賈芳 張魁正 胡銀泉 張浩亮 胡利云3)? 范洪義

1)(江西師范大學(xué),江西省光電子與通信重點(diǎn)實驗室,南昌 330022)2)(中國科技大學(xué)材料科學(xué)與工程系,合肥 230026)3)(江西師范大學(xué),量子科學(xué)與技術(shù)中心,南昌 330022)(2018年2月28日收到;2018年4月11日收到修改稿)

1 引 言

量子糾纏是量子物理中的一個奇異現(xiàn)象.為了驗證量子態(tài)的非經(jīng)典特性(包括量子糾纏),實現(xiàn)不同的量子任務(wù),人們需要制備不同的量子態(tài)并期望對其實現(xiàn)操控.作為一種線性光學(xué)器件,光束分離器是常用于量子態(tài)的制備及量子理論等領(lǐng)域的思想實驗和現(xiàn)實實驗的手段,也是大多數(shù)干涉儀的關(guān)鍵部分.此外,光束分離器也是量子力學(xué)中糾纏態(tài)表象制備的有效方法.例如,利用對稱光束分離器可以制備質(zhì)心坐標(biāo)Q1+Q2及相對動量P1?P2的共同本征態(tài)|η?,它構(gòu)成了一個完備的量子力學(xué)表象[1];該表象可用于構(gòu)建復(fù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換[2]、糾纏分?jǐn)?shù)傅里葉變換[3,4],通過經(jīng)典尺度變換?可構(gòu)建雙模壓縮算符[5]也可以用于描述系統(tǒng)與環(huán)境之間的糾纏.基于該表象可以方便有效地求解密度算符主方程,得到密度算符的Kraus算符和表示,并可將特征函數(shù)歸結(jié)為態(tài)矢量與熱糾纏態(tài)表象的內(nèi)積,從而為分布函數(shù)(Wigner函數(shù)、特征函數(shù))的時間演化提供了簡便的計算方法[6].此外,該表象在求解兩體動力學(xué)問題、量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、算符恒等式推導(dǎo)等方面有著廣泛應(yīng)用[5,7?11].當(dāng)兩個單模壓縮真空態(tài)輸入光束分離器,可獲得雙模壓縮真空態(tài).該態(tài)在量子密鑰分發(fā)等方面有廣泛應(yīng)用[12,13].

另一方面,光束分離器也被廣泛應(yīng)用于量子信息與量子計算中.為了研究的方便,人們常常用光束分離器來模擬量子耗散,如光束分離器一輸入端為真空用于模擬振幅衰減通道,輸入熱態(tài)模擬有限溫度通道,壓縮熱態(tài)輸入模擬相位敏感的耗散通道[14].這些模擬與相應(yīng)密度算符主方程的等價性已被證明.當(dāng)光束分離器一端輸入真空,在一輸出端進(jìn)行條件光子數(shù)探測,該過程可以用于實現(xiàn)光子扣除,從而制備若干非經(jīng)典態(tài)、改善量子糾纏與量子隱形傳輸保真度等[15?18].此外,多個光束分離器的組合系統(tǒng)也具有廣泛應(yīng)用.馬赫-曾德爾干涉儀由兩個光束分離器構(gòu)成,被廣泛用于量子精密測量[19?21];兩個共享一端(前光束分離器一個輸出作為后一光束分離器的一個輸入)的光束分離器組合被用于實現(xiàn)有限維的量子態(tài)工程,如可實現(xiàn)連續(xù)量子態(tài)的截斷、離散比特量子疊加態(tài)的隱形傳輸、量子糾纏度改善與壓縮度增強(qiáng)等[22?24];兩個級聯(lián)的馬赫-曾德爾干涉也被用于制備真空態(tài)與單光子態(tài)的超疊加,該方案比其他相關(guān)方案具有更高的測量概率且具有更高抵抗環(huán)境的能力[23];三個不對稱光束分離器組成的三個輸入與三個輸出的系統(tǒng)可用于實現(xiàn)受控非門[25,26].由n個光束分離器組合系統(tǒng),如算符形式為

被用于獲得多模Einstein-Podolsky-Rosen糾纏態(tài)、相干糾纏態(tài)表象等[27,28].最近,利用光束分離器算符在表象中的表示,研究表明該算符可分解成多個單模壓縮算符、雙模壓縮算符的乘積[29].

