李二偉 趙鐵石 胡強強 王 唱 耿明超

(1.燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室, 秦皇島 066004； 2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室, 秦皇島 066004; 3.河北建筑工程學院機械工程學院， 張家口 075000)

0 引言

近年來隨著我國海洋經(jīng)濟的快速發(fā)展，海上風電、油氣開采及可燃冰開采等海上平臺得到了迅猛發(fā)展。高海況下，作業(yè)船會產(chǎn)生較大的搖蕩運動[1]，這些運動會嚴重影響其上貨物向海上平臺的安全吊駁。穩(wěn)定克令吊可以主動補償作業(yè)船的搖蕩運動，使吊機末端相對地球穩(wěn)定，增加海上吊運的作業(yè)時間。國外已有具有運動補償功能的穩(wěn)定克令吊試驗樣機和產(chǎn)品[2]投入測試和使用，而國內(nèi)在海上穩(wěn)定克令吊這一領域尚未見相關報道。

并聯(lián)機構[3]具有剛度大、承載能力大、精度高的優(yōu)點，串聯(lián)機構具有工作空間大、靈活性高的優(yōu)點，并串混聯(lián)機構可以結合兩者的優(yōu)點[4]，因此得到了眾多學者的研究。在混聯(lián)機構構型綜合方面，基于不同的理論，很多學者[5-8]綜合出了多種混聯(lián)機構構型。在運動學分析方面，HU[9]提出一個由兩個Tricept并聯(lián)機構串聯(lián)而成的混聯(lián)機構，并運用矢量法建立了其完整的解析運動學模型。郭希娟等[10]利用矢量直接求導法建立了一種共軸混聯(lián)機構的運動學模型。GALLARDO-ALVARADO等[11]把2個3-RPS并聯(lián)機構串聯(lián)一起并運用螺旋理論建立了其運動學模型?；炻?lián)機構的動力學建模方法主要有牛頓-歐拉法[12]、拉格朗日法[13]、凱恩法[14]和虛功原理法[15]。張東勝等[16]基于虛功原理對一個由2R1T并聯(lián)機構和TR串聯(lián)機構混聯(lián)而成的5自由度混聯(lián)機器人進行了逆動力學分析。MOOSAVIAN等[17]結合牛頓-歐拉法和拉格朗日法建立了一個由平面并聯(lián)機構和Puma型串聯(lián)機構混聯(lián)而成的輪式機器人的解析動力學模型。GUO等[18]提出了一個由3T并聯(lián)機構和2R串聯(lián)機構混聯(lián)而成的5自由度混聯(lián)機構，并運用具有高效求解速度的基于牛頓-歐拉方程的RNEA方法[19]建立了該混聯(lián)機構的動力學模型。上述工作推動了混聯(lián)機構構型分析的發(fā)展，為混聯(lián)機構的工程應用奠定了理論基礎。本文提出一種并串混聯(lián)穩(wěn)定吊機構，并聯(lián)部分采用具有虛擬連續(xù)轉(zhuǎn)軸的2-DOF RPM[20-21]，其具有靜載平衡特性且有較大的載物空間，可以為其上的PRRP串聯(lián)運動鏈提供足夠的安裝空間。

1 并串混聯(lián)穩(wěn)定克令吊機構構型分析

1.1 機構選型

穩(wěn)定克令吊機構不僅需要補償作業(yè)船的橫搖、縱搖和垂蕩，且還需實現(xiàn)吊運貨物時的變幅、升降和回轉(zhuǎn)。變幅、升降和回轉(zhuǎn)機構采用伸縮式克令吊串聯(lián)機構Rs1Rs2P，Rs1、Rs2和P分別實現(xiàn)克令吊的回轉(zhuǎn)、變幅和伸縮。作業(yè)船橫搖、縱搖和垂蕩的補償機構可采用兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機構或在兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構的上平臺或下平臺串聯(lián)移動單元構成混聯(lián)機構。

考慮到船上每處的搖擺角度是相同的，但由于“搖”和“蕩”的耦合作用，甲板上的垂蕩隨離轉(zhuǎn)軸的距離不同而有很大差別，而兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機構三軸之間一般相互耦合，會額外增加驅(qū)動單元的行程。因此本文并聯(lián)部分采用具有虛擬連續(xù)轉(zhuǎn)軸的2-DOF RPM，用以補償船的橫搖和縱搖運動。甲板上較大的垂蕩運動通過在并聯(lián)機構的上平臺或下平臺串聯(lián)單自由度移動機構來補償。

