張諾亞

（鄭州外國語新楓楊學(xué)校，河南 鄭州 450000）

重力加速度是物理中一個(gè)非常重要的物理量，通常g是指地球地面的物質(zhì)受到引力的作用在真空中下落的加速度。隨著重力發(fā)現(xiàn)，學(xué)者也開始對(duì)它進(jìn)行更深入的研究，第一個(gè)問題就是怎么對(duì)它進(jìn)行測量。

隨后，伽利略發(fā)現(xiàn)了擺的等時(shí)性，惠更斯發(fā)現(xiàn)擺的擺動(dòng)周期和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣瘸煞幢群蛿[長的平方根成正比。于是，人們就利用測定擺的擺動(dòng)周期的方法，來測量重力加速度。1818年，由凱特（Kater)提出一種新的測量方法，設(shè)計(jì)出了一種物理擺，即凱特?cái)[（也稱“可倒擺”，本文稱為“可倒擺”）。波斯坦大地測量研究所曾花了8年測得當(dāng)?shù)刂亓铀俣仁莋=(981.274±0.003）cm/s，因達(dá)到6位有效數(shù)字，故各地對(duì)g的相對(duì)測定，均以此為依據(jù)，很多地區(qū)的g值都曾以此為根據(jù)，進(jìn)行相對(duì)測量而得到。

以往，一些對(duì)于“可倒擺實(shí)驗(yàn)”的研究多集中在對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)和實(shí)驗(yàn)過程的優(yōu)化，使整個(gè)實(shí)驗(yàn)更易于操作。在實(shí)驗(yàn)原理上，學(xué)生需要先理解復(fù)擺相關(guān)知識(shí)才能進(jìn)行推導(dǎo)。本文從實(shí)驗(yàn)中的“可倒擺實(shí)驗(yàn)”的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程出發(fā)，應(yīng)用能量的觀點(diǎn)進(jìn)行分析研究最終得出正確結(jié)果。本文的推導(dǎo)過程在關(guān)注整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的同時(shí)，也應(yīng)用更加基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，使更多不同知識(shí)儲(chǔ)備的實(shí)驗(yàn)者都能很好地理解，結(jié)合對(duì)實(shí)驗(yàn)過程的優(yōu)化，將更利于“可倒擺實(shí)驗(yàn)”的推廣。本文將先介紹傳統(tǒng)對(duì)“可倒擺實(shí)驗(yàn)”原理的推導(dǎo)過程，然后使用能量觀點(diǎn)對(duì)實(shí)驗(yàn)原理進(jìn)行推導(dǎo)解釋。

1 從復(fù)擺到 “可倒擺實(shí)驗(yàn)”原理的推導(dǎo)

首先介紹單擺概念。如果把尺寸很小的物體懸于一端固定的長度為 l且不能伸長的細(xì)繩上，使細(xì)繩和過懸點(diǎn)鉛垂線成角度小于10°（此時(shí)應(yīng)用到數(shù)學(xué)上的小角近似的概念），放手后可以觀察到擺錘周期振動(dòng)，其周期擺的長度以及重力加速度g有關(guān)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用簡諧振動(dòng)公式表示，這樣的擺稱為單擺。單擺的周期公式為：

其中：T為擺動(dòng)周期；l為擺長；g為重力加速度?？梢?，擺的運(yùn)動(dòng)周期與擺的長和所在地的重力加速度相關(guān)。

然后介紹復(fù)擺相關(guān)概念，已知質(zhì)量為m的一個(gè)剛體，重心G到轉(zhuǎn)動(dòng)軸O的距離為h，繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。在這里，我們引入小角近似，當(dāng)擺幅足夠小時(shí)，剛體繞O軸的擺動(dòng)周期T可以被近似表示為：

復(fù)擺繞通過重心G的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IG，當(dāng)G軸與O軸平行時(shí)，有：

代入式（1）得：

對(duì)比單擺的周期公式(1)，可得：

其中，l稱為復(fù)擺的等效擺長。因此測出周期T和等效擺長l可求得重力加速度g。

圖1 “可倒擺實(shí)驗(yàn)”擺桿示意圖

圖1 是“可倒擺實(shí)驗(yàn)”擺桿的示意圖，對(duì)“可倒擺實(shí)驗(yàn)”而言，兩刀口間的距離就是擺的等效擺長l。確定兩刀口位置后，調(diào)節(jié)擺錘位置可使正、倒懸掛時(shí)的擺動(dòng)周期T1和T2保持近似相等，即T1≈T2。由公式（3）可得：

其中，T1和h1為擺繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸O軸的擺動(dòng)周期和旋轉(zhuǎn)中心到重心G的距離。當(dāng)T1≈T2時(shí)，h1+h2=l即為等效擺長。由式（5）和（6）消去IG，得：

式中，a項(xiàng)可以精確求得，b項(xiàng)無法精確求得。當(dāng)T1＝T2以及|2h1-l|的值較大時(shí)，b項(xiàng)的不精確對(duì)測量結(jié)果產(chǎn)生的影響忽略不計(jì)。具體數(shù)據(jù)分析不是本文論述重點(diǎn)，請(qǐng)參見相關(guān)實(shí)驗(yàn)介紹和文獻(xiàn)。

2 用能量觀點(diǎn)對(duì)實(shí)驗(yàn)原理進(jìn)行的推導(dǎo)

