朱海玲

【摘 要】本文簡要介紹構(gòu)造思想的思維特征，梳理構(gòu)造法的主要類型，以例講解構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，從已知條件和結(jié)論入手，通過構(gòu)造新的數(shù)學(xué)形式將復(fù)雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化，從而巧妙地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 構(gòu)造思想 多維發(fā)散 數(shù)量關(guān)系

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）06B-0159-02

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)及其重要的位置，其核心方法是從已知條件和結(jié)論入手，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，借助此形式來解決一些相關(guān)問題。筆者在多年的教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)的多個(gè)章節(jié)的知識(shí)中都有所體現(xiàn)，應(yīng)用構(gòu)造思想能夠較好地提高高中生的解題效率，并不斷促進(jìn)其創(chuàng)造性思維能力的提升。

一、拔絲抽繭，認(rèn)識(shí)構(gòu)造思想的思維特征

構(gòu)造法作為一種常見的數(shù)學(xué)解題方法，具有直觀性、靈活性等諸多優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于高中階段的學(xué)生來說，構(gòu)造法能夠極大地鍛煉和培養(yǎng)其思維的多樣性。教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)通過對(duì)比構(gòu)造、聯(lián)想構(gòu)造、歸納構(gòu)造以及逆向構(gòu)造等多種構(gòu)造方式來逐步提升學(xué)生的思維活力，促進(jìn)其創(chuàng)造性思維能力的提升。

在運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到兩點(diǎn)：第一，構(gòu)造出的方程或者是命題等數(shù)學(xué)形式應(yīng)當(dāng)是在滿足題中已知條件的基礎(chǔ)上；第二，學(xué)生在構(gòu)造時(shí)不能盲目構(gòu)造，應(yīng)當(dāng)有明確的方向，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行構(gòu)造。這樣學(xué)生才能夠深入認(rèn)識(shí)到構(gòu)造法的本質(zhì)，并利用相關(guān)結(jié)論進(jìn)行解題，不斷促進(jìn)其解題效率的提升以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷升華。

二、多維發(fā)散，梳理構(gòu)造法的主要類型

構(gòu)造法能夠較大地培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散性能力，因此教師在教學(xué)當(dāng)中要有意識(shí)地梳理構(gòu)造法的主要類型，使學(xué)生能對(duì)號(hào)入座，見題知意。

（一）構(gòu)造命題法，證明等價(jià)命題。對(duì)于某些命題來說，對(duì)其直接證明時(shí)學(xué)生可能會(huì)感覺無從下手，此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造等價(jià)命題再進(jìn)行證明。學(xué)生可以根據(jù)命題的某些特性，比如原命題與逆否命題等價(jià)來進(jìn)行證明，或者是根據(jù)命題構(gòu)造出熟悉的模型來解決問題，這樣能夠極大地簡化證明過程。

對(duì)于這個(gè)題目來說，學(xué)生可以構(gòu)造一個(gè)新的命題，原命題可以等價(jià)為把 10 個(gè)相同的小球分為四份，即在 9 個(gè)空中插入三個(gè)隔板，即 種。

由此可見，對(duì)于這種命題證明類型的題目，學(xué)生剛接觸時(shí)不要操之過急，可以先認(rèn)真思考是否可以構(gòu)造其等價(jià)命題將其轉(zhuǎn)化。這樣做不僅能夠極大地簡化解題過程，而且能夠全面提升學(xué)生解題效率和數(shù)學(xué)成績。

（二）構(gòu)造新元法，求解三角問題。對(duì)于某些題目來說，其在解題時(shí)需要構(gòu)造新的變量代入原式，尤其是三角函數(shù)，其諸多特性使得其經(jīng)常作為新元被代入解決相關(guān)問題。這樣可以將不熟悉的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答。這樣做，在增強(qiáng)了學(xué)生的思維活力的同時(shí)也減小其思維跨度，促進(jìn)其良好思維方式的形成。

對(duì)于這類相似的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新元，引入三角函數(shù)代換解決。這樣不僅使思路清晰明了，而且能極大地簡化解題過程，因此這種方法非常值得推廣。值得一提的是，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)題目中的注意事項(xiàng)和關(guān)鍵點(diǎn)給予重視和強(qiáng)調(diào)，爭取做到萬無一失。

（三）構(gòu)造反例法，選擇特殊實(shí)例。在某些題目中，尤其是選擇、填空類型的題目，往往只需要學(xué)生得到最終結(jié)果，不需要太過詳細(xì)的解答過程。對(duì)于這種題目，構(gòu)造法無疑是一種很好的選擇，學(xué)生可以通過構(gòu)造一兩個(gè)反例的方式來快速解題。

在教學(xué)選修 2-1 的 2.3《充要條件》的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，有這樣一道題：

