孫登廣，戴 寧，黃仁凱，張 敏，孟令尹，張 壯

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

增材制造技術(shù)的快速發(fā)展促進了產(chǎn)品輕量化技術(shù)的廣泛研究與應(yīng)用，然而由于缺乏相應(yīng)力學(xué)理論的研究，導(dǎo)致輕量化產(chǎn)品存在材料損耗嚴(yán)重、承載能力不足等問題?，F(xiàn)有輕量化3D打印路徑技術(shù)尚難以兼顧力學(xué)特性和模型輕量化設(shè)計，因此研究構(gòu)建滿足特定材料消耗和應(yīng)力分布的輕量化打印軌跡具有重要的實際應(yīng)用價值。

基于3D打印技術(shù)的輕量化方法主要包括兩類：

(1)在模型切片處理前，對模型進行輕量化建模 Cheah等[1]提出建立基本特征模型庫，通過參數(shù)化更改基本特征模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)、空間約束條件、邏輯組合關(guān)系來構(gòu)造多孔結(jié)構(gòu)；Wang等[2]提出蒙皮—桁架的輕質(zhì)結(jié)構(gòu)來滿足模型輕量化和力學(xué)特性的要求，從而達到減少模型耗材、提升力學(xué)性能的目的；Lyu等[3]提出一種基于Voronoi圖的建模方式，利用有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，基于FEA計算模型在外力下的應(yīng)力圖，通過Voronoi圖結(jié)合應(yīng)力圖生成類蜂窩狀內(nèi)部結(jié)構(gòu)，然而該方法復(fù)雜度高，僅適用于部分3D打印工藝。在模型內(nèi)部建模的方法不但需要大量的布爾運算，而且增加了切片時間，同時切片層上出現(xiàn)大量的島嶼輪廓導(dǎo)致大量的空行程和跳刀，影響成型質(zhì)量和效率。

(2)模型切片處理后，根據(jù)切片輪廓內(nèi)部掃描路徑實現(xiàn)輕量化設(shè)計 該方法避免了復(fù)雜的輕量化建模方法和后期大量內(nèi)輪廓的路徑規(guī)劃，提高了成型效率和質(zhì)量。目前商業(yè)3D打印軟件(如MakerWare, Replicator等)在模型內(nèi)部設(shè)計網(wǎng)狀路徑填充，如網(wǎng)狀路徑，但都沒有考慮其力學(xué)特性和參數(shù)化設(shè)計。李維詩等[4]提出利用三組平行間斷直線構(gòu)造蜂窩狀掃描路徑的方法，但由于該方法采用3個方向間斷式掃描，在路徑的端點處出現(xiàn)3次重復(fù)掃描，使端點處過堆積現(xiàn)象嚴(yán)重，且使切片層面上存在大量空行程和跳刀。Ponnusamy[5]和Gurunathan等[6]提出采用不同的分形曲線對醫(yī)學(xué)生物支架的切片薄層進行填充，通過改變分形曲線的類型和填充密度實現(xiàn)了多孔醫(yī)學(xué)模型制造，該方法的缺陷是當(dāng)分形曲線的單位步長較大時，將降低相鄰路徑上的絲材搭接率和模型強度。

蜂窩狀結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的承載和輕量化特性，Zhang等[7]介紹了蜂窩結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的設(shè)計原則和制造性能(如機械、熱和聲學(xué)性能);Ingrole等[8]進行新拉脹蜂窩體結(jié)構(gòu)的新穎設(shè)計和性能改進研究，該結(jié)構(gòu)具有優(yōu)異的沖擊能量吸收性能和獨特的機械性能;Hedayati等[9]使用數(shù)值和實驗方法，提出新的八邊形蜂窩結(jié)構(gòu)并研究其機械性能;Aumjaud等[10]根據(jù)云圖的分布狀況在高性能輕質(zhì)蜂窩結(jié)構(gòu)中插入雙剪切搭接接頭，可顯著增加總質(zhì)量并改變質(zhì)量分布。基于面外壓力蜂窩結(jié)構(gòu)的機械性能理論研究和有限元實驗[11-13],Li等[14-15]研究了金屬鋁蜂窩軸向壓縮下的能量吸收性能，為用作緩沖和碰撞結(jié)構(gòu)的金屬蜂窩提供了理論基礎(chǔ)。上述文獻針對蜂窩結(jié)構(gòu)的設(shè)計、機械性能和數(shù)值分析方法進行了廣泛研究，但尚無基于材料損耗和應(yīng)力分布驅(qū)動的自適應(yīng)蜂窩打印軌跡生成技術(shù)的研究。

