陳奎孚 姚海蓉 張?jiān)莆?/p>

(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué) 1理學(xué)院， 2工學(xué)院，北京 100083)

在畫受力圖時(shí)，學(xué)生往往執(zhí)著于判定力的指向，這是因在初中這個(gè)記憶力黃金階段就學(xué)習(xí)了力的3要素(大小、方向和作用點(diǎn))，此后經(jīng)中學(xué)物理和大學(xué)物理的反復(fù)加強(qiáng)，力的方向意識(shí)已經(jīng)根深蒂固了。但隨著分析對(duì)象復(fù)雜，判斷力的方向變得很困難，尤其是摩擦力的指向。摩擦力在教學(xué)中是一種很典型的力，它在初中物理中即有介紹，且在日常生活中時(shí)不時(shí)地會(huì)接觸到，但是對(duì)靜摩擦力指向的確定，學(xué)生總感覺是個(gè)很富有挑戰(zhàn)性的難題。盡管教材提供了判據(jù)：靜摩擦力的指向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反，但這個(gè)判據(jù)并不好用，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的“趨勢(shì)”很難由示意圖的幾何信息判斷出來。實(shí)際上，對(duì)物理課程常用的例題和習(xí)題進(jìn)行梳理(不管是初中物理、高中物理，還是大學(xué)物理)，可發(fā)現(xiàn)它們大多為質(zhì)點(diǎn)模型，且受力相對(duì)簡(jiǎn)單，比如圖1(a)這樣的例子。對(duì)這些簡(jiǎn)單例子，“運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)”的判斷往往都是由分析主動(dòng)力的信息來完成的。

圖1 靜摩擦力的典型例題

對(duì)于比較復(fù)雜的問題分析，學(xué)生也常常企圖在畫受力圖時(shí)就弄清楚靜摩擦力的指向，然而此時(shí)用主動(dòng)力的信息來判斷“運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)”變得很困難，這是因?yàn)椋?(1)復(fù)雜問題中有剛體(不再是質(zhì)點(diǎn))，且主動(dòng)力可能會(huì)很復(fù)雜(比如圖1(b)); (2)有時(shí)剛體上的“主動(dòng)力”也是待定的(比如圖1(c))，待定值的大小會(huì)影響摩擦力的指向; (3)研究對(duì)象發(fā)生剛體平面運(yùn)動(dòng)(圖1(d)); (4)物體的“總體運(yùn)動(dòng)”與接觸面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以不一致，比如圖1(d)中純滾動(dòng)的輪子，輪心有運(yùn)動(dòng)，但輪子與地面接觸點(diǎn)的速度為零，加速度垂直于公切線(但依然是靜摩擦力，不是“滾動(dòng)摩擦力”)。上述諸因素使得靜摩擦力指向更難以預(yù)先判定。

其實(shí)，不僅是學(xué)生，老師也同樣有“靜摩擦力指向”的糾結(jié)，因而提出了諸多判據(jù)[1-8]。有些判據(jù)企圖只使用主動(dòng)力的信息。這就還存在這樣一個(gè)問題：靜摩擦力的指向可由主動(dòng)力信息唯一確定嗎？

對(duì)于動(dòng)力學(xué)情形，本文將展示主動(dòng)力信息不足以唯一確定靜摩擦力的指向。換句話說，想找出這樣的普適判據(jù)是徒勞的：僅利用主動(dòng)力信息判斷靜摩擦力的指向。只有在某些特殊條件下，才能由主動(dòng)力信息判斷出靜摩擦力的指向。劉濤等曾提出一個(gè)摩擦力指向的判據(jù)[10]，本文還將論證這個(gè)判據(jù)的合理性。

1 平衡情形

圖2 平衡情形的摩擦力分析

對(duì)圖1(a)這樣簡(jiǎn)單的情形，摩擦力的指向可以根據(jù)該圖中的F直接判斷出來。對(duì)于主動(dòng)力很復(fù)雜的情形，特別是像圖1(c)這種含“待定主動(dòng)力”的情形，在畫受力圖時(shí)就企圖找到摩擦力的“正確”指向，不僅很困難，而且“正確”指向也有可能隨待定主動(dòng)力的取值而變化。

