王 雷， 王少華， 張耀輝

(陸軍裝甲兵學(xué)院裝備保障與再制造系， 北京 100072)

傳統(tǒng)的預(yù)防性維修方式通常采用定時(shí)維修模型，常常導(dǎo)致“維修不足”或“維修過(guò)?！??；跔顟B(tài)的維修(以下簡(jiǎn)稱“狀態(tài)維修”)[1]是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的技術(shù)狀態(tài)參數(shù)及其變化進(jìn)行連續(xù)或定期的檢測(cè)，以確定部件劣化程度，及時(shí)發(fā)現(xiàn)潛在故障，預(yù)測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)變化和發(fā)展趨勢(shì)，適時(shí)安排預(yù)防性維修的一種維修方式，是維修領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在進(jìn)行狀態(tài)維修決策時(shí)，通常將系統(tǒng)看作一個(gè)整體，借鑒單部件系統(tǒng)的思想進(jìn)行狀態(tài)維修決策優(yōu)化建模。在工程實(shí)踐中，大多數(shù)多部件系統(tǒng)也是以其中某一關(guān)鍵部件的技術(shù)狀態(tài)為依據(jù)進(jìn)行維修決策。因此，單部件的狀態(tài)維修決策優(yōu)化建模研究具有重要的意義。按照對(duì)系統(tǒng)劣化狀態(tài)的描述，維修決策模型研究主要分為離散變化和連續(xù)變化2種情況：采用馬爾科夫鏈及相關(guān)理論刻畫系統(tǒng)劣化狀態(tài)為離散變化的情況；采用Gamma過(guò)程和比例風(fēng)險(xiǎn)模型等刻畫系統(tǒng)劣化狀態(tài)為連續(xù)變化的情況。賈希勝[2]基于延遲時(shí)間理論，采用Gamma分布描述了機(jī)械磨損過(guò)程，建立了以單位時(shí)間費(fèi)用最小為目標(biāo)的功能檢測(cè)模型；程志君等[3]針對(duì)系統(tǒng)存在故障維修延遲的情況，采用Gamma過(guò)程刻畫了系統(tǒng)連續(xù)劣化規(guī)律，采用周期檢測(cè)策略建立了以維修費(fèi)用最低為目標(biāo)的狀態(tài)維修決策模型;蘇春等[4]基于半馬爾科夫決策過(guò)程，以部件長(zhǎng)期折扣成本最低為目標(biāo)，建立了狀態(tài)維修決策模型，可以有效描述離散狀態(tài)下齒輪箱、葉片等風(fēng)力機(jī)核心機(jī)械部件的性能退化和維修優(yōu)化問(wèn)題；王少華等[5]采用威布爾比例風(fēng)險(xiǎn)模型建立了狀態(tài)維修決策模型，為降低裝備壽命周期費(fèi)用提供了方法支撐；朱田瑋等[6]結(jié)合狀態(tài)監(jiān)測(cè)與風(fēng)機(jī)齒輪箱的故障規(guī)律，建立了威布爾比例風(fēng)險(xiǎn)模型，實(shí)施狀態(tài)維修決策，降低了維修成本。

然而上述研究多是從系統(tǒng)維修費(fèi)用角度出發(fā)進(jìn)行狀態(tài)維修決策建模，忽略了檢測(cè)時(shí)間、維修時(shí)間對(duì)系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率的影響。系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率F是衡量大多數(shù)劣化系統(tǒng)維修效果的重要指標(biāo)，是對(duì)系統(tǒng)在一定條件下無(wú)法正常工作的反映，其值為系統(tǒng)不能工作時(shí)間與總時(shí)間的比值。系統(tǒng)可用度A=1-F，由此可知：減小系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率可提高系統(tǒng)可用度?；诖?，筆者采用Gamma過(guò)程描述部件的連續(xù)劣化狀態(tài)，利用更新過(guò)程理論建立以系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均停機(jī)時(shí)間率最小為目標(biāo)的狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型，采用蒙特卡羅方法同時(shí)優(yōu)化系統(tǒng)檢測(cè)間隔期與預(yù)防性維修閾值，為實(shí)施單部件系統(tǒng)的狀態(tài)維修決策以及建立不同劣化部件組合的多部件系統(tǒng)維修決策模型奠定基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)狀態(tài)維修過(guò)程模型

