楊宇生,尹前鋒,豐叢杰,賈洪彪
(1.中國地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院,湖北 武漢 430074; 2.中國科學(xué)院大學(xué)地球與行星科學(xué)學(xué)院,北京 100049)
巖石是一種復(fù)雜的天然地質(zhì)材料,由于巖石內(nèi)部常包含大量隨機(jī)分布的微裂隙等缺陷,使得巖石材料具有明顯的各向異性和漸進(jìn)破壞性[1]。近年來,基于連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強(qiáng)度理論的巖石損傷本構(gòu)模型研究取得了很大的進(jìn)展,成為研究巖石本構(gòu)關(guān)系的主流。
文獻(xiàn)[2]首次將連續(xù)損傷理論與統(tǒng)計強(qiáng)度理論結(jié)合,提出了損傷模型,開啟了在巖石損傷本構(gòu)模型方向上的探究之旅。文獻(xiàn)[3]在前人的基礎(chǔ)上,提出了將軸向應(yīng)變作為統(tǒng)計分布變量的觀點(diǎn),對巖石損傷破裂過程進(jìn)行了研究,為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[4]首次提出巖石微元強(qiáng)度的概念,并以巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布為出發(fā)點(diǎn),基于屈服準(zhǔn)則建立了巖石損傷本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[5]提出基于正態(tài)分布的巖石微元強(qiáng)度,以此建立了新的巖石損傷本構(gòu)模型。文獻(xiàn)[6]在前人研究的基礎(chǔ)上提出了新的衰減型函數(shù)——Harris函數(shù),作為巖石微元強(qiáng)度概率密度分布函數(shù),并以此建立新的本構(gòu)模型,較好的反應(yīng)了巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系和破壞全過程。本文在現(xiàn)有的研究基礎(chǔ)上,引入改進(jìn)的Harris函數(shù)作為巖石微元強(qiáng)度概率密度分布函數(shù),并對損傷變量進(jìn)行修正,引入損傷變量修正系數(shù),采用較為簡潔的定義巖石微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量的方式,提出了新的巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型,運(yùn)用MATLAB軟件將實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)與本構(gòu)模型進(jìn)行擬合,求取相關(guān)模型參數(shù),最終確定了巖石損傷本構(gòu)模型。
假定理想條件下巖石內(nèi)部不存在缺陷,為無損狀態(tài),在三維應(yīng)力作用下其本構(gòu)關(guān)系服從胡克定律,則有
(1)
式中:σ1、σ2、σ3為巖石所承受的3個主應(yīng)力;ε1、ε2、ε3為巖石在3個主應(yīng)力方向上所產(chǎn)生的主應(yīng)變;G為巖石剪切模量,λ為拉梅常數(shù)。
在等圍壓條件下,無損巖石材料三軸壓縮軸向應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系根據(jù)式(1)可得
σ1=Eε1+2νσ3
(2)
式中:E為巖石彈性模量;ν為泊松比。
在天然狀態(tài)下,巖石內(nèi)部往往分布有各種各樣的微裂隙和結(jié)構(gòu)面,這些均為巖石材料的初始缺陷,導(dǎo)致巖石材料的物理力學(xué)性質(zhì)的非均質(zhì)性[7],為此我們引入損傷變量D,設(shè)在某荷載作用下已破壞的巖石微元體數(shù)目為c,巖石微元體總數(shù)為N,定義巖石損傷變量為D=C/N[8],當(dāng)D=0時,說明巖石為無損狀態(tài),D=1時說明巖石為完全損傷狀態(tài),D的取值反映了巖石材料內(nèi)部的受損程度。在單一受力條件下,由連續(xù)損傷理論[9],可得
σ=Eε(1-D)
(3)
由此可推導(dǎo)在三維應(yīng)力作用下受損巖石的本構(gòu)關(guān)系為
σ1=Eε1(1-D)+2νσ3
(4)
