王雅琪

(北京教育考試院 100083)

2018年高考數(shù)學(xué)試卷(北京卷)，是在落實(shí)《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》(以下簡稱《實(shí)施意見》)[1]，以《2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試北京卷考試說明》(以下簡稱《考試說明》)[2]為依據(jù)，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[3]為參考，以立德樹人、服務(wù)高校人才選拔、導(dǎo)向中學(xué)教學(xué)為命題出發(fā)點(diǎn)，突出能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航.試卷嚴(yán)格遵循考試說明的各項(xiàng)規(guī)定，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難易適度，各種難度的試題比例適當(dāng).

數(shù)學(xué)命題組在總結(jié)多年命題成果的基礎(chǔ)上，積極進(jìn)取，大膽創(chuàng)新，2018年北京數(shù)學(xué)卷的試題繼承了“大氣、平和，貫通融合”，在試題的呈現(xiàn)方式，題材的選取，能力立意，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)考查等方面都進(jìn)行了探索.秉承“七個堅持”和“七個考出來”的理念.試題遵循“立德樹人、服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的命題思路，滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新應(yīng)用能力考查.

1 堅持立德樹人宗旨，把數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化考出來

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，《實(shí)施意見》中特別強(qiáng)調(diào)考試招生對推進(jìn)素質(zhì)教育發(fā)揮著更重要的導(dǎo)向作用，把有利于促進(jìn)學(xué)生健康成長放在重要的位置.根據(jù)數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)，選取體現(xiàn)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的題材，體現(xiàn)“以文育人”，弘揚(yáng)中國數(shù)學(xué)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化魅力，增強(qiáng)文化自信.

例1理科第4題，文科第5題

該題關(guān)注了明代朱載堉對十二平均律的重要貢獻(xiàn).明代朱載堉第一個用數(shù)學(xué)方法求出半音的比例，應(yīng)用自制算盤，求出十二平均律的關(guān)鍵參數(shù)，計算結(jié)果精確程度達(dá)二十五位有效數(shù)字.這個關(guān)鍵數(shù)據(jù)沿絲綢之路傳到西方，鋼琴就是依據(jù)這個音律體系制作的.十二平均律是世界科學(xué)史上的一大發(fā)明，朱載堉是中華民族的驕傲.本題目不僅僅使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用價值，而且能體會數(shù)學(xué)在人類文明中的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)文化自信，增強(qiáng)民族自豪感.

2 堅持立足主干知識，把數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)科本質(zhì)考出來

學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，基本能力的發(fā)展，基本態(tài)度和價值觀的養(yǎng)成，共同構(gòu)成了學(xué)生終身發(fā)展的基礎(chǔ).《實(shí)施意見》中明確提出“依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)地設(shè)計命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性”[4].高考由于受到時間的限制，不能覆蓋全部的知識點(diǎn)，因而每個分支的內(nèi)容需要抽樣考查.因此，為了突出試題的有效性，命題時突出了主干知識，把數(shù)學(xué)的本質(zhì)考出來.

2018年數(shù)學(xué)試卷以《考試說明》[5]為依據(jù)，著力于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角、數(shù)列、概率、立體幾何、解析幾何這些主干知識，通過設(shè)計解答題來重點(diǎn)考查.

例2理科19題

已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A,B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍；

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線方程以及相關(guān)的運(yùn)算.突出對學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力的考查.

3 堅持突出思想方法，把終身受益的數(shù)學(xué)品質(zhì)考出來

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂[6].數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，也是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.考查數(shù)學(xué)思想方法是《考試說明》中的一項(xiàng)基本要求，同時也是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的.

2018年數(shù)學(xué)試卷中考查了數(shù)學(xué)中的分析法、綜合法、歸納法、反證法、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.

例3文科19題

設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為0，求a；

(Ⅱ)若f(x)在x=1處取得極小值，求a的取值范圍.

本題的第二問，需要借助于分類討論的思想，分成兩大類，或更多的小類，再根據(jù)極小值點(diǎn)的概念作出解答.考查學(xué)生的分類討論的思想.