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)隨機(jī)劣化過(guò)程

根據(jù)系統(tǒng)部件劣化故障機(jī)理，性能劣化是損傷累積的結(jié)果。Gamma過(guò)程能較好地反映系統(tǒng)性能隨著時(shí)間累積單調(diào)非減的劣化狀態(tài)，被廣泛用于描述系統(tǒng)的劣化過(guò)程。

根據(jù)部件劣化規(guī)律，因老化和磨損累積導(dǎo)致性能逐漸劣化，在狀態(tài)檢測(cè)上主要表現(xiàn)為磨損、振動(dòng)、溫度等劣化量，當(dāng)檢測(cè)到劣化量超過(guò)給定閾值時(shí)，系統(tǒng)便會(huì)發(fā)生故障。設(shè)X(t)為t時(shí)刻反映部件劣化程度的特征參數(shù)，則隨機(jī)過(guò)程{X(t),t≥0}可用平穩(wěn)Gamma過(guò)程來(lái)描述。對(duì)于Gamma過(guò)程，劣化量X(t)在每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上均服從Gamma分布，且滿足以下條件：

1) 初始時(shí)刻t=0,X(0)=0,表示系統(tǒng)處于全新工作狀態(tài)。隨著時(shí)間累積，部件劣化狀態(tài)X(t)逐漸增加，發(fā)生故障的可能性隨之增大。

2) 對(duì)于任意時(shí)刻t12),劣化狀態(tài)增量X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)為相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量。

3) 根據(jù)穩(wěn)態(tài)Gamma過(guò)程的性質(zhì)[7]，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程{X(t),t≥0}且X(0)=0，有

X(t+τ)=X(t)+X′(τ),τ∈(0,∞)。

其中，劣化狀態(tài)增量X′(τ)與X(t)相互獨(dú)立，有相同的分布。對(duì)于任意t≥0,τ>0,劣化狀態(tài)增量X(t+τ)-X(t)的分布僅與τ有關(guān)，而與t無(wú)關(guān)，且服從Gamma分布，記分布函數(shù)

G(X,τ)=P{X(t+τ)-X(t)≤x}

，

其概率密度函數(shù)

1.2 系統(tǒng)狀態(tài)維修更新過(guò)程

在工程實(shí)踐中，由于大部分裝備部件并沒(méi)有機(jī)內(nèi)測(cè)試(Built In Test,BIT)設(shè)備，因此連續(xù)檢測(cè)、在線檢測(cè)手段與技術(shù)受到限制，系統(tǒng)實(shí)時(shí)狀態(tài)數(shù)據(jù)的獲取較為困難，通常需要通過(guò)定期檢測(cè)來(lái)確定系統(tǒng)狀態(tài)。頻繁的檢測(cè)便于掌握系統(tǒng)的狀態(tài)信息，但是頻繁停機(jī)會(huì)降低系統(tǒng)的工作效率；反之，過(guò)長(zhǎng)的檢測(cè)周期不利于及時(shí)掌握系統(tǒng)狀態(tài)的變化，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)因發(fā)生功能故障而不能正常工作。因此，檢測(cè)周期過(guò)短或過(guò)長(zhǎng)都會(huì)增加系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間，通常當(dāng)系統(tǒng)劣化特征參數(shù)累積達(dá)到某個(gè)閾值時(shí)進(jìn)行狀態(tài)維修，以降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。同理，預(yù)防性維修閾值過(guò)低會(huì)造成系統(tǒng)頻繁的停機(jī)維修，過(guò)高則會(huì)增加系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。因此，預(yù)防性維修閾值過(guò)高或過(guò)低也都會(huì)增加系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間。為了減少系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間，在系統(tǒng)劣化狀態(tài)描述的基礎(chǔ)上，需對(duì)系統(tǒng)的檢測(cè)與維修策略進(jìn)行優(yōu)化分析。