兩條線段 PA、PB 與平面成角相等的充要條件是 PA=PB，試判斷該命題是否正確。

對(duì)于這種題目來說，學(xué)生只要構(gòu)造出一個(gè)范例證明該結(jié)論不成立，那么該命題即為假命題。在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生積極思考，舉出了以下這兩種反例推翻了該命題。如圖所示，左圖說明該命題的充分性不成立，右圖說明該命題的必要性不成立。所以說對(duì)待這種類型的題目時(shí)，學(xué)生可以選取特殊值法構(gòu)造反例來進(jìn)行求解。這樣做不僅節(jié)省時(shí)間，而且更有助于學(xué)生思維能力的發(fā)展。

通過這個(gè)實(shí)例不難看出，反例的構(gòu)造能夠快速地推翻該命題，得到該命題為假命題的結(jié)論。除此之外，學(xué)生還可以通過代入一些特殊值、點(diǎn)等來直接選擇答案，提高解題效率。

三、多元實(shí)踐，強(qiáng)化構(gòu)造法的廣泛應(yīng)用

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，在向量、三角以及數(shù)列等多個(gè)章節(jié)都有所體現(xiàn)，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)這種類型的題目進(jìn)行歸納整理，使學(xué)生在應(yīng)用的時(shí)候能做到得心應(yīng)手、舉一反三。

（一）構(gòu)造向量，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。知識(shí)之間往往是相通的，教師在教學(xué)時(shí)要注重對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系進(jìn)行梳理。比如，通過構(gòu)造向量，學(xué)生能夠巧妙地將三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)與向量相結(jié)合，靈活地解題，提升學(xué)生的解題效率，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

在教學(xué)必修 4 第二章《平面向量》時(shí)，有這樣一道例題：

某平面上有三個(gè)向量 a，b，c，這三個(gè)向量都是單位向量，且 a，b 兩向量相互垂直，問（a-c）（b-c）的最大值和最小值分別是多少。

在解答這道題時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)題目中的“單位向量”“相互垂直”和“最值”等字眼聯(lián)想到學(xué)過的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，這樣學(xué)生就可以設(shè) a（1，0），b（0，1），其數(shù)量積為零說明其相互垂直，滿足題意，然后設(shè) c 為（sinα，cosα），則（a-c）（b-c），再結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)不難得出：該式的最大值為 ，最小值為 。因此在遇到這種類型的題目時(shí)，教師要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)造向量，促進(jìn)其對(duì)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，全面提升其解題效率。

（二）構(gòu)造函數(shù)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。方程與函數(shù)向來都是緊密聯(lián)系、密不可分的，所以在遇到與方程或者函數(shù)相關(guān)的題目時(shí)，可以在這二者之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化、構(gòu)造。比如，將方程零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題等，這樣不僅可以促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)遷移能力的提升，而且更有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

在教學(xué)必修 1 第二章《指數(shù)函數(shù)》的相關(guān)知識(shí)時(shí)，由于指數(shù)函數(shù)相比于其他函數(shù)來說較為復(fù)雜，學(xué)生不好理解。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造方程法來解決相關(guān)問題，比如：

x 滿足方程 ex=3x+a，若此方程有實(shí)數(shù)根，求 a 的范圍。

這種題目用以前的常規(guī)思路是不容易解答的，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑。比如，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，令 ex=f（x），3x+a=g（x），這樣可以將 f（x）求導(dǎo)后求出斜率等于 3 時(shí)的切線方程，這樣 a 的范圍也就呼之欲出了。經(jīng)過這個(gè)過程，把方程有實(shí)數(shù)解的問題巧妙地轉(zhuǎn)化為函數(shù)有交點(diǎn)的問題，化抽象為具體，學(xué)生理解起來也更容易，更能有效促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新性思維能力的提升。

（三）構(gòu)造數(shù)列，探求解題捷徑。構(gòu)造數(shù)列法一般應(yīng)用于數(shù)列求和問題中，該方法的應(yīng)用能夠極大地簡化解題過程，提高學(xué)生的解題效率。這種類型的題目并不難做，我們需要讓學(xué)生依據(jù)題干給出的關(guān)系式進(jìn)行變形和構(gòu)造，爭取將其改造成我們熟悉的等差和等比數(shù)列的形式就行。這樣我們就可以選擇套用公式的方法來進(jìn)行求解。

總之，構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，對(duì)此教師應(yīng)當(dāng)分類進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生掌握構(gòu)造法在各種類型題目中的應(yīng)用方法。通過構(gòu)造新的數(shù)學(xué)形式的方式將復(fù)雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化。在解題時(shí)對(duì)癥下藥，巧妙解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。掌握這種方法能較快地提升學(xué)習(xí)效率，使數(shù)學(xué)成績得到提高，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升。

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（責(zé)編 盧建龍）