數為d(工人按作業(yè)速度分組，d為每組人數的最大公約數)，另記d1/d=p1，d2/d=p2，…，dq/d=pq，則在迭代次數r≥n時式(7)表示為

…

…

因為式(13)中非零系數之間的最小間隔為d，所以上述迭代過程存在d個相互獨立的遞推數列

…

…

…

d1，d2-d1，d3-d2，…，n-dq的最大公約數為d，也就是按照排列每d個工人速度相等，即λn-(d-1)=λn-(d-2)=…=λn-1=λn，則

(14)

式(14)說明，隨著d個獨立遞推數列的分別收斂，工人wn-(d-1)的任務交接位置收斂至同一點，同理可以證明工人wd+1，w2d+1，…，wn-(d-1)的任務交接位置收斂。若n/d=nd，則按作業(yè)速度可將工人分為nd個工人組{dwk|k=1,2,…,nd}，即dw1={w1,w2,…,wd}，dw2={wd+1,wd+2,…,w2d}，…。若將dwk作為一個整體，則所有dwk的任務交接位置均收斂，符合定理1和定理2所述的自平衡性。NSBBAL-C存在以下定理：

定理3在NSBBAL-C中，若以nd個工人組dwk作為個體，且工人組作業(yè)速度遞增(非嚴格)排列，則以dwk為個體裝配線可以從任意狀態(tài)收斂至唯一的平衡點，該平衡點

(15)

由定理3可知，若最大公約數d=1，則n=nd，dwk=wk(j=1,2,…,n)，此時NSBBAL-C具有從任意狀態(tài)收斂的自平衡特性。

3.3 數值仿真

本文基于C++Builder 2010進行數值建模與仿真。由于任務交接在xn=1時刻同時進行且瞬時完成，則任務交接位置狀態(tài)與xn=1時狀態(tài)一致，以xn=1時的狀態(tài)X為觀察對象，記錄迭代過程中w1～wn-1的位置變化。

圖2所示為文獻[17]對NBBAL的數值仿真結果，從圖2數據可看出，NBBAL收斂于唯一的平衡點，平衡點特性符合定理1和定理2。

從圖3仿真結果可以看出，在規(guī)則1和規(guī)則2下，NSBBAL-E不具有從任意狀態(tài)收斂的能力，系統(tǒng)在可達狀態(tài)集內循環(huán)迭代，仿真結果與前面推導結論相符。

從圖4仿真結果可以看出，按作業(yè)速度對工人以d分組，以dwk為工人個體，則dwk任務交接位置向平衡點收斂，仿真結果與定理3相符，即從w1開始每隔d個工人存在一個收斂的任務交接位置。

圖5所示為最大公約數d=1時的NSBBAL-C仿真結果，此時wk=dwk，NSBBAL-C具有定理1和定理2所述的自平衡性。與圖2相比，其收斂速度小于NBBAL。

4 NSBBAL-E的自平衡方法

4.1 自平衡中的負反饋控制

(16)

在工人沿裝配線按作業(yè)速度嚴格遞增排列時，λ1<λ2，則可得

(17)

由式(17)可看出，嚴格遞增作業(yè)速度(λ1<λ2)的NBBAL中存在一個負反饋控制，在交接位置偏離平衡點時，使偏離差值Δx2向零收斂。速度比(λ2/λ1)越大，負反饋控制作用效果越強，這也解釋了圖5收斂速度比圖2慢的原因。

4.2 NSBBAL-E的新規(guī)則

在實際生產中，考慮同質員工的NSBBAL-E具有更現實的意義。由定理3及式(17)可知，當作業(yè)速度系數為λ1<λ2=…=λn(d=1)時，負反饋的控制作用仍然存在。因此，在規(guī)則1和規(guī)則2的基礎上為NSBBAL-E增加如下規(guī)則：

規(guī)則3對于首名工人w1，若其與w2的距離x2-x1小于1/n，則w1停止作業(yè)；若距離大于1/n，則按規(guī)則1進行；當任務被接手后，按規(guī)則2返回。

規(guī)則3限制w1與下游工人的距離，令Δx2強制置零，繼而實現下游各Δxj的歸零，使系統(tǒng)最終收斂于平衡狀態(tài)，其作用效果如圖6數值仿真結果所示。

從圖6可以看出，規(guī)則3使NSBBAL-E從任意狀態(tài)向平衡點收斂。與NBBAL的基本規(guī)則相比，規(guī)則3僅增加了對w1與下游工人距離的限制，且對于裝配線始端的首名工人w1來說，這種距離的限制在實際生產中是容易實現的。

綜上所述，NBBAL，NSBBAL-C和NSBBAL-E的自平衡特性如表2所示。

5 生產實例的Witness仿真

某電子產品由主板模組、上蓋模組、液晶顯示屏(Liquid Crystal Display, LCD)模組和其他關鍵零部件組合而成,其中LCD裝配線的作業(yè)有序關系及標準作業(yè)時間如圖7所示。該產品生產線全部采用固定工位組織形式，其生產效率及穩(wěn)定性受市場波動及人員流動的影響較大，因此現在需要基于NSBBAL-E模型對LCD裝配線進行斗鏈生產的示范性規(guī)劃。目前，LCD裝配線由6個工位S={s1,s2,…,s6}組成，作業(yè)分配情況及工位作業(yè)時間st為：s1(1,2,3,4,5)，st1=23；s2(6,7,8,9)，st2=23；s3(10,11,12)，st3=21；s4(13,14,15,16)，st4=22；s5(17,18)，st5=19；s6(19,20,21)，st6=17。其生產節(jié)拍C=max(st)=23。

基于實際生產數據，建立LCD斗鏈裝配線的Witness模型，如圖8a所示。根據標準作業(yè)工時，將裝配線長度定義為125(st1+st2+st3+st4+st5+st6)，并采用6名同質員工作業(yè)，以滿足原生產節(jié)拍要求。LCD斗鏈裝配線的正常運行如圖8b所示，其具有從任意狀態(tài)收斂的自平衡性，此時生產節(jié)拍C=125/6≈21，生產效率顯著提高；在需要調整生產效率，或由于發(fā)生動態(tài)干擾，工人數量變化時，它也可以通過自平衡性重新收斂至平衡狀態(tài)，以保證最大人均效率，如圖8c和圖8d所示。

6 結束語

本文在NBBAL的基礎上，對NSBBAL進行了建模及數值仿真研究，分析了其平衡點特性和向平衡狀態(tài)收斂的能力，并提出NSBBAL-C的平衡點存在定理，繼而給出NSBBAL-E的運行規(guī)則，實現了其有效運行，為斗鏈在實際裝配生產中的應用提供了一定的理論基礎和研究思路。

本文對BBAL的模型分析和Witness仿真，是基于約束③“作業(yè)均勻連續(xù)分布，交接可在任意位置進行”，但在實際生產中，有些工序是不宜中斷的，如圖7中的作業(yè)16(撕除導電布背膠，貼于螺絲孔上)。此時若中斷作業(yè)進行任務交接，則會增加工時；若讓下游工人等待，則影響生產效率。因此，BBAL雖然不存在平衡問題，但仍需考慮作業(yè)分配順序問題，以保證交接耗時最小，這將是下一步的研究內容。