上述陳述中“正確”加了引號(hào)，其實(shí)更確切的表述是“正值”，即正的數(shù)值。力是矢量，它有大小和方向兩個(gè)屬性。在常規(guī)語(yǔ)境下，幾何“大小”不取負(fù)值，因此：摩擦力的“正確”指向，習(xí)慣上就是摩擦力大小為“正的數(shù)值”所對(duì)應(yīng)的指向。如果允許力的大小可以取“負(fù)的數(shù)值”，那么就無需糾結(jié)于“正值”指向了。在畫受力圖時(shí)，只要把力的作用線畫對(duì)即可，受力圖上箭頭示意的力指向則從作用線的兩個(gè)指向中隨便選擇一個(gè)即可。下面以平面力系平衡問題為例，論述這樣做的合理性。

Fx(Fs)=0,Fy(Fs)=0,M(Fs)=0

(1)

如果將受力圖上的摩擦力箭頭指向反一下，則主矩和主矢的3個(gè)分量變?yōu)镸(-Fs)、Fx(-Fs)和Fy(-Fs)。此時(shí)平衡的充要條件為

Fy(-Fs)=0,Fx(-Fs)=0,M(-Fs)=0

(2)

圖3 邊緣平滑剛體的純滾動(dòng)的摩擦力分析

假設(shè)Fs=ξ是方程(1)的解，那么容易驗(yàn)證Fs=-ξ也是方程(2)的解。也就是說，靜摩擦力指向的反與不反的區(qū)別僅僅是靜摩擦力數(shù)值差個(gè)正負(fù)號(hào)而已。因此，在畫受力圖時(shí)，完全沒有必要糾結(jié)于靜摩擦力的正值指向。關(guān)于受力圖中力矢指向的詳細(xì)討論可參考文獻(xiàn)[11]。

顯然, 上述靜摩擦力指向的處理也適用于空間力系問題。在數(shù)學(xué)上，達(dá)朗貝爾原理可把動(dòng)力學(xué)問題變成靜力學(xué)問題，所以對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題，靜摩擦力的指向也可從作用線的兩個(gè)方向中任意選一個(gè)即可。

總之，就靜摩擦力大小的計(jì)算而言，它的指向并不是很關(guān)鍵。當(dāng)然對(duì)學(xué)習(xí)摩擦力概念而言，為了理解摩擦力的物理本質(zhì)，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)“靜摩擦力的指向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反”這樣的判據(jù)。

2 動(dòng)力學(xué)情形

就圓柱(或圓盤)純滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題，很多作者對(duì)其中的靜摩擦力指向進(jìn)行了討論[1-8]，但筆者認(rèn)為從計(jì)算角度, 即使對(duì)動(dòng)力學(xué)問題，靜摩擦力的指向判斷也不是很重要的命題。不僅如此，下面還將展示：主動(dòng)力信息不足以唯一確定靜摩擦力的指向。只有在特定條件下，靜摩擦力的指向才能被主動(dòng)力信息唯一確定。

2.1 計(jì)算靜摩擦力

下面討論較為普適的情形，即圖3(a)所示的邊緣平滑剛體在地面上純滾動(dòng)。不失一般性，剛體與地面的公切線取圖示位置的水平方向。剛體所受的全部主動(dòng)力向其質(zhì)心C簡(jiǎn)化得到主矢Fx+Fy和主矩MC，此時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為ω和α。Fx的作用線與公法線相交于Q點(diǎn)，質(zhì)心C與切點(diǎn)A的連線與公切線夾角為θ，剛體的質(zhì)量為m，繞A的回轉(zhuǎn)半徑為ρA。

(3)

采用達(dá)朗貝爾原理分析。為此以A為基點(diǎn)，看動(dòng)點(diǎn)C有

(4)

由達(dá)朗貝爾原理有

從式(5)可解出

(8)

式(7)可變?yōu)?/p>

(9)

(10)

2.2 討論

(1) 式(10)中沒有出現(xiàn)Fy，即主動(dòng)力系主矢量的法向分量與靜摩擦力大小無關(guān)。當(dāng)然Fy的取值要保證FNA>0，以使剛體與地面之間有壓力(由式(6)確定)。另外，如果FNA過小，靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，剛體就可能滑動(dòng)，從而無法保證純滾動(dòng)。下面的討論，均默認(rèn)FNA>0且靜摩擦力小于最大靜摩擦力。

(11)

這樣式(10)可寫成

(12)

如果把剛體看作為繞A做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(A速度為零，且其加速度沿法線，與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有類似之處)，則D就是剛體的撞擊中心。

式(12)表明有兩個(gè)因素會(huì)影響靜摩擦力大小，一是主動(dòng)力向撞擊中心簡(jiǎn)化的主矩，二是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，它們分別對(duì)應(yīng)式(12)的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)。