在以上的研究中,一方面,利用Heisenberg繪景中光束分離器算符的變換關(guān)系獲得量子力學(xué)糾纏態(tài)表象及其Schmidt分解、光束分離器算符的正規(guī)乘積表示等不夠直接有效;另一方面,當(dāng)多個光束分離器組成復(fù)雜系統(tǒng)時,計算輸出量子態(tài)時(在Schr?dinger繪景中)通常要逐步將光束分離器算符作用于量子態(tài)上,計算過程較為復(fù)雜.基于此,注意到在Heisenberg繪景中可直接給出總體算符的變換矩陣以及借鑒壓縮算符在坐標(biāo)表象中自然表示的思想,本文結(jié)合有序算符內(nèi)的積分技術(shù)直接導(dǎo)出多個光束分離器級聯(lián)總算符的正規(guī)乘積、緊指數(shù)表示、坐標(biāo)態(tài)表象中的表示.同時,基于多級聯(lián)器件制備新糾纏態(tài)表象,直接導(dǎo)出它們的Schmidt分解.該研究方法可推廣至線性器件甚至非線性器件組成的任意系統(tǒng)中.

本文第二部分通過簡要回顧單個光束分離器的變換關(guān)系,建立了Heisenberg繪景中湮沒算符的變換矩陣與Schr?dinger繪景中產(chǎn)生算符的變換矩陣的對應(yīng)關(guān)系——二者可以通過簡單的轉(zhuǎn)置操作聯(lián)系.這為繪景間的轉(zhuǎn)換提供了直接途徑.同時,結(jié)合有序算符內(nèi)積分技術(shù)和量子力學(xué)表象理論,推導(dǎo)了單個光束分離器算符的正規(guī)乘積和緊指數(shù)表示.第三部分基于以上方法,進(jìn)一步考慮了兩級聯(lián)光束分離器總算符的表象表示及其正規(guī)乘積,并推廣至多個級聯(lián)光束分離器算符情況.第四部分以兩級聯(lián)光束分離器為例,考察了它們在量子力學(xué)表象構(gòu)建、基于條件測量產(chǎn)生非經(jīng)典量子態(tài)方面的應(yīng)用.其中,總算符的表象表示與正規(guī)乘積形式為計算提供了很大便利.最后是結(jié)論部分.

2 單個光束分離器的變換關(guān)系及變換算符

2.1 單個光束分離器的變換關(guān)系

首先,回顧一下單個光束分離器特點(diǎn).如圖1所示,單個光束分離器由兩個輸入端、兩個輸出端構(gòu)成.用算符a1和a2表示輸入場模,b1和b2表示輸出場模.由于該過程是一個線性過程,故而輸入輸出關(guān)系可表示為

其中矩陣M為單個光束分離器對應(yīng)的散射矩陣——幺正變換矩陣.為方便,(2)式中忽略了相位因子項.對于無損失光束分離器,輸入輸出端的總光子數(shù)必守恒,即要求

圖1 單個光束分離器的輸入輸出示意圖Fig.1.Simple diagram for input-output relation of single beam splitter(BS).

由于算符平均值不依賴于具體的繪景,即在Heisenberg繪景中平均值與(4)式相等,則要求Heisenberg繪景中算符OH演化滿足

故由(1)和(5)式可知,與光束分離器算符U所對應(yīng)的輸入輸出關(guān)系為

Mij是(2)式的矩陣元.至此,我們并不知道算符U.為了得到算符U的具體形式或者輸出態(tài)的具體形式,就需要將問題的討論轉(zhuǎn)到Schr?dinger繪景中去. 不失一般性,設(shè)輸入態(tài)為|00?為雙模真空態(tài),則輸出態(tài)為

