李小柱

摘 要：對(duì)于普通公路上行駛的車輛來(lái)說(shuō)，車輛的平面運(yùn)動(dòng)，可以視為一種跟隨運(yùn)動(dòng)，即后邊車輪始終朝向車頭的一種跟隨運(yùn)動(dòng)。但是跟隨運(yùn)動(dòng)本身具有一定的復(fù)雜性，一般情況下都不能用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述，跟隨運(yùn)動(dòng)的軌跡往往都是超越函數(shù)。即使在車頭沿一條直線行駛時(shí)，如果車尾不在這條直線上，那么車尾的跟隨運(yùn)動(dòng)軌跡仍然復(fù)雜。在實(shí)際貨物運(yùn)輸過(guò)程中，由于貨物重量非常大，經(jīng)常會(huì)涉及液壓平板車這種后輪轉(zhuǎn)彎的車輛，在通過(guò)彎道時(shí)，往往會(huì)遇到彎道是否能夠通過(guò)的難題。這需要提前進(jìn)行彎道勘察后做出通過(guò)性預(yù)判，這就需要對(duì)這種車輛的平面運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，給出車輛通行的軌跡，這就是本文重點(diǎn)研究的內(nèi)容[1-2]。本文通過(guò)數(shù)值計(jì)算得方法，對(duì)液壓平板車進(jìn)行了軌跡分析，對(duì)液壓平板車在過(guò)直角彎道時(shí)的通行軌跡進(jìn)行曲線擬合。同時(shí)給出了車輛外廓點(diǎn)的（外側(cè)尾點(diǎn)）外側(cè)掃空寬度，給車輛通過(guò)彎道時(shí)外側(cè)預(yù)留的距離提供了重要參考。本文簡(jiǎn)單描述半掛車及特種半掛車的轉(zhuǎn)彎模型，進(jìn)而進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。

關(guān)鍵詞：液壓平板車；數(shù)值計(jì)算；曲線擬合；外側(cè)掃空

中圖分類號(hào)：U461.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）13-0237-04

1 普通半掛車的轉(zhuǎn)彎模型

普通半掛車的轉(zhuǎn)彎模型如圖1所示。

圖中AB為牽引車，BC為掛車，B點(diǎn)為掛點(diǎn)。根據(jù)半掛車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，B點(diǎn)跟隨A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向始終指向A且保持固定距離AB，C點(diǎn)跟隨B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向始終指向B點(diǎn)，且保持固定距離BC。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，即使?fàn)恳嚨霓D(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)交保持不變，AB與BC的夾角也會(huì)不斷變化（AB沿直線行駛除外）。因此，現(xiàn)在就對(duì)一般的跟隨運(yùn)動(dòng)做一個(gè)研究，找出一般性跟隨運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，那么掛車的轉(zhuǎn)彎就可簡(jiǎn)化為兩個(gè)一般性跟隨運(yùn)動(dòng)的組合，從而確定其轉(zhuǎn)彎通道。

2 特種半掛車轉(zhuǎn)彎模型

特種半掛車，其平面轉(zhuǎn)彎模式如圖2所示。

由于其掛車部分能夠轉(zhuǎn)彎，故在道路上行駛時(shí)，轉(zhuǎn)彎特性與普通半掛車有所不同，其突出表現(xiàn)為在通過(guò)彎道時(shí)，其掛車部分不能緊靠道路外側(cè)行駛，否則掛車車尾就會(huì)甩出道路外側(cè)，跑到道路以外。因此，有必要對(duì)掛車部分的外側(cè)尾點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，分析其在正常轉(zhuǎn)彎時(shí)軌跡凸出道路外側(cè)邊緣的部分，以便在轉(zhuǎn)彎時(shí)預(yù)留出轉(zhuǎn)彎時(shí)的外移部分。

3 跟隨運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)分析

跟隨運(yùn)輸數(shù)學(xué)分析如圖3所示，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，在平面內(nèi)存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，B點(diǎn)跟隨A運(yùn)動(dòng)，方向始終指向A，且與A保持固定距離d，求B的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。

由剛體平面運(yùn)動(dòng)可知，A、B始終繞A、B構(gòu)成的體系的速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)，A在外圓上，B在內(nèi)圓上，且外圓半徑R及內(nèi)圓半徑r都是轉(zhuǎn)角的單值函數(shù)。

上式即為一般跟隨運(yùn)動(dòng)的跟隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡方程。很顯然，這個(gè)微分方程對(duì)給定的情況下也很難求出解析解，故下面將用數(shù)值計(jì)算，然后對(duì)散點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值進(jìn)行曲線擬合的方法來(lái)求解。

4 用數(shù)值計(jì)算法對(duì)跟隨點(diǎn)軌跡進(jìn)行分析

當(dāng)A點(diǎn)沿某一軌跡移動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)始終與A點(diǎn)保持固定距離，朝向A點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)其真實(shí)移動(dòng)軌跡為gc，求B點(diǎn)的移動(dòng)軌跡。

以下按照數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)行模擬圖4所示。當(dāng)A從A0移動(dòng)到A1時(shí)，由于B點(diǎn)始終朝向A移動(dòng)，因此可以認(rèn)為當(dāng)步長(zhǎng)很小時(shí)，近似認(rèn)為B朝向A0A1的中點(diǎn)即A0-1點(diǎn)移動(dòng)，因此在一個(gè)步長(zhǎng)完成之后，由于A的軌跡已知，因此在確定步長(zhǎng)后A01的坐標(biāo)也為已知，同時(shí)，由于一個(gè)步長(zhǎng)后B1A1的距離仍然為固定值，因此可以確定唯一的B1點(diǎn)。然后把A的軌跡劃分為多個(gè)很小的步長(zhǎng)，以此類推，可以確定B2、B3...直到Bn點(diǎn)的坐標(biāo)，再用曲線擬合的方法，即可求出B點(diǎn)的移動(dòng)軌跡。