本文提出一種參數(shù)可控制的自適應(yīng)蜂窩軌跡生成方法，針對耗材問題和強度問題進行了理論研究和實驗驗證，實現(xiàn)了基于材料最少、承載最大和應(yīng)力分布的自適應(yīng)蜂窩軌跡生成。

1 方法概述

蜂窩輕量化3D打印路徑自適應(yīng)設(shè)計包括4部分內(nèi)容(如圖1)：①參數(shù)化蜂窩路徑生成，包括蜂窩單元的排布、填充和裁剪過程；②蜂窩路徑優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，包括基于材料最少的優(yōu)化模型和壓應(yīng)力模型的優(yōu)化模型構(gòu)建；③使用有限元軟件分析蜂窩結(jié)構(gòu)承載性能；④非均布載荷下蜂窩局部軌跡的優(yōu)化設(shè)計，生成滿足承載性能的輕量化蜂窩打印軌跡。

2 蜂窩狀路徑的參數(shù)化生成

路徑單元類型直接影響模型的力學(xué)和輕量化特性，單層或雙層壁厚的蜂窩狀路徑會導(dǎo)致模型承力不均，分形路徑會降低模型承載能力。本文首先對類蜂窩路徑進行參數(shù)化建模。

2.1 蜂窩狀路徑單元排布設(shè)計

現(xiàn)有的3D打印系統(tǒng)采用單雙壁的蜂窩狀路徑，這種方法不能保證模型承力的均勻性。設(shè)計的參數(shù)可控的等壁厚蜂窩狀路徑排布方式如圖2所示。圖中：l表示蜂窩單元的邊長，可以通過改變邊長調(diào)整填充區(qū)域蜂窩單元排布的疏密和大小；d表示相鄰蜂窩單元的間距，其大小決定了相鄰胞元的搭接率，為保證相鄰胞元粘連牢固，d必須小于成型的絲材寬度或激光光斑直徑；λ表示蜂窩的原始排布單元向內(nèi)偏置的次數(shù)，其大小決定了蜂窩狀胞元壁厚的大小。根據(jù)不同的力學(xué)工況調(diào)節(jié)3個參數(shù)，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)胞元參數(shù)化設(shè)計，還可以優(yōu)化模型的承載性能。

2.2 蜂窩狀路徑單元填充算法

為了保證模型蜂窩狀路徑單元網(wǎng)格能覆蓋切片輪廓，且相鄰上下切片輪廓的蜂窩狀路徑單元不發(fā)生錯位現(xiàn)象，以模型最小包圍盒來確定所有切片層單元的初始填充區(qū)域(如圖3)，模型的填充路徑在未經(jīng)裁剪前，每層的蜂窩狀填充完全一致。

設(shè)置蜂窩單元中心坐標(biāo)(xi,yi)和(xj,yj)；輪廓包圍盒的極小值點(xmin,ymin)和極大值點(xmax,ymax)。具體算法步驟如下：

步驟1初始化蜂窩單元的中心坐標(biāo)(xi,yi)，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟3如果新的中心坐標(biāo)值超過包圍盒的極大值坐標(biāo)，則算法結(jié)束。如果中心點的x坐標(biāo)大于極大值點的x坐標(biāo)，則轉(zhuǎn)步驟4； 否則，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟6如果單元中心值的x坐標(biāo)小于極小值點的x坐標(biāo)，且y坐標(biāo)大于極大值點的y坐標(biāo)，則算法結(jié)束。如果x坐標(biāo)小于極小值點的x坐標(biāo)，則轉(zhuǎn)步驟4；否則，轉(zhuǎn)步驟5。

