袁冰清，程 功，鄭柳剛

（國家無線電監(jiān)測(cè)中心上海監(jiān)測(cè)站，上海 201419）

1 引言

機(jī)器學(xué)習(xí)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法可以說是當(dāng)下使用最廣泛的算法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)神經(jīng)元與其他神經(jīng)元相連，當(dāng)它“興奮”時(shí)，向下一級(jí)相連的神經(jīng)元發(fā)送化學(xué)物質(zhì)，改變這些神經(jīng)元的電位；如果某神經(jīng)元的電位超過一個(gè)閾值，則被激活，否則不被激活。其中誤差逆?zhèn)鞑ィ╡rror BackPropagation）算法是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最有代表性的算法，也是迄今為止使用最多、最成功的算法。

誤差逆?zhèn)鞑ニ惴?，簡稱BP網(wǎng)絡(luò)算法，而一般說到BP網(wǎng)絡(luò)算法時(shí)，默認(rèn)指用BP算法訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包括輸入層（input）、隱含層（hide layer）和輸出層（Output layer）。本文就以最簡單的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只包含一層隱含層為例來推導(dǎo)理解BP原理。

2 BP內(nèi)涵

我們知道在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)的正向傳（forward-propagation）中，神經(jīng)元接收到來自其他神經(jīng)元的輸入信號(hào)，這些信號(hào)乘以權(quán)重累加到神經(jīng)元接收的總輸入值上，隨后與當(dāng)前神經(jīng)元的閾值進(jìn)行比較，然后通過激活函數(shù)處理，產(chǎn)生神經(jīng)元的輸出。理想的激活函數(shù)是階躍函數(shù)：，“0”對(duì)應(yīng)神經(jīng)元抑制，“1”對(duì)應(yīng)神經(jīng)元興奮。然而階躍函數(shù)的缺點(diǎn)是不連續(xù)，不可導(dǎo)，所用常用sigmoid函數(shù)：，sigmoid函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)如圖1所示。使用sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)時(shí)BP網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出關(guān)系：

圖1 sigmoid函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

因此BP的核心思想就是：通過調(diào)整各神經(jīng)元之間的權(quán)值，將誤差由隱含層向輸入層逐層反傳，也就是先實(shí)現(xiàn)信號(hào)的正向傳播到誤差的反向傳播過程。所以BP算法的核心步驟如下：

（1）求得在特定輸入下實(shí)際輸出與理想輸出的平方誤差函數(shù)（誤差函數(shù)或者叫代價(jià)函數(shù)）。（2）利用誤差函數(shù)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的閾值以及連接權(quán)值進(jìn)行求導(dǎo)，求導(dǎo)原則就是導(dǎo)數(shù)的“鏈?zhǔn)角髮?dǎo)”法則。（3）根據(jù)梯度下降算法，對(duì)極小值進(jìn)行逼近，當(dāng)滿足條件時(shí)，跳出循環(huán)。

3 有監(jiān)督的BP模型訓(xùn)練

3.1 BP訓(xùn)練思想

有監(jiān)督的BP模型訓(xùn)練表示我們有一個(gè)訓(xùn)練集，它包括了：input X和它被期望擁有的輸出output Y。所以對(duì)于當(dāng)前的一個(gè)BP模型，我們能夠獲得它針對(duì)于訓(xùn)練集的誤差。正向傳播：輸入樣本—輸入層—各隱層—輸出層；若輸出層的實(shí)際輸出與期望的輸出不符，則誤差反傳：誤差表示—修正各層神經(jīng)元的權(quán)值；直到網(wǎng)絡(luò)輸出的誤差減少到可以接受的程度，或者進(jìn)行到預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)次數(shù)為止。

3.2 具體理論推導(dǎo)

以最簡單的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例來推導(dǎo)原理，如圖2所示：假設(shè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)輸入層有n個(gè)神經(jīng)元，隱含層有p個(gè)神經(jīng)元，輸出層有q個(gè)神經(jīng)元。

圖2 BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

定義變量如下：

輸入向量 ：x=（x1，x2，…，xn）

隱含層輸入向量：hi=（hi1，hi2，…，hip）

隱含層輸出向量：ho=（ho1，ho2，…，hop）

輸出層輸入向量：yi=（yi1，yi2，…，yiq）

輸出層輸出向量：yo=（yo1，yo2，…，yoq）

期望輸出向量：d=（d1，d2，…，dq）

輸入層與中間層的連接權(quán)值：wih

隱含層與輸出層的連續(xù)權(quán)值：who

隱含層各神經(jīng)元的閾值：bh

輸出層各神經(jīng)元的閾值：bo

樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)：k=1，2…m

激活函數(shù) ：f（.）

第一步，網(wǎng)絡(luò)初始化-給各連接值分別賦值，在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，設(shè)定誤差函數(shù)e，給定計(jì)算精度值ε和最大學(xué)習(xí)次數(shù)M。

第二步，隨機(jī)選取第K個(gè)輸入樣本及對(duì)應(yīng)期望輸出：

第三步，計(jì)算隱含層各個(gè)神經(jīng)元的輸入和輸出：

第四步，利用網(wǎng)絡(luò)期望輸出和實(shí)際輸出，計(jì)算誤差函數(shù)對(duì)輸出層的各神經(jīng)元的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

第六步，利用輸出層各神經(jīng)元的δo（k）和隱含層各神經(jīng)元的輸出來修正連接權(quán)值who（k）：

第七步，利用隱含層各神經(jīng)元的δh（k）和輸入層各神經(jīng)元的輸入修正連接權(quán)值。

特別說明，最終公式中的μ、η代表學(xué)習(xí)率，為了調(diào)整步長，防止數(shù)值過大造成不收斂，無限逼近最優(yōu)解。

第八步，計(jì)算全局誤差：

第九步，判斷網(wǎng)絡(luò)誤差是否滿足要求，當(dāng)誤差達(dá)到預(yù)設(shè)精度或者學(xué)習(xí)次數(shù)大于設(shè)定的最大次數(shù)，則結(jié)束算法。否則，選取下一個(gè)學(xué)習(xí)樣本及對(duì)應(yīng)的期望輸出，返回到第三步，進(jìn)入下一輪學(xué)習(xí)。

3.3 BP算法的最優(yōu)解

實(shí)際上BP算法的最終目的是找到最優(yōu)解，即是累積誤差最小的解。通過算法的優(yōu)化，可以找到最優(yōu)解，在機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的優(yōu)化算法就是梯度下降法。但是在實(shí)際過程中，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)局部最優(yōu)解（對(duì)應(yīng)梯度為零的地方），如圖3展示的可視化圖形中，有一個(gè)局部最優(yōu)解，一個(gè)全局最優(yōu)解。通常情況下找不到全局最優(yōu)解，能找到局部最優(yōu)解也不錯(cuò)，也足夠優(yōu)秀地完成任務(wù)。

圖3 全局最小與局部極小

4 結(jié)束語

通過上述文章對(duì)BP算法的理論推導(dǎo)，我們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)及優(yōu)化有了一定的了解，希望能給利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者深度學(xué)習(xí)算法解決無線電監(jiān)測(cè)工作中的問題的同事提供一點(diǎn)思路與想法。■