(3) 在式(12)中，第二項(xiàng)與角速度有關(guān)，它與當(dāng)前時(shí)刻的主動(dòng)力信息無關(guān)，因此對(duì)動(dòng)力學(xué)問題，當(dāng)前時(shí)刻的主動(dòng)力信息不足以確定靜摩擦力的數(shù)值，更不用說正值指向。

一個(gè)極端例子如圖4所示，質(zhì)量偏心的圓輪在水平面上純滾動(dòng)，力F作用在質(zhì)心C上，且其大小始終等于輪子重力mg。顯然兩個(gè)主動(dòng)力F和mg相互抵消，即主動(dòng)力為零力系(主矢為零，且對(duì)任意點(diǎn)的主矩為零)，但是Fs不為零，論證如下：輪子作勻角速度純滾動(dòng)，輪心O的速度不隨時(shí)間變化(加速度為零), 但是質(zhì)心C的加速度

圖4 主動(dòng)力信息不足以確定靜摩擦力指向

(13)

也就是：如果主動(dòng)力系向撞擊中心簡(jiǎn)化的主矩MD為逆時(shí)針，則FsA正值指向向左；而當(dāng)MD為順時(shí)針，則FsA正值指向向右。如果MD為零，則靜摩擦力為零。

進(jìn)一步若Fx=0，則相當(dāng)于剛體上主動(dòng)力為純力偶，此時(shí)就不用找撞擊中心了。

(5) 討論(4)中的3種情形解釋如下。

情形A相當(dāng)于初瞬時(shí)情形，或剛體作瞬時(shí)平移的情形。

情形B最為常見，很多作者討論的均質(zhì)圓柱(或圓盤)純滾動(dòng)就屬于這種情形。因?yàn)橛袝r(shí)對(duì)質(zhì)心加速度更有感覺，故有作者企圖利用輪心的切向加速度來判斷靜摩擦力的指向。可以證明

(14)

圖5 主動(dòng)力簡(jiǎn)化為正交的兩個(gè)集中力

顯然用式(14)判斷靜摩擦力的正值指向，過程并不簡(jiǎn)明，不如式(13)方便。

3 一個(gè)判據(jù)的合理性

劉濤等曾給出下述判據(jù):“只要假設(shè)此剛體不受到靜摩擦力作用，那么剛體上的觸點(diǎn)相對(duì)于接觸面運(yùn)動(dòng)的加速度反方向，即為靜摩擦力方向”[10]。該準(zhǔn)則后來被多人反復(fù)提起[5,6],但一般都是針對(duì)均質(zhì)圓輪的定性討論。對(duì)任意形狀剛體的純滾動(dòng)，未見討論，更未對(duì)準(zhǔn)則的正確性給予嚴(yán)格的證明。

下面將嚴(yán)格證明上述準(zhǔn)則的合理性。

圖6 假設(shè)光滑模型

以A為基點(diǎn)，C為動(dòng)點(diǎn)有

(15)

沿x方向有

即得到

(16)

與式(8)兩邊相乘有

(17)

第一，這個(gè)判據(jù)使用了“假設(shè)光滑”后的接觸點(diǎn)切線加速度，不是速度(速度依然是零)。注意：動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的指向用相對(duì)速度的方向來判定。

第三，如果式(12)的第二項(xiàng)為零，則可以不考慮角速度。經(jīng)常討論的均質(zhì)圓輪滾動(dòng)屬于這種情形，即操作中可以忽略角速度的影響。

(18)

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)靜摩擦力的指向問題進(jìn)行了探究，所得要點(diǎn)如下：

(1) 不管是靜力學(xué)，還是動(dòng)力學(xué)，就計(jì)算靜摩擦力的大小而言，靜摩擦力的指向并不是很關(guān)鍵的問題，可在作用線的兩個(gè)方向中任取一個(gè)即可。

(2) 對(duì)某些動(dòng)力學(xué)問題，主動(dòng)力的信息不足以唯一確定靜摩擦力的指向。

(3) 當(dāng)剛體質(zhì)心位于通過接觸點(diǎn)的法線上時(shí)，可以計(jì)算主動(dòng)力對(duì)撞擊中心的主動(dòng)力矩。靜摩擦力的正值指向應(yīng)當(dāng)使其對(duì)撞擊中心的矩與主動(dòng)力力矩平衡。此判據(jù)最為簡(jiǎn)潔。

(4) 可以假設(shè)接觸點(diǎn)無摩擦，得到剛體上接觸“質(zhì)點(diǎn)”的切向加速度，而原問題的靜摩擦力方向就與該切向加速度方向相反。但是“假設(shè)光滑”后，接觸點(diǎn)的切向加速度計(jì)算也不容易。

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