2.3 蜂窩狀路徑單元的分割建模

定義圖4a中P0點為單元起始點，并以順時針順序保存線段。需要對填充單元(圖4a中5個蜂窩狀圖例)和實際填充區(qū)域(圖4a中兩圓輪廓的相交區(qū)域)進行位置關(guān)系判斷，蜂窩狀路徑單元與實際填充區(qū)域存在4種接觸關(guān)系(如圖4a)：①單元在填充區(qū)域外部(H1,H2)則不保存線段；②單元位于填充區(qū)域內(nèi)部(H5)則按順時針保存其線段；③單元與邊界輪廓相交但單元起點在填充區(qū)域外部(H3),如圖4b所示，則從起始點P0遍歷至奇數(shù)交點P1，P3時開始保存黑色線段，遍歷至偶數(shù)交點P2，P4時停止；④單元與邊界輪廓相交但單元起點在填充區(qū)域內(nèi)部(H4),如圖4c所示，則從起始點P0開始保存加粗線段，遍歷至奇數(shù)交點P1，P3時停止，遍歷至偶數(shù)交點P2，P4時再次保存，直至再次奇數(shù)點時停止，如此往復(fù)循環(huán)，直至遍歷結(jié)束。

圖5a和圖5b所示為蜂窩狀路徑單元在填充區(qū)域的完整裁剪結(jié)果示意圖。

3 自適應(yīng)蜂窩路徑的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

3.1 基于材料最少的優(yōu)化模型

合理的參數(shù)設(shè)計能保證模型材料最少，依次定義蜂窩單元邊長l、單一切片層耗材量Llayer、蜂窩單元面積S、單元填充數(shù)目N，為了保證模型的耗材最少，需要對定義參數(shù)聯(lián)合求最優(yōu)解。首先蜂窩單元邊長l不能無限大，若其過長，則單元完全覆蓋最大填充區(qū)域，失去了填充的意義，因此本文根據(jù)模型的最小包圍盒限定單元邊長的最大極限值

lmax≤Cmin{lx,ly}。

(1)

式中：參數(shù)lx和ly分別為模型最小包圍盒在x方向和y方向的長度，本文常數(shù)C取值0.58。

根據(jù)模型內(nèi)部有效蜂窩狀路徑總長度決定材料使用量的原則，文中采用單層蜂窩總長度衡量用料量，并且實驗中采用商業(yè)軟件中模型的用料百分比20%作為模型輕量化程度的比例，Ai表示實際填充區(qū)域的面積，0.36 mm表示估算絲寬。則每一層上蜂窩有效掃描路徑總長

Llayer=0.2×Ai/0.36。

(2)

(3)

建立如下同一切片層上有效掃描路徑的總長度和路徑參數(shù)的關(guān)系方程：

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)可得掃描路徑總長度方程為

(5)

蜂窩單元偏置次數(shù)λ必須取大于等于0的整數(shù)值，且隨著邊長l的增長，其取值必須滿足式(1)，因此結(jié)合式(1)、式(2)和式(5)便可以計算得到如表2所示的5組蜂窩軌跡參數(shù)。

3.2 自適應(yīng)壓應(yīng)力軌跡優(yōu)化模型

在研究蜂窩單元參數(shù)化的基礎(chǔ)上，更進一步將單元參數(shù)和壓應(yīng)力相結(jié)合，得到自適應(yīng)壓應(yīng)力軌跡優(yōu)化模型，進一步提高生成輕量化模型的承載能力。

基于材料力學(xué)基本理論，準(zhǔn)靜態(tài)異面壓縮下的典型應(yīng)力—應(yīng)變曲線包括3個階段：

(1)彈性變形階段 此階段蜂窩壁相當(dāng)于彈性桿受正向壓縮作用，其應(yīng)力—應(yīng)變呈線性關(guān)系，力卸載后能夠恢復(fù)原狀，Gibson等[16]和Wang等[17]針對壓縮實驗的應(yīng)力做了理論研究。

(2)穩(wěn)定屈服階段 隨著應(yīng)力增加，蜂窩壁發(fā)生失穩(wěn)屈服，該過程不斷循環(huán)發(fā)生，導(dǎo)致應(yīng)力在此階段呈現(xiàn)不斷振蕩的形態(tài)。

(3)致密化階段 此階段蜂窩胞元全部折疊或壞損，蜂窩壁間隙較小，持續(xù)壓縮會導(dǎo)致應(yīng)力大幅增加。

本文研究蜂窩的不同邊長和厚度參數(shù)下的承力能力，即彈性變形階段的極大值點，該位置對應(yīng)蜂窩屈服強度，其值可通過下式計算得到：

(6)