設(shè)系統(tǒng)的維修方式有定期檢測(cè)、預(yù)防性維修和修復(fù)性維修3類。為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)對(duì)系統(tǒng)關(guān)鍵部件只進(jìn)行換件維修，即當(dāng)部件達(dá)到故障閾值或預(yù)防性維修閾值時(shí)更換該部件，更換后部件的劣化狀態(tài)恢復(fù)到初始投入使用時(shí)的狀態(tài)，系統(tǒng)修復(fù)如新，即系統(tǒng)更新。檢測(cè)方式為完全檢測(cè)，即通過(guò)檢測(cè)能完全確定系統(tǒng)所處的工作狀態(tài)，每次檢測(cè)耗時(shí)為tt。當(dāng)部件進(jìn)行定期檢測(cè)(t=iτ,i=1,2,3,…，檢測(cè)間隔期τ為待優(yōu)化參數(shù))、預(yù)防性維修和修復(fù)性維修時(shí)，系統(tǒng)不再發(fā)生劣化且處于停機(jī)狀態(tài)。當(dāng)劣化狀態(tài)X(t)

由于大部分機(jī)械系統(tǒng)一般服從劣化失效規(guī)律，即故障是由磨損或外界侵蝕造成的，因此其劣化狀態(tài)X(t)越高，其維修難度越大，表現(xiàn)為維修時(shí)間應(yīng)滿足tt

1.3 系統(tǒng)狀態(tài)維修的平均停機(jī)時(shí)間率函數(shù)

根據(jù)模型的假設(shè)條件，為使系統(tǒng)工作時(shí)間盡可能長(zhǎng)，應(yīng)降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率，并減少系統(tǒng)停機(jī)檢測(cè)的次數(shù)，因此，在系統(tǒng)劣化狀態(tài)描述模型基礎(chǔ)上，建立以系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均停機(jī)時(shí)間率最小為目標(biāo)的狀態(tài)維修優(yōu)化函數(shù)。記任意時(shí)刻t的停機(jī)累積時(shí)間為S(t)，根據(jù)更新過(guò)程理論[7]，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均停機(jī)時(shí)間率F可以看作一個(gè)更新周期的期望停機(jī)時(shí)間與期望時(shí)間的比值，即

設(shè)更新周期內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生更新時(shí)的檢測(cè)次數(shù)為Ni，則更新周期的期望時(shí)間為

E(T)=E(E(T|Ni))=

式中：P(Ni=i)為更新周期內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)行i次檢測(cè)的概率。

相應(yīng)地，更新周期的期望停機(jī)時(shí)間為

E(S(T))=E(Ni)tt+Pptp+Pftc，

式中：E(Ni)為更新周期內(nèi)的平均檢測(cè)次數(shù)；Pp為更新周期內(nèi)系統(tǒng)需進(jìn)行預(yù)防性維修的概率；Pf為更新周期內(nèi)系統(tǒng)因發(fā)生故障而需要進(jìn)行修復(fù)性維修的概率。

綜上所述，建立系統(tǒng)狀態(tài)維修的平均停機(jī)時(shí)間率目標(biāo)函數(shù)：

(1)

2 系統(tǒng)狀態(tài)維修優(yōu)化策略的解析模型

為了確定狀態(tài)維修模型中決策變量，即最佳檢測(cè)間隔期τ和預(yù)防性維修閾值p，筆者建立了數(shù)學(xué)解析模型，針對(duì)目標(biāo)函數(shù)給出了相應(yīng)的求解方法。

2.1 更新周期期望停機(jī)時(shí)間E(S(T))的計(jì)算

首先確定更新周期內(nèi)的平均檢測(cè)次數(shù)[8]：

(2)