如果把單自由度移動機構串聯(lián)于下平臺，則移動機構驅(qū)動需承受整個機構及負載的重力和慣性力，這會增加移動機構的驅(qū)動功率和制造的復雜性；另一方面，這種布置在補償狀態(tài)下只能補償較小的伴隨移動，如圖1a所示，上平臺仍會產(chǎn)生較大的伴隨移動。而把單自由度移動機構串聯(lián)于上平臺，可避免上述問題，另外串聯(lián)的移動機構可以內(nèi)嵌到并聯(lián)機構的載物空間，可以使結構更加緊湊；另一方面，這種布置在補償狀態(tài)下，可以補償較大的伴隨移動，如圖1b所示。

圖1 移動機構的布置位置 Fig.1 Arrangement location of prismatic mechanism

1.2 機構描述

圖2 并串混聯(lián)穩(wěn)定克令吊機構簡圖 Fig.2 Schematic diagram of hybrid stabilizing crane 1.下平臺 2.上平臺 3.中間平臺 4.克令吊基座 5.位置可調(diào)配重 6.吊點 7.貨物

2 位置解

圖3 穩(wěn)定克令吊坐標系 Fig.3 Coordinate system of stabilizing crane

2.1 并聯(lián)部分的位置解

(1)

其中

ori1=ori3+oL(i=1, 3)

式中oli0——初始位置時驅(qū)動分支首尾兩鉸鏈點的向量

Rom——{m}系相對{o}系的旋轉(zhuǎn)矩陣

Roe——{e}系相對{o}系的旋轉(zhuǎn)矩陣

Res——{s}系相對{e}系的旋轉(zhuǎn)矩陣

圖4 并聯(lián)部分的等效機構及其虛設機構 Fig.4 Equivalent and virtual mechanism of parallel part

2.2 串聯(lián)部分的位置解

在補償模式下，為使穩(wěn)定克令吊末端吊點相對地球靜止(即erec恒定)，則

erep=eres+Reoorso+mrmp

(2)

erec=erep+Rep(prpa+Rpaarab+Rpbbrbc)

(3)

式中Rep——{p}系相對{e}系的旋轉(zhuǎn)矩陣

Rpa——{a}系相對{p}系的旋轉(zhuǎn)矩陣

Rpb——系相對{p}系的旋轉(zhuǎn)矩陣

3 速度與加速度分析

(4)

(5)

由于{o}系與{s}系都與船固結，則eωeo=eωes，eεeo=eεes。結合旋量速度和旋量加速度的物理意義，可得{o}系相對于{e}系的旋量速度eVeo及旋量加速度eAeo分別為

(6)

式中 “^”——矢量的反對稱形式或叉乘算子

3.1 并聯(lián)部分的速度與加速度分析

因為{o}系與{m}系原點一直重合，且補償模式下，{m}系相對{e}系保持水平，則{m}系相對{o}系表示在{o}系的旋量速度oVom及旋量加速度oAom分別為

(7)

式中O——零矩陣

(8)

式中oex——{o}系x軸的單位向量

oey——{o}系y軸的單位向量

oez——{o}系z軸的單位向量

(9)

3.2 串聯(lián)部分的速度與加速度分析

根據(jù){m}系、{o}系和{e}系三者之間的旋量速度、旋量加速度關系并結合式(6)、(7)可得{m}系相對{e}系的旋量速度eVem和旋量加速度eAem為

(10)

其中

式中 [* #]——6維旋量*與#的李括號運算

geo——{o}系相對{e}系位姿矩陣

Adgeo——geo的伴隨矩陣

由{p}系、{m}系和{e}系三者之間的旋量速度、旋量加速度關系可求得{p}系相對{m}系表示在{m}系的旋量速度mVmp和旋量加速度mAmp為

(11)

其中

mωmp=O3×1mεmp=O3×1

補償模式下，穩(wěn)定克令吊末端吊點相對地球系動態(tài)靜止，相當于穩(wěn)定克令吊在吊點處通過球鉸與地球相連，如圖3所示。設{c}系相對{e}系的絕對角速度和絕對角加速度分別為

(12)

其中evec=eeceωeceaec=eeceεec

(13)

(14)

(15)

式中pVpc——{c}系相對{p}系表示在{p}系的旋量速度

4 動力學分析

mbwmrmac2=-mmmrmmc-mpmrmpc-

mamrmac1-mbmrmbc-mcmrmcc-mwmrmc

(16)