式中：Es為蜂窩基體材料的彈性模量；vs為蜂窩材料泊松比；k為蜂窩胞元端面的約束因子；對于正六邊形蜂窩l=h，均為蜂窩胞元的邊長；θ為相鄰蜂窩胞元所夾的銳角；t為蜂窩胞元壁厚。則式(6)中只有t，l是未知量，常量可帶入數(shù)值簡化為常數(shù)C，得到

(7)

在蜂窩壓縮力學(xué)研究中，根據(jù)式(7)可知蜂窩屈服強度與t/l比值有關(guān)。

4 仿真與計算結(jié)果

4.1 實驗條件

蜂窩作為一種應(yīng)用廣泛的輕量化結(jié)構(gòu)，在實際應(yīng)用中經(jīng)常需要承受軸向載荷作用，因此研究蜂窩結(jié)構(gòu)在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮下的受力響應(yīng)至關(guān)重要，而實際的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實驗往往耗時費力，且無法獲得蜂窩結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布情況。首先通過蜂窩參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，使用C++語言在VS2008平臺上生成了蜂窩狀路徑，并且基于OpenGL進行顯示，如圖6a和圖e所示為在單位立方單元生成的參數(shù)化軌跡的俯視圖，其單元邊長l逐漸增大，單元壁厚t逐漸加厚，單元個數(shù)N隨邊長壁厚增大而減少，形成材料不變且參數(shù)梯度變化的一組蜂窩軌跡。根據(jù)蜂窩結(jié)構(gòu)的邊長壁厚參數(shù)，使用Solidworks軟件在50×50×50 mm立方體中構(gòu)建有限元實體模型，圖7所示為5組不同參數(shù)的實體模型，其中每個實體模型的材料(丙烯腈—丁二烯—苯乙烯(ABS))相同。最后，采用Abaqus有限元軟件模擬實際壓縮的實驗環(huán)境，對建立的蜂窩結(jié)構(gòu)有限元模型進行數(shù)值模擬。

有限元實體模型如圖8a所示，所用材料為丙烯腈—丁二烯—苯乙烯，材料參數(shù)如表1所示，該結(jié)構(gòu)的參數(shù)如表2所示。本文構(gòu)建立方體模型中的蜂窩結(jié)構(gòu)，使用Abaqus/CAE 6.13-1軟件包構(gòu)建充當(dāng)實際準(zhǔn)靜態(tài)實驗壓頭和底座夾具的剛體模型。

FEA過程中模型的邊界條件如圖8a所示，將模型放置在兩個剛性板之間，并且兩剛性板和模型的切向摩擦系數(shù)設(shè)為0.2。頂板只保留Z向的位移自由度，底板則約束其所有自由度，通過在上剛性板參考點的Z軸方向施加負向位移邊界載荷來模擬實際壓頭對模型的壓縮測試，在保證線彈性階段的基礎(chǔ)上允許頂板在Z方向位移1 mm～2 mm。在保證模型精度和節(jié)省時間的前提下，文中使用C3D10的單元類型進行模型的網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格是具有四面體特征的元素。

4.2 自適應(yīng)蜂窩結(jié)構(gòu)承載性能驗證

圖8b～圖8f所示為FEA的應(yīng)力分布云圖，該圖采用垂直Z軸平面截取試樣云圖，更直觀地展示了內(nèi)部云圖的分布狀況，表示了模型在圖9a力—位移曲線線性拐點處的云圖分布狀況。灰色云圖區(qū)域表示立方體模型的最早失效區(qū)域，其應(yīng)力明顯高于蜂窩結(jié)構(gòu)的極限應(yīng)力；紅色云圖區(qū)域表示蜂窩結(jié)構(gòu)達到破裂極限。比較圖9a所示的5種蜂窩結(jié)構(gòu)試樣在線彈性階段的力—位移曲線可知，l=8.0mm，t=1.48 mm的試樣在線性彈性階段的承載能力最大，其他試樣的承載能力略小，且相互間的承載能力不是線性遞減關(guān)系，而存在細微的波動。由應(yīng)力理論公式可知，模型在線性彈性階段的極限應(yīng)力與單元間距邊長的比值(t/l)3成正比關(guān)系，表2計算出了(t/l)3的比值，所生成的曲線如圖9b所示。比較5種試樣可知，參數(shù)l=4.1 mm，t=0.76 mm和l=8.0 mm，t=1.48 mm試樣的(t/l)3比值近似相等，其他試樣的參數(shù)比值略小，前兩個試樣的極限應(yīng)力略大于其他試樣，即前兩個試樣的承載能力強于其他試樣。由此得到結(jié)論，l=8.0 mm，t=1.48 mm的試樣承載能力最強約為30 kN，l=4.1 mm，t=0.76 mm和l=8.0 mm，t=1.48 mm試樣相差不大，其余試樣的承載能力呈波動狀遞減。