系統(tǒng)更新主要由2種情況構(gòu)成：一種是進(jìn)行預(yù)防性維修時(shí)系統(tǒng)更新；另一種是進(jìn)行修復(fù)性維修時(shí)系統(tǒng)更新。由于系統(tǒng)故障特征明顯，未到檢測(cè)點(diǎn)時(shí)也可直觀判斷系統(tǒng)劣化狀態(tài)超出故障閾值這一事件，因此當(dāng)系統(tǒng)因發(fā)生故障而停機(jī)時(shí)，故障前一次檢測(cè)為更新周期內(nèi)的最后一次檢測(cè)。

當(dāng)劣化狀態(tài)滿足p≤X(t)

P′(Ni=i)=P{X((i-1)τ)

p≤X(iτ)

(3)

當(dāng)劣化狀態(tài)滿足X(t)≥f時(shí)，t為任意值，系統(tǒng)故障特征不需檢測(cè)便可直觀判斷，系統(tǒng)進(jìn)行修復(fù)性維修后更新，則

P″(Ni=i)=P{(i-1)τ

(4)

根據(jù)劣化狀態(tài)增量服從Gamma分布的性質(zhì)，可得

(5)

同理，可得

(6)

式中：K(f,t)為故障時(shí)刻分布函數(shù)，且滿足

(7)

即對(duì)于性能劣化型系統(tǒng)，當(dāng)隨機(jī)劣化量達(dá)到故障閾值f時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生故障，不需檢測(cè)便停機(jī)進(jìn)行修復(fù)性維修，顯然，系統(tǒng)故障時(shí)刻與停機(jī)維修時(shí)刻為同一時(shí)刻。

同理，系統(tǒng)更新時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維修和修復(fù)性維修的概率分別為

(8)

綜合式(2)-(8)，便可確定更新周期期望停機(jī)時(shí)間E(S(T))的具體表達(dá)式。

2.2 更新周期期望時(shí)間E(T)的計(jì)算

計(jì)算更新周期內(nèi)的期望時(shí)間E(T)時(shí)，只考慮檢測(cè)和維修的時(shí)間，E(T)由預(yù)防性維修時(shí)更新周期期望時(shí)間Ep(T)和修復(fù)性維修時(shí)更新周期期望時(shí)間Ef(T)組成。

由于預(yù)防性維修導(dǎo)致系統(tǒng)更新，則

(9)

由于修復(fù)性維修導(dǎo)致系統(tǒng)更新，此時(shí)系統(tǒng)故障不需檢測(cè)便可直觀判斷，且故障時(shí)刻tf與前一次檢測(cè)時(shí)刻相關(guān)，則

(10)

式(10)中tf可由式(7)得到，則由式(3)、(4)、(9)、(10)，便可確定更新周期期望時(shí)間E(T)的具體表達(dá)式。

2.3 仿真優(yōu)化求解

將E(S(T))和E(T)的具體表達(dá)式代入優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(1)，即可建立系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均停機(jī)時(shí)間率F與決策變量p、τ之間的關(guān)系。利用蒙特卡羅方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行仿真求解[9- 10]，仿真算法流程如圖3所示。

利用MATLAB軟件進(jìn)行編程，首先,對(duì)劣化量首次達(dá)到故障閾值的時(shí)刻tf進(jìn)行數(shù)值模擬，得到一條樣本軌跡；然后，根據(jù)優(yōu)化得到的tf，與設(shè)置的部件劣化參數(shù)α、β、f，相應(yīng)維修時(shí)間tt、tp、tc以及檢測(cè)次數(shù)i等，遍歷整數(shù)p、τ的取值空間，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行仿真求解，得到系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率F與決策變量p、τ的最優(yōu)值。其中：p的取值范圍是小于f的整數(shù)；τ的取值范圍是小于tf/i的整數(shù)。

3 案例分析

3.1 案例求解

假設(shè)某單部件系統(tǒng)的故障模式主要為機(jī)械磨損，根據(jù)Gamma分布參數(shù)的物理意義以及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，確定部件劣化參數(shù)和相應(yīng)維修時(shí)間如表1所示。

