山東省菏澤市單縣高韋莊鎮(zhèn)中學 王志敏

二次函數(shù)是初中數(shù)學最基本、最重要的一個函數(shù)，這個函數(shù)解析式的變式比較多，而且是幾何與代數(shù)的綜合，所以涉及的知識點比較多。如果對相關知識不夠熟悉，看到這里出現(xiàn)這么多的字母，理解起來就比較困難。要求二次函數(shù)解析式，首先要明確目標，確定二次函數(shù)三個常數(shù)系數(shù)a，b，c的值，其次要了解三種表達式之間的關系：由一般式到頂點式，需要提取二次項系數(shù)并配方這個步驟；一般式與兩根式的關系是通過一元二次方程的解和韋達定理聯(lián)系起來的。而解三元一次方程組時，需要用到消元的方法，要想得到三個未知數(shù)的解，至少需要列出三個方程，所以要求得二次函數(shù)的解析式，我們就要列出以a，b，c為未知數(shù)的三個方程。

一、將一般式轉化成三元一次方程組求解

函數(shù)方程不僅是一種教學工具，而且也為函數(shù)教學提供了研究方法，是數(shù)學的一種研究手段。函數(shù)的定義是：在某變化過程中有兩個變量x，y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值和它對應，那么，就把y叫作x的函數(shù)。如果x的最高次數(shù)是一次，那么，這個函數(shù)就是一元一次函數(shù)；如果x的最高次數(shù)是二次，那么這個函數(shù)就是一元二次函數(shù)。一元指只含有一個未知數(shù)，因為初中階段只涉及一元函數(shù)，不涉及二元及多元函數(shù)，所以一元一次函數(shù)又叫一次函數(shù)，一元二次函數(shù)叫二次函數(shù)。

二次函數(shù)的基本表達式為一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），其中，a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)。

例如：已知一個二次函數(shù)過三個點（1，6），（2，11），（3，18），求二次函數(shù)解析式。

這個題的關鍵是要知道二次函數(shù)的每個點的表示方法是（x，y），也就是當x＝1時，y＝6；當x＝2時，y＝11；當x＝3時，y＝18。將三個點代入方程，就可以得到一個三元一次方程組：

這個三元一次方程組通過消元，就可以得出a，b，c的值，進而列出二次函數(shù)解析式。

二、將頂點式轉化成方程組求解

當已知條件里面有頂點（最低點或最高點）時，就可以用二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0）。需要注意：將頂點坐標代入頂點式后，就可以將二次函數(shù)變成只有一個變量a的函數(shù)y’，這時再代入另一個點的坐標就可以求出a，然后將a的值代入y’，最后將平方式展開整理，就可以得到二次函數(shù)解析式的一般式。

例如：已知二次函數(shù)的最低點是（2，3），并過（1，4）這個點，求二次函數(shù)的解析式。

這道題的關鍵是理解最低點的含義，最低點表示這條拋物線過（2，3）這個點，將點坐標代入二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）時是成立的。另一個已知條件是這條拋物線還過點（1，4），也就是說將這個點代入一般表達式也是成立的。

用二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），這個時候可以看到這個二次函數(shù)還是有三個未知數(shù)，不過，因為知道頂點，也就是h，k是已知條件，所以直接將h＝2，k＝3代入二次函數(shù)的頂點式，就可以得到y(tǒng)＝a(x－2)2＋3這個新函數(shù)。將（1，4）這個點代入后得到4＝a(1－2)2＋3，這個方程中只有一個未知數(shù)，解得a＝1，將a＝1代入y，然后將平方式展開整理，就可以得到二次函數(shù)的一般式。

三、將兩根式轉化成方程組求解

用兩根式求二次函數(shù)的解析式時，需要注意的是當函數(shù)值等于0時，二次函數(shù)變成了一個一元二次方程，x1和x2是這個方程的兩個解，兩根式與一般式之間的聯(lián)系是韋達定理，韋達定理的表達式是

例如：已知二次函數(shù)與x軸的交點是（1，0），（2，0），并且這個函數(shù)過點（3，2），求二次函數(shù)解析式。

我們可以看到這個題給出了三個點，因此可以列出二次函數(shù)的一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將三個點直接代入一般式可以得到三個方程里面有三個未知數(shù)，通過消元，就可以得到a，b，c的值。