(8)式最后一步中利用了光束分離器算符的線性特征U|00?=|00?,以及U?U=I. 比較(6)和(8)式易見,在Heisenberg繪景和Schr?dinger繪景中需要計算的分別是變換那么,這兩個變換之間是如何通過變換矩陣M相聯(lián)系的呢?注意到,變換UOU?實際上是一個逆變換過程,即將原輸出算符看成輸入算符,原輸入算符看成輸出算符——交換了輸入輸出關(guān)系.或者說,以上這個變換實現(xiàn)了算符的變換.故而逆變換的輸入輸出關(guān)系可寫為

其中散射矩陣N為變換UOU?所對應(yīng).聯(lián)立(1)和

(9)式可得

2.2 幺正變換算符U的表象表示及其正規(guī)乘積

那么,與變換關(guān)系式(1)對應(yīng)的幺正變換算符U是什么呢? 下面,利用量子力學(xué)表象理論方法以及有序算符內(nèi)積分技術(shù)來推導(dǎo)U的具體形式. 設(shè)光束分離器兩輸入端為坐標(biāo)算符和的本征態(tài)?和?,且?和則輸出量子態(tài)為

其中坐標(biāo)態(tài)為

注意到,對于(2)式給出的散射矩陣為實矩陣,則有MMT=MTM=I以及|M|=1,故(15)式可改為

則幺正算符U在坐標(biāo)表象中可表示為

進(jìn)一步利用有序算符內(nèi)積分技術(shù)可得U的正規(guī)乘積形式為[29]

此即光束分離器算符的正規(guī)乘積表示.通過(18)式U對θ微商不難獲得

故U的緊指數(shù)表示為

3 級聯(lián)光束分離器算符的表象表示及正規(guī)乘積

3.1 兩級聯(lián)光束分離器算符的表象表示

首先,考慮兩個級聯(lián)光束分離器算符的整體變換關(guān)系及其坐標(biāo)表象中的表示,并由此推導(dǎo)級聯(lián)光束分離器算符的正規(guī)乘積.兩級聯(lián)光束分離器如圖2所示.兩個光束分離器的變換關(guān)系分別為

其中總散射矩陣Mtot-2為

按照推導(dǎo)(17)式的方法直接可得兩級聯(lián)光束分離器算符在坐標(biāo)表象中的表示為

實際上,按照單個光束分離器算符的坐標(biāo)表示式(17)亦可得Utot-2的坐標(biāo)表象中的表示式(24).

圖2 兩個級聯(lián)光束分離器示意圖Fig.2.Simple diagram for two-cascaded beam splitters.

3.2 兩級聯(lián)光束分離器算符的正規(guī)乘積與緊指數(shù)表示

利用有序算符內(nèi)積分技術(shù)和坐標(biāo)態(tài)(14)式、積分式(24)并注意到可得兩級聯(lián)光束分離器算符的正規(guī)乘積為

(24)和(25)式在糾纏態(tài)表象的制備及在給定輸入量子態(tài)時計算輸出態(tài)時有方便有效的應(yīng)用.利用算符恒等式:可得

此即級聯(lián)光束分離器算符的緊指數(shù)表示.通過對變換矩陣Mtot-2進(jìn)行對角化,可進(jìn)一步獲得(26)式不包含對數(shù)的具體形式.

3.3 多光束分離器級聯(lián)

以上討論可方便地推廣至多光束分離器級聯(lián)的情況.考慮如圖3所示的n個光束分離器的級聯(lián).對于此類級聯(lián),可知n個光束分離器對應(yīng)的變換矩陣為

圖3 多個級聯(lián)光束分離器示意圖(這里只列出了一種常見形式)Fig.3.Simple diagram for multi-cascaded beam splitters.Here we show an example.

其中

其中K是實對稱且正定的n×n方陣,可得Utot-n的正規(guī)乘積為

相應(yīng)的級聯(lián)光束分離器總算符的緊指數(shù)表示則為

4 級聯(lián)光束分離器算符的應(yīng)用

下面,考慮兩級聯(lián)光束分離器算符的表象表示及正規(guī)乘積在量子力學(xué)糾纏態(tài)表象的構(gòu)造、輸出量子態(tài)計算方面的應(yīng)用.實際上,光束分離器的各種組合在量子態(tài)的制備中十分易見.以下的討論方法可直接推廣至多光束分離器級聯(lián)的情況,這里僅以兩級聯(lián)光束分離器為例.