對于巖石材料而言,其單軸壓縮曲線和三軸壓縮曲線在累進(jìn)性破裂階段達(dá)到峰值點(diǎn)后,內(nèi)部結(jié)構(gòu)被完全破壞,裂隙迅速發(fā)展,巖石的承載力隨變形的繼續(xù)增大而下降,但并不會完全消失,即巖石的殘余強(qiáng)度。而根據(jù)損傷參量的定義,當(dāng)達(dá)到峰值點(diǎn)時巖石完全破壞,此時D=1,代入到式(3)中得出應(yīng)力為零,此時表示巖石無殘余強(qiáng)度,與實(shí)際情況不符。
為此,引入損傷變量修正系數(shù)δ∈(0,1),通過與損傷變量D相乘的方式對其進(jìn)行修正,使得到的巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型能反映巖石材料的殘余強(qiáng)度,以及巖石材料各向異性的特點(diǎn),使得到的模型更接近實(shí)際情況,更好的模擬出巖石在達(dá)到峰值點(diǎn)后的應(yīng)力——應(yīng)變特征。通過分析,在引入損傷變量修正系數(shù)δ后得到的新的巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型為
σ1=Eε1(1-δD)+2νσ3
(5)
根據(jù)前文所提,目前大多數(shù)研究中均假設(shè)巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布和正態(tài)分布,但兩者均有其缺點(diǎn)和不足,為此本文引入著名的衰減型函數(shù)模型Harris函數(shù)[10],其表達(dá)式為
(6)
式中:F為自變量,S為因變量,a、b為模型參數(shù),均大于0。
在Harris函數(shù)中,S隨F的遞增而減小,其單調(diào)性與D相反,且S與D的變化范圍均為[0,1]。為此,本文對Harris函數(shù)進(jìn)行修正,使之作為巖石損傷變量的發(fā)展方程,即
(7)
式中:將F重新定義為巖石微元強(qiáng)度分布變量。
將式(7)兩邊對F求導(dǎo),即得到巖石微元強(qiáng)度概率密度分布函數(shù)Φ(F)
(8)
目前對巖石損傷本構(gòu)模型的研究,均引入不同的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)(Mohr-Coulomb準(zhǔn)則[11-12]、Hoek-Brown準(zhǔn)則[13-14]、Druckre-Prager準(zhǔn)則[15]等)作為巖石微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量,通過研究發(fā)現(xiàn),若以巖石屈服準(zhǔn)則作為微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量,推導(dǎo)出的表達(dá)式較為復(fù)雜,而以巖石軸向應(yīng)變作為微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量則簡單許多,因此,本文同樣采取此種簡化方法,將巖石軸向應(yīng)變作為微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量,此時F=ε1。
將式(7)代入式(8)可得
(9)
為驗證所建巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型的合理性,采用INSTRON伺服機(jī)對微風(fēng)化石英片巖進(jìn)行了單軸壓縮和三軸壓縮實(shí)驗(見圖1~圖3),得到石英片巖的單軸抗壓強(qiáng)度以及在2MPa、4MPa和6MPa三種不同圍壓下的全應(yīng)力——應(yīng)變曲線,得到了巖石彈性模量E及泊松比ν,其常規(guī)力學(xué)參數(shù)及不同圍壓下的特征參量如表1~表2所示。
圖1 INSTRON伺服壓力機(jī)及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)
圖2 三軸試驗所用壓力室
圖3 巖樣實(shí)驗前后照片
巖石種類泊松比ν彈性模量E/GPa單軸抗壓強(qiáng)度σc/MPa內(nèi)摩擦角φ/(°)石英片巖0.23521.3399.3955.276
表2 不同圍壓下的特征參量