當(dāng)C點(diǎn)朝向B點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，計(jì)算的原理也與上邊相同，這樣就可以求出C點(diǎn)的移動(dòng)軌跡。

5 外角點(diǎn)的計(jì)算

由于液壓平板車后輪轉(zhuǎn)彎的特性，車尾的外角點(diǎn)軌跡將成為車輛轉(zhuǎn)彎通道圓的外輪廓。同時(shí)，由于車輛向任意一側(cè)轉(zhuǎn)彎時(shí)，車尾總是向相反的方向轉(zhuǎn)彎（見(jiàn)前圖2所示），故車輛不能像普通半掛車一樣緊貼道路外側(cè)邊緣行駛。因此，車尾外掃空也是需要重點(diǎn)考慮的一點(diǎn)，從而需要對(duì)車輛外角點(diǎn)的軌跡進(jìn)行計(jì)算。車輛外側(cè)角點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算圖5所示。

當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意一點(diǎn)CK時(shí)，CK坐標(biāo)已知，同時(shí)其運(yùn)動(dòng)方向根據(jù)前面討論也為已知（方向?yàn)檫^(guò)CK與BK-K+1的直線的方向）。

又從CB到CD的角度也為已知量（見(jiàn)圖7所示），設(shè)其為α，距離也為固定值，設(shè)其為e，則根據(jù)平面幾何，車輛在C點(diǎn)到達(dá)CK時(shí)，DK點(diǎn)的坐標(biāo)為：

由以上計(jì)算圖示可得，DK點(diǎn)坐標(biāo)為：

XDK=XCK+e·cos（tan-1hc（XK）+α）

YDK=YCK+e·sin（tan-1hc（XK）+α）

式中hc（XK）可簡(jiǎn)化考慮為前邊已經(jīng)計(jì)算出的過(guò)CK與BK-K+1的直線方向。故而可直接由y=hc（x）求出D點(diǎn)軌跡。

6 對(duì)具體車輛實(shí)際軌跡進(jìn)行計(jì)算分析

前面對(duì)計(jì)算得方法、誤差估計(jì)、曲線擬合都給出了實(shí)際計(jì)算分析的方法，現(xiàn)就具體車輛進(jìn)行分析計(jì)算。具體數(shù)據(jù)如下：

3縱列12軸線，牽引車用奔馳3353，死軸（液壓平板的不轉(zhuǎn)向軸）正常定為液壓平板掛車部分從前往后第6軸線，牽引車轉(zhuǎn)向輪初始轉(zhuǎn)角30°（根據(jù)實(shí)際工程統(tǒng)計(jì)得出，為減小掛車內(nèi)側(cè)的掃空，車頭往往推遲轉(zhuǎn)向，走過(guò)的實(shí)際軌跡大概相當(dāng)于起始轉(zhuǎn)角30°的圓?。?，通過(guò)90°彎道后直行一段距離。

坐標(biāo)系以轉(zhuǎn)彎前掛點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)轉(zhuǎn)向輪的中點(diǎn)設(shè)為A點(diǎn)，掛點(diǎn)為B點(diǎn)，掛車中點(diǎn)為C點(diǎn)，D點(diǎn)位車尾角點(diǎn)。車輛實(shí)際轉(zhuǎn)彎平面圖6所示，車輛轉(zhuǎn)彎數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)數(shù)據(jù)及模型圖7所示。

以下是用excel按照一定步長(zhǎng)模擬計(jì)算得結(jié)果（片段）表1所示：

7 曲線擬合

7.1 最終C點(diǎn)的擬合曲線y=hc（x）

C點(diǎn)軌跡圖8所示，根據(jù)數(shù)值計(jì)算得坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，得到擬合曲線：

y=hc（x）=3×10-9x3+1×10-4x2+1.2498x+4800.4

并且擬合相對(duì)誤差小于1%，精度滿足要求。

7.2 車輛尾點(diǎn)的外側(cè)角點(diǎn)的曲線擬合掃空寬度

D點(diǎn)軌跡圖9所示，根據(jù)計(jì)算，D點(diǎn)的Y軸負(fù)向最小值為-5294.2mm（以B點(diǎn)位坐標(biāo)原點(diǎn)），在考慮車外側(cè)本身半寬為1.495m的情況下，D點(diǎn)，即外側(cè)角點(diǎn)向外的最大掃空為3.799m。

8 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于液壓平板車而言，當(dāng)車輛通過(guò)彎道時(shí)，掛車中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡可以用一個(gè)三次函數(shù)進(jìn)行表達(dá)，同時(shí)精度可以滿足要求。當(dāng)掛車的長(zhǎng)度及死軸位置發(fā)生變動(dòng)時(shí)，只需要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整計(jì)算參數(shù)即可求出一個(gè)滿足實(shí)際精度要求的軌跡。另外，由于液壓平板掛車的后輪轉(zhuǎn)彎特性，其外側(cè)掃空不容忽視，其外側(cè)最大掃空也可根據(jù)特定的算法求出，在通過(guò)彎道時(shí)應(yīng)提前留出外側(cè)掃空寬度，從而保證車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)能夠順利通行。

參考文獻(xiàn)

[1]唐旭清.數(shù)值計(jì)算方法[M].科學(xué)出版社，2016.

[2]甘志國(guó).平面解析幾何[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.