4.1 量子力學(xué)表象的制備

首先,利用級聯(lián)光束分離器算符的表象表示來構(gòu)造糾纏表象.注意到若3個輸入端均為坐標(biāo)態(tài)時,并不能得到糾纏表象,而是3個坐標(biāo)態(tài)的直積態(tài).此外,由(17)式可知,當(dāng) a1,a2模分別輸入坐標(biāo)態(tài)時輸出量子態(tài)仍然為坐標(biāo)直積態(tài),而非糾纏態(tài).因此,考慮 a1,a2,a3模分別輸入坐標(biāo)態(tài)動量態(tài)和坐標(biāo)態(tài)即輸入態(tài)為利用(24)式與坐標(biāo)態(tài)、動量態(tài)內(nèi)積關(guān)系可得輸出態(tài)為

(35)式即為輸出態(tài)|Ψ?out在坐標(biāo)表象中的Schmidt分解.可見,當(dāng)兩個坐標(biāo)態(tài)和一個動量態(tài)輸入時,可得到一類新的糾纏態(tài)表象,(35)式即是該糾纏態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示.那么,該態(tài)具體形式是什么?是什么算符的共同本征態(tài)呢?利用坐標(biāo)態(tài)的表達(dá)式(14),直接積分(35)式可得

此外,由(22)式可知

式可得

其中

不難看出,(40)式中右邊算符是可對易的.由(40)式直接可得本征方程

至此,我們構(gòu)建了一類新形式的三模糾纏態(tài)表象,它是正交完備的.這一點(diǎn)可直接由表達(dá)式以及坐標(biāo)態(tài)、動量態(tài)的完備性關(guān)系得到;也可利用有序算符內(nèi)積分技術(shù)將正交性和完備性分別寫成

即在正規(guī)乘積下,量子態(tài)的完備性關(guān)系寫成了一個高斯型積分.這也為構(gòu)造量子力學(xué)表象提供了一個新的途徑.糾纏態(tài)表象在其他方面,如構(gòu)造壓縮算符、糾纏分?jǐn)?shù)傅里葉變換以及糾纏分?jǐn)?shù)壓縮變換等也有相關(guān)應(yīng)用[2?4].這些將在進(jìn)一步工作中予以討論.

4.2 條件測量下輸出量子態(tài)的計算

實際上,級聯(lián)光束分離器在量子信息處理、量子態(tài)工程中是一種常用的線性器件.結(jié)合光子數(shù)探測、零差探測等可實現(xiàn)量子CNOT門、非高斯量子態(tài)(如壓縮類-Bell態(tài))、qubit量子態(tài)的隱形傳輸及量子測量精度的改善等.在圖2中,進(jìn)一步考慮在輸出端b2與b3進(jìn)行光子數(shù)探測,a1(a2)與a3分別輸入數(shù)態(tài)|Ψ?12與相干態(tài)|α?3, 那么測量后b1輸出端對應(yīng)于什么量子態(tài)呢?實際上,此過程可看成是量子剪切[32].

其中Mij為矩陣(23)式的矩陣元.將具體值代入(45)式并令可得歸一化輸出態(tài)為

可見,輸出量子態(tài)中只包含了真空態(tài)與單光子態(tài)的組合,即相比于輸入的相干態(tài)而言以上方式實現(xiàn)了相干態(tài)的剪切.特別地,當(dāng)cotθ1cotθ2=1時,輸出態(tài)為|0?+α|1?,即留下了與輸入相干態(tài)的前兩項完全相同的項.有趣的是,當(dāng)?shù)谌3的輸入態(tài)為|0?+μ|1?,不難看出,通過調(diào)整兩光束分離器的透射與反射率可以獲得與|0?+μ|1?相同的輸出態(tài).故該方案也被用于量子隱形傳輸[22].