通過獲得的實(shí)驗數(shù)據(jù),運(yùn)用曲線擬合法,利用MATLAB軟件進(jìn)行曲線擬合,得到模型參數(shù)a、b和修正系數(shù)δ的值,最終確定巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型,并將模型曲線與實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,得到如圖3所示的不同圍壓下模型曲線與實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)的吻合對比圖,通過對比模型曲線與實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)的吻合情況可以發(fā)現(xiàn),本文推導(dǎo)出的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型曲線能夠很好的反映巖石應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程,實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)和模型曲線吻合良好,不僅在巖石峰前階段吻合度良好,由于引入了修正系數(shù)δ,也很好的反映了巖石峰后破壞階段。由實(shí)驗可知,隨著所加圍壓的增加,巖石的脆性降低,相對應(yīng)的延性提高,巖石的殘余強(qiáng)度表現(xiàn)的更加明顯,本文推導(dǎo)出的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型對巖石峰后階段有著很高的擬合精度,較傳統(tǒng)的線性擬合方法更加優(yōu)越,在某種程度也上體現(xiàn)了巖石的各向異性和漸進(jìn)破壞性,符合已知的巖石材料的實(shí)際情況,具有一定的實(shí)用價值。
圖4 不同圍壓下模型曲線與實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合情況
本文推導(dǎo)的本構(gòu)模型中創(chuàng)新的引入了巖石損傷修正系數(shù)δ,在此來探討δ對本構(gòu)模型的影響,如圖4所示,引用前文模型驗證中INSTRON伺服機(jī)對微風(fēng)化石英片巖進(jìn)行的在4MPa圍壓下的三軸壓縮實(shí)驗數(shù)據(jù),考慮修正系數(shù)δ的不同取值對模型曲線的影響。從圖5中可以看出,當(dāng)δ取1時,即不引入巖石損傷修正系數(shù)時,模型曲線顯然與實(shí)際相差很大,很難反映出巖石破壞后的應(yīng)力應(yīng)變情況,說明修正系數(shù)δ的引入很好的表現(xiàn)了微風(fēng)化石英片巖峰值點(diǎn)后的破壞情況,同時也反映了它的殘余強(qiáng)度,優(yōu)化了以往研究中本構(gòu)模型的不足,具有很好的實(shí)際意義。從圖5中還可以看出,修正系數(shù)δ的不同取值,對模型曲線的前半段影響不大,即石英片巖峰值點(diǎn)前影響不大,對曲線峰值點(diǎn)后影響較大,在實(shí)際工程應(yīng)用中,δ的取值會隨著巖性、圍壓以及初始缺陷的不同而變化,所以δ的準(zhǔn)確取值是至關(guān)重要的,運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行曲線擬合確定δ的取值不失為一種好方法。
圍壓2MPa圖5 修正系數(shù)δ的取值對模型曲線的影響
本文提出了一種新的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型,以微風(fēng)化石英片巖為例進(jìn)行了實(shí)驗論證,主要創(chuàng)新點(diǎn)和所得到的結(jié)論如下:
(1)根據(jù)以往的研究,提出運(yùn)用改進(jìn)的Harris 函數(shù)作為巖石微元強(qiáng)度概率密度分布函數(shù),基于連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強(qiáng)度理論建立了巖石在三維應(yīng)力作用下的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型,同時在求取模型參數(shù)時,摒棄了以往研究中的多元函數(shù)求極值法,運(yùn)用MATLAB軟件,采用精度更高的曲線擬合法確定了模型參數(shù)。
(2) 由于對擬合精度產(chǎn)生的影響十分微小,本文將巖石軸向應(yīng)變作為微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量來建立本構(gòu)模型,簡化了模型,方便了運(yùn)算。
(3)創(chuàng)新的引入巖石損傷修正系數(shù)δ,進(jìn)一步提高了模型曲線在巖石峰值后階段的擬合精度,很好的反映了巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的漸進(jìn)破壞性,通過相同受力條件下δ的不同取值對模型曲線與實(shí)驗數(shù)據(jù)擬合精度的影響,表明引入δ的必要性,為理論研究和實(shí)際工程提供參考,具有很好的現(xiàn)實(shí)意義。