4.3 非均布載荷下的蜂窩軌跡生成與性能驗證

在4.2節(jié)均布載荷研究基礎(chǔ)上得出結(jié)論，在材料用量不變且模型需要承受較強載荷時，可以直接使用l=8.0 mm，t=1.48 mm試樣蜂窩路徑單元的邊長壁厚參數(shù)對模型進行輕量化設(shè)計，得到蜂窩軌跡路徑。針對非均布載荷作用于模型右下角區(qū)域的情況，通過算法生成局部蜂窩單元壁厚增加的軌跡路徑(如圖10b～圖10d)，根據(jù)該區(qū)域的應(yīng)力分布狀況，自適應(yīng)地增加模型右下角區(qū)域蜂窩及周圍相鄰單元的壁厚，生成蜂窩單元壁厚從左上角到右下角梯度增加的軌跡，進一步增強了該結(jié)構(gòu)承受非均布載荷的能力。

模型優(yōu)化前后的時間—位移曲線如圖9c所示，其中曲線M0表示蜂窩結(jié)構(gòu)優(yōu)化前，M1～M3表示蜂窩結(jié)構(gòu)局部增加壁厚優(yōu)化后，曲線M0線性拐點的位移比M1～M3大，蜂窩結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的局部壁厚越大強度越高。根據(jù)FEA得到的實驗結(jié)果如下：均布載荷獲得參數(shù)構(gòu)建的輕量化模型在承受非均布載荷時的云圖如圖10a所示，紅色區(qū)域為蜂窩結(jié)構(gòu)受非均布載荷優(yōu)化前的云圖分布范圍，圖10b～圖10d是對應(yīng)力集中區(qū)域的蜂窩結(jié)構(gòu)增加壁厚優(yōu)化后的云圖，紅色應(yīng)力集中區(qū)域明顯比優(yōu)化前減小，說明隨著模型局部應(yīng)力集中區(qū)域的蜂窩壁厚不斷增加，該部位承載能力不斷增強，應(yīng)力集中現(xiàn)象不斷減弱。模型優(yōu)化前后的時間—位移曲線如圖9c所示，其中曲線M0表示蜂窩結(jié)構(gòu)優(yōu)化前，M1～M3表示蜂窩結(jié)構(gòu)局部增加壁厚優(yōu)化后，曲線M0線性拐點的位移比M1～M3更大，蜂窩結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的局部壁厚越大，強度越高。

5 結(jié)束語

本文針對3D打印模型的輕量化問題提出面向應(yīng)力分布的自適應(yīng)3D打印路徑生成技術(shù)。首先給定耗材和均布載荷約束，通過將蜂窩單元參數(shù)化來構(gòu)建具有承載能力的輕量化蜂窩軌跡，并使用有限元軟件分析輕量化模型的承載能力，獲得極限應(yīng)力下的最優(yōu)蜂窩單元參數(shù);然后對獲得的優(yōu)化蜂窩結(jié)構(gòu)繼續(xù)給定非均布載荷約束，增加應(yīng)力集中區(qū)域單元壁厚。該設(shè)計解決了耗材浪費、打印效率不高、模型力學(xué)性能不足的問題。

根據(jù)目前實驗發(fā)現(xiàn)，模型的力學(xué)性能還受到復(fù)合載荷的影響，本文只討論了在單一載荷作用下蜂窩結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，未來工作將進一步研究增加復(fù)合載荷工況下蜂窩打印路徑的生成，以及每層蜂窩排布不同的多樣化設(shè)計，并通過力學(xué)實驗進一步完善自適應(yīng)生成過程。