將矩陣元Mij代入后可得歸一化的輸出態(tài)

恰好就是相干態(tài)的前三項.此外,當(dāng)cot2θ2=0或cot2θ1=0,有

即只要其中一個光束分離器是對稱的,則輸出態(tài)將只包含有|0?,|2?兩個組分.因此,在該方案下,非對稱光束分離器是產(chǎn)生以上三組分疊加態(tài)的必要條件,且當(dāng) 2cot2θ2cot2θ1=1滿足時,輸出態(tài)就是輸入相干態(tài)的前三項.這一結(jié)果要求不對稱的光束分離器.有趣的是,當(dāng)?shù)谌］斎霊B(tài)為的任意疊加態(tài)時,利用上述方案,通過調(diào)整光束分離器的透射率,實現(xiàn)完全相同的疊加態(tài)的輸出是可能的.

5 結(jié) 論

光束分離器是一種應(yīng)用十分廣泛的線性器件,其算符的輸入輸出關(guān)系可在Heisenberg繪景中方便地得到,特別是對于由多個線性器件組成的系統(tǒng),算符輸入輸出關(guān)系可利用單個變換矩陣的乘積直接獲得.然而,在諸多情況下,如計算輸出端檢測到光子數(shù)的概率以及獲得線性器件對應(yīng)的幺正算符表示及其表象表示等,則需要轉(zhuǎn)到Schr?dinger繪景中來計算輸出量子態(tài).基于在Schr?dinger繪景和 Heisenberg繪景計算平均值的等價性,建立了Heisenberg繪景中的變換矩陣與 Schr?dinger繪景中變換矩陣的關(guān)系.具體而言,Heisenberg繪景中湮沒算符的變換矩陣轉(zhuǎn)置后就得到Schr?dinger繪景中的產(chǎn)生算符的變換矩陣.這一簡潔的關(guān)系為Heisenberg繪景和Schr?dinger繪景變換關(guān)系的轉(zhuǎn)換架起了直接的橋梁,即可在Heisenberg繪景中直接給出算符的變換關(guān)系,通過轉(zhuǎn)置后直接應(yīng)用于Schr?dinger繪景,而避免了Schr?dinger繪景中一步一步的算符變換運(yùn)算.

基于以上兩繪景中變換矩陣的聯(lián)系并結(jié)合有序算符內(nèi)的積分技術(shù),本文首先給出了單個光束分離器算符在坐標(biāo)表象中的表示及其正規(guī)乘積形式與緊指數(shù)表示.此后,進(jìn)一步考察了兩個級聯(lián)光束分離器算符的表象表示及正規(guī)乘積形式與緊指數(shù)表示.并推廣至多光束分離器的組合情況.相關(guān)研究內(nèi)容為多模糾纏態(tài)、多模qubit態(tài)的制備提供了一種有效的途徑,且為由光束分離器組成的線性器件系統(tǒng)總作用的算符正規(guī)乘積及其緊指數(shù)表示提供了一般方法.此外,考察了兩個級聯(lián)光束分離器在量子力學(xué)表象制備以及條件測量下制備疊加量子態(tài)中的應(yīng)用.利用級聯(lián)光束分離器的表象表示,不但可以有效地給出糾纏態(tài)表象的Schmidt分解,而且可知輸入若為非經(jīng)典的坐標(biāo)態(tài)(壓縮無限大的理想態(tài))并不能得到糾纏態(tài).這就意味著,向光束分離器輸入非經(jīng)典態(tài)時并不總能獲得糾纏態(tài).利用級聯(lián)光束分離器算符的正規(guī)乘積并結(jié)合條件測量,可以方便地計算輸出量子態(tài),如數(shù)態(tài)|0?,|1?,|2?的疊加態(tài).本文的處理方法可推廣至其他線性器件組成的復(fù)雜系統(tǒng)中.今后,將進(jìn)一步討論新糾纏態(tài)表象在光學(xué)變換,如小波變換、分?jǐn)?shù)傅里葉變換中的應(yīng)用.