以下應(yīng)用能量觀點(diǎn)推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)原理。

實(shí)驗(yàn)中，擺錘運(yùn)動(dòng)過程為周期運(yùn)動(dòng)。在這里，所關(guān)注的分析整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期的能量轉(zhuǎn)化，是接下來推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)。

在“可倒擺實(shí)驗(yàn)”中，當(dāng)把擺錘正掛時(shí)，即將刀口E掛起時(shí)(文中加粗的量表示該量是矢量)，此時(shí)選擇E所在的平面為零勢能面。將擺拉動(dòng)小角度放手，讓擺做周期性擺動(dòng)，此時(shí)關(guān)注兩個(gè)特殊的位置，即“可倒擺”運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。當(dāng)擺錘擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒公式可得：

然后將擺錘倒掛時(shí)，由機(jī)械能守恒公式可得：

與單擺公式推導(dǎo)過程中使用的公式：sinθ≈θ不同，在本節(jié)中使用的小角近似公式為：

同時(shí)，將角速度的形勢進(jìn)行代換為：

此時(shí)，需要特殊說明的是：在“可倒擺實(shí)驗(yàn)”中需要保持正掛擺錘和倒掛擺錘時(shí)的周期近似相等，即T1≈T2。又由等時(shí)性原理可知，此時(shí)正掛和倒掛時(shí)的等效擺長一致。當(dāng)?shù)刃[長一致，保持正掛和倒掛的最大擺角一致時(shí)，兩個(gè)過程中經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的角速度以及角速度的導(dǎo)數(shù)是一致近似的。所以，在接下來的推導(dǎo)中，為了進(jìn)一步優(yōu)化公式，本文將擺錘正掛和倒掛時(shí)的擺角、最低點(diǎn)角速度以及角速度的導(dǎo)數(shù)不作區(qū)分。

通過(10)和(11)進(jìn)行化簡操作，將(10)和(11)代入(8)和(9)，可得：

當(dāng)最大對(duì)公式進(jìn)一步地處理，對(duì)上兩式進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)可得：

將其與(15)式中第一個(gè)公式聯(lián)立可得：

以上為實(shí)驗(yàn)原理推導(dǎo)過程。通過調(diào)節(jié)擺錘的位置可以實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)正掛和倒掛的周期大致相等，即T1≈T2時(shí)。當(dāng)正掛和倒掛的周期相等時(shí)，便可以通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)使用(19)式來實(shí)驗(yàn)測出重力加速度g。在本節(jié)推導(dǎo)出的公式中所需要的實(shí)驗(yàn)限制條件是保持“可倒擺”正掛時(shí)和倒掛時(shí)的擺角一致，對(duì)原實(shí)驗(yàn)過程中|2h1-l|項(xiàng)同樣進(jìn)行要求。本文的實(shí)驗(yàn)中，在其他實(shí)驗(yàn)條件一致時(shí)，增加了實(shí)驗(yàn)限制，即保持正掛和倒掛的最大擺角一致。在定性上，這個(gè)限制減少了實(shí)驗(yàn)誤差。

需要特別說明的是，上述推導(dǎo)過程中應(yīng)用到的小角近似概念、擺的等時(shí)性概念（或者等效擺長概念）和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理都屬于拓展知識(shí)點(diǎn)。對(duì)比兩種推導(dǎo)過程，兩者都提供了比較正確的思路，但后者是在前者的基礎(chǔ)上進(jìn)行另外一種思路的嘗試。

在實(shí)驗(yàn)操作上，可以對(duì)比這個(gè)方法與傳統(tǒng)方法。

相同點(diǎn)：兩種方法都是通過測量等效擺長，擺的周期來計(jì)算重力加速度，且測量擺長和時(shí)間的儀器與方法都相同；實(shí)驗(yàn)約束條件中都需要保持“可倒擺”正掛和倒掛時(shí)的等時(shí)性T1＝T2以及|2h1-l|的值較大。

不同點(diǎn)：此方法的推導(dǎo)對(duì)于實(shí)驗(yàn)過程加了一個(gè)約束條件，即正掛和倒掛時(shí)最大擺角一致，減少了實(shí)驗(yàn)誤差，可以較容易地實(shí)現(xiàn)T1＝T2。且此約束條件可以通過在實(shí)驗(yàn)過程中用鉛垂線、角度尺或其他類似工具實(shí)現(xiàn)，操作起來并不難。

3 結(jié)語

“可倒擺實(shí)驗(yàn)”是用來測量重力加速度的一種非常巧妙的方法，減少了空氣阻力的影響，極大地提高了實(shí)驗(yàn)的精確度。本文對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的推導(dǎo)部分進(jìn)行了介紹，不同于傳統(tǒng)通過復(fù)擺原理對(duì)“可倒擺實(shí)驗(yàn)”周期公式的推導(dǎo)，文中從能量的角度對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)解釋。關(guān)于其他的實(shí)驗(yàn)步驟，后者與前者與保持一致。另外，本文的方法增加了原實(shí)驗(yàn)限制條件，減少了實(shí)驗(yàn)誤差。這種方式對(duì)于深入地理解“可倒擺實(shí)驗(yàn)”原理提供了一種新的思路，更便于從能量守恒的本質(zhì)上理解該實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，由于推導(dǎo)過程與單擺的周期公式推導(dǎo)過程存在緊密聯(lián)系，一定程度上也增強(qiáng)了對(duì)復(fù)擺知識(shí)的理解。