其中

mG#=m#mg

式中mGbw——配重在{m}系的重力矢量

mGm——上平臺在{m}系的重力矢量

mGp——中間平臺在{m}系的重力矢量

mGa——基座在{m}系的重力矢量

mGb——伸縮臂固定部分在{m}系的重力矢量

mGc——伸縮臂移動部分在{m}系的重力矢量

mGw——貨物在{m}系的重力矢量

m#——各相應構件的質(zhì)量

mg——{m}系的重力加速度矢量

由式(16)可算出穩(wěn)定克令吊在吊運貨物時配重需移動的距離ls4。

圖5 穩(wěn)定吊各主要部件質(zhì)心 Fig.5 Barycenter of main part of stabilizing crane

4.1 串聯(lián)部分的動力學分析

(17)

圖6 穩(wěn)定克令吊串聯(lián)部分受力分析 Fig.6 Force chart of serial part of stabilizing crane

4.2 并聯(lián)部分的動力學分析

(18)

則穩(wěn)定克令吊并聯(lián)部分虛設機構的廣義驅(qū)動力為

(19)

穩(wěn)定克令吊并聯(lián)部分第1、第2分支驅(qū)動副的驅(qū)動力f1、f2分別為oτA的第1、第2個元素。

圖7 上平臺及串聯(lián)部分整體受力圖 Fig.7 Force chart of upper platform and whole serial part of stabilizing crane

5 數(shù)值算例

圖8 混聯(lián)穩(wěn)定克令吊三維造型 Fig.8 3-D model of hybrid stable crane

不考慮各驅(qū)動的質(zhì)量及慣性力，忽略摩擦力，給定重力加速度為g=9.8 m/s2。由于作業(yè)船的運動由多階諧波組成，并可近似用不同正弦波的疊加來描述。為簡化起見，假設慣性元件測得其安裝處作業(yè)船的橫搖滿足α(t)=6sin(2πt/12)、縱搖滿足β(t)=3sin(2πt/12)和垂蕩滿足h(t)=1.5sin(2πt/12)規(guī)律。用Matlab編程可得到一個運動周期內(nèi)穩(wěn)定克令吊補償模式下穩(wěn)定于吊點時各驅(qū)動副的位移、速度、加速度及驅(qū)動力隨時間變化的曲線，如圖9所示。

圖9 Matlab計算所得曲線 Fig.9 Curves calculated by Matlab

圖10 ADAMS穩(wěn)定克令吊線條模型 Fig.10 Polyline model of stabilizing crane in ADAMS

根據(jù)三維造型，在ADAMS中繪制穩(wěn)定克令吊機構的線條模型，如圖10所示，并添加相應的運動副約束、質(zhì)量和慣量。在下平臺{s}系原點與地面之間添加MOTION運動(α(t)，β(t)，h(t))，在中間平臺{p}系原點與地面之間添加平面副輔助約束，在伸縮臂吊點與地面之間添加球鉸輔助約束，則可實現(xiàn)穩(wěn)定克令吊穩(wěn)定于吊點的運動仿真，測出各驅(qū)動副(并聯(lián)部分的第1、2分支)的位移、速度和加速度曲線，與圖9a～9c所得曲線對比，可看出兩種方法所得運動學曲線完全一致；在后處理界面中把位移曲線創(chuàng)建成樣條曲線，去除平面副和球鉸輔助約束，在各驅(qū)動副處添加相應的驅(qū)動，驅(qū)動參數(shù)采用標準三次樣條曲線函數(shù)獲得。進行動力學仿真，測得各驅(qū)動副(并聯(lián)部分的第1、2分支)的驅(qū)動力曲線如圖11所示，可以看出兩種方法得到的驅(qū)動力大致相同，這是因為ADAMS中的動力學仿真，每個構件都必須有質(zhì)量和慣量，而本文建模只考慮了主要構件的質(zhì)量和慣量。

圖11 ADAMS仿真所得各主動副驅(qū)動力和力矩 Fig.11 Driving force curves measured by ADAMS

6 結束語

針對船-海上平臺之間的貨物吊運，提出了一種并串混聯(lián)穩(wěn)定克令吊機構，其可以補償作業(yè)船的搖蕩并實現(xiàn)吊點處的穩(wěn)定，保證貨物的安全吊運并提高作業(yè)窗口時間。建立了穩(wěn)定克令吊穩(wěn)定于吊點的運動學及動力學模型，并用數(shù)值仿真驗證了所建模型的正確性，為此穩(wěn)定克令吊的工程化應用奠定理論基礎。