表1 部件劣化參數(shù)和相應(yīng)維修時(shí)間

通過(guò)仿真算法得到的劣化量軌跡隨時(shí)間累積呈線性單調(diào)非減的規(guī)律，如圖4所示。其中，劣化量極大值、極小值曲線分別表示X(t)在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上仿真劣化量的最大、最小值，2個(gè)曲線之間的區(qū)域表示X(t)的離散程度。由圖4中劣化量平均值曲線可知：當(dāng)部件的故障閾值f=10時(shí)，得到X(t)首次達(dá)到故障閾值的時(shí)刻tf=30天。

根據(jù)仿真算法，得到平均停機(jī)時(shí)間率F與決策變量p、τ的關(guān)系如圖5所示。

3.2 結(jié)果分析

由圖5得到系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行平均停機(jī)時(shí)間率F與預(yù)防性維修閾值p和最優(yōu)檢測(cè)間隔期τ的關(guān)系，當(dāng)p=7，τ=9天時(shí)，minF=5.57%。根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(1)可知:由于初期τ值過(guò)小，系統(tǒng)頻繁停機(jī)檢測(cè)，造成不必要的停機(jī)時(shí)間損失，使系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率F處于高值；隨著τ增大，系統(tǒng)更新周期期望時(shí)間E(T)相應(yīng)增大，使停機(jī)損失所占比重相應(yīng)減小，F(xiàn)降低；當(dāng)τ>9天時(shí)，由于檢測(cè)周期過(guò)長(zhǎng)，不能及時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維修，使系統(tǒng)因發(fā)生故障而增加大量停機(jī)時(shí)間，F(xiàn)相應(yīng)增加。同理，過(guò)小的p值會(huì)造成系統(tǒng)過(guò)度維修，造成不必要的停機(jī)損失；過(guò)大的p值會(huì)增加系統(tǒng)發(fā)生故障的可能性。因此，決策變量p和τ二者共同作用，與優(yōu)化目標(biāo)F之間的關(guān)系曲面必然存在一個(gè)最低點(diǎn)，對(duì)應(yīng)最小的F值與相應(yīng)的p和τ，如表2中遍歷求解得到的數(shù)據(jù)所示，說(shuō)明本文優(yōu)化方法是可行的。

表2 蒙特卡羅方法優(yōu)化迭代所得F值

3.3 有效性對(duì)比

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，在傳統(tǒng)的定時(shí)維修模型中，設(shè)置相同的部件劣化參數(shù)和相應(yīng)維修時(shí)間，利用3.1節(jié)仿真得到的tf=30天，采用仿真求解得出最優(yōu)預(yù)防性維修間隔期L=10天，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率為8.33%。

由此可見(jiàn)：采用本文優(yōu)化方法得到的預(yù)防性維修閾值p與檢測(cè)間隔期τ進(jìn)行維修決策，可以將更新周期內(nèi)系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率從定時(shí)維修條件下的8.33%減小到5.57%，因此，從任務(wù)性和安全性相關(guān)指標(biāo)來(lái)看，本文方法是適用且有效的。

4 結(jié)論

與從整體費(fèi)用角度出發(fā)進(jìn)行狀態(tài)維修決策的系統(tǒng)相比，軍用裝備更看重從整體可用度角度出發(fā)進(jìn)行狀態(tài)維修決策。筆者考慮了檢測(cè)時(shí)間、維修時(shí)間的影響，利用更新過(guò)程理論，以系統(tǒng)平均停機(jī)時(shí)間率最小為目標(biāo)建立了系統(tǒng)狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型，該模型可有效提高系統(tǒng)可用度。然而，本文在模型假設(shè)方面還有一定的局限性，對(duì)于電子系統(tǒng)等檢測(cè)時(shí)間可能大于維修時(shí)間的情況，還有待進(jìn)一步研究。