魏超，許方,張碧桐,田燕

(1.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 安陽 455000;2.安陽師范學(xué)院 校醫(yī)院,河南 安陽 455000)

0 引言

眾所周知,每個領(lǐng)域或多或少都存在隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)微分方程是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具,并廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和金融等領(lǐng)域隨機(jī)現(xiàn)象的建模[1]。在實際應(yīng)用中,由于受到隨機(jī)因素的干擾,導(dǎo)致隨機(jī)微分方程的參數(shù)全部或部分未知。因此,隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計已經(jīng)成為亟待解決的關(guān)鍵性問題。隨著Arato等學(xué)者在1962年解決了存在于物理學(xué)中的參數(shù)估計問題[2],參數(shù)估計理論逐漸發(fā)展起來。在過去的幾十年里,學(xué)者們運用極大似然估計法[3-4]、貝葉斯估計法[5]和M-估計法[6]等方法研究了連續(xù)觀測下隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計問題。然而,在工程實踐中,任意時間段對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行連續(xù)觀測是很難實現(xiàn)的。所以,研究離散觀測下隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計問題具有重要的工程意義和實用價值。近幾十年來,學(xué)者們將數(shù)值方法與最小二乘法等參數(shù)估計方法相結(jié)合,分析了離散觀測下隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計問題[7-9]。

短期無風(fēng)險利率是金融市場上最重要的價格變量之一,它直接決定了相關(guān)金融產(chǎn)品的定價和利率風(fēng)險的管理。Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders(CKLS)模型是典型的短期利率模型,由Chan等人在1992年提出[10]。多數(shù)單因素模型都可以通過確定CKLS模型中的參數(shù)進(jìn)行表示,例如:Vasicek模型、CIR模型、Dothan模型、B-S模型等。近幾年來,一些學(xué)者對CKLS模型的參數(shù)估計問題進(jìn)行了研究,并取得了優(yōu)異的成績。例如:何云中[11]運用Hermite多項式法分析了CKLS模型的參數(shù)估計;Fredd和Gallego[12]利用極大似然估計法討論了CKLS模型的參數(shù)估計,給出參數(shù)估計量的表達(dá)式并進(jìn)行了數(shù)值模擬。

雖然學(xué)者們對CKLS模型的參數(shù)估計問題進(jìn)行了一定的研究,但是在已有的研究成果中,并未給出估計誤差的解析表達(dá)式,也缺乏對參數(shù)估計量漸近性質(zhì)的分析,沒有從理論上分析所得估計量的有效性。在本文中,我們將Euler方法與極大似然估計法相結(jié)合,給出參數(shù)估計量和估計誤差的解析表達(dá)式,分析了漂移項和擴(kuò)散項參數(shù)估計量的強相合性,并通過數(shù)值例子驗證了所得估計量的有效性。

1 問題描述

本文研究如下隨機(jī)微分方程描述的Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型的參數(shù)估計問題:

dXt=k(θ-Xt)dt+σXtγdWt,X0=x0,

(1)

其中,k,θ,σ為未知參數(shù),γ為常數(shù),且γ∈(0,1)。漂移因子k(θ-Xt)確保了利率的均值回歸,即,利率會趨向于一個長期值θ。

由于(1)式是非線性隨機(jī)微分方程,無法得到轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的解析表達(dá)式。因此,本文運用Euler數(shù)值方法和極大似然估計法相結(jié)合來解決參數(shù)的估計問題。首先運用Euler方法離散化連續(xù)時間擴(kuò)散過程,然后基于獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量定義一個新變量,并利用極大似然估計法求得參數(shù)的估計量。在闡述具體的過程之間,我們先給出一些假設(shè)條件。

1.k,θ,σ為正值,x0>0且x0與Wt獨立。

3.存在常數(shù)L>0,滿足|k(θ-x)|≤L(1+|x|).

現(xiàn)在,我們給出獲得似然函數(shù)和參數(shù)估計量的詳細(xì)過程。

對Δt>0,考慮以等距時間點列t0,t1,t2,…,tn,ti=iΔ離散化方程(1)可得

(2)

其中,εti是獨立同分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的序列,且對每個i,εti都與{Xtj,j

因此,Zti的密度函數(shù)為

進(jìn)而,得到似然函數(shù)的表達(dá)式

對數(shù)似然函數(shù)為

(3)

解方程組:

可得參數(shù)估計量為

2 主要結(jié)論

由于

且

同理,

令XM=sup0≤ti-1<∞{Xti-1},容易得到

證明

根據(jù)Ito引理,得到

d(Xtu-Xti-1)2=2(Xtu-Xti-1)k(θ-Xtu)dtu+2(Xtu-Xti-1)σXtuγdWtu+σ2Xtu2γdtu.

所以,

因此

應(yīng)用Holder不等式和Cauchy-Schwarz不等式,得到

由于

且

Ε|Xtu-Xti-1|8=O(Δ4),

根據(jù)假設(shè)條件2和3,可得

由于

且

可得Ε〈M〉t=nO(Δ2).

3 模擬

表1 k,θ,σ2極大似然估計量的模擬結(jié)果

4 結(jié)論

本文研究了離散觀測下Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型的參數(shù)估計問題,給出漂移項和擴(kuò)散項參數(shù)估計量的解析表達(dá)式,證明了估計量的強相合性,并通過數(shù)值例子驗證了所得極大似然估計量的有效性。本文的創(chuàng)新之處在于給出了Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型估計誤差的解析表達(dá)式,分析了估計量的強相合性并給出了數(shù)值例子,這些問題在已有的成果中并未研究。今后,我們要考慮擴(kuò)散項和漂移項均含有未知參數(shù)的一般非線性隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計問題。