例4文科7題

本題考查三角函數(shù)的概念和性質(zhì).學(xué)生可以通過借助于圖去比較正弦、余弦和正切之間的大小關(guān)系，也可以通過嚴(yán)格的三角函數(shù)計算進(jìn)行比較.

總之，學(xué)生畢業(yè)后，知識可能會慢慢忘記，但不管他們從事什么樣的工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想方法卻會隨時發(fā)揮作用，使他們受益終生[7].

4 堅持凸顯能力立意，把數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)考出來

數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維去思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界[8].因此，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[9].《考試說明》中提出要突出數(shù)學(xué)試題的能力立意，堅持素質(zhì)教育導(dǎo)向.

《考試說明》中明確了能力要求，強(qiáng)調(diào)對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題和解決問題能力的考查.

數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.

例5理科7題

在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時，d的最大值為

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

本題考查平面上點(diǎn)到直線的距離和圓周上點(diǎn)的性質(zhì).要求學(xué)生將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成等價的幾何問題，利用圓周的對稱性，求出圓心到動直線距離的最大值即可.考查學(xué)生是否能夠把極坐標(biāo)的問題抽象成幾何問題加以解決.

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式.

例6理科16題

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BEF；

(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值；

(Ⅲ)證明：直線FG與平面BCD相交.

這是一道立體幾何的問題，在第一和第三問中，分別要求學(xué)生用嚴(yán)格的幾何語言加以證明.在第二問中需要學(xué)生自主思考找到三條互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.

隨著人工智能的迅猛發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代的到來，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)在科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代生活有著廣泛的應(yīng)用.北京試卷中文科17題和理科17題的問題情境相同的，第二問和第三問分別采用了不同的設(shè)問方式，以區(qū)別對文理科學(xué)生的不同要求.

例7文科17題和理科17題

電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

文科：

(Ⅱ)隨機(jī)選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；

(Ⅲ)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)

理科:

假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立.

(Ⅱ)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

(Ⅲ)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.

題目給出了近幾年在國內(nèi)市場上放映的兩千多部電影的真實(shí)數(shù)據(jù)，從多個角度進(jìn)行分析，目的是為了預(yù)測和提高電影質(zhì)量，提升中國電影的整體水平.文理科在同一個真實(shí)背景下，各有側(cè)重，理科題的設(shè)問關(guān)注如何衡量“分歧”的大小，讓考生更加深入地理解方差的概念，以及更好地將方差應(yīng)用到日常生活之中，體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值；文科題是一個典型的投入產(chǎn)出問題，即如何最有效地配置資源,讓考生理解統(tǒng)計方法在決策方面的應(yīng)用，使考生理解統(tǒng)計方法的魅力，為學(xué)生了解現(xiàn)代生活打開了“一扇窗”，增強(qiáng)學(xué)生的責(zé)任感和公民意識.

因此，2018數(shù)學(xué)試卷按照《考試說明》的要求，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，堅持素質(zhì)導(dǎo)向.

5 堅持?jǐn)?shù)學(xué)創(chuàng)新精神，把北京學(xué)生的特點(diǎn)考出來

北京學(xué)生視野寬，知識面廣，有更多接觸和參與社會重大活動的機(jī)會，能夠綜合地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析問題、解決問題.他們敢于質(zhì)疑，獨(dú)立思考，具有較強(qiáng)的創(chuàng)新能力.高考具有“一把尺”服務(wù)選材的功能.因此，2018年試題強(qiáng)調(diào)開放性和創(chuàng)新性，選擇非常規(guī)的情境和思維深刻的問題，讓學(xué)生綜合地運(yùn)用所學(xué)的知識，多角度、多層次地考查學(xué)生的綜合素質(zhì)，把學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神考出來.主要體現(xiàn)三點(diǎn)：

第一，設(shè)計了開放性問題，考查學(xué)生發(fā)散思維的能力.

例8文科11題和理科13題

(理科13題)能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.

這兩道題屬于開放型試題，答案不唯一，分別以簡單的不等式和函數(shù)的單調(diào)性概念為載體，讓學(xué)生結(jié)合問題的要求，根據(jù)已有的知識，進(jìn)行開放性思考，創(chuàng)造性的構(gòu)造反例.

第二，考查不同的解決問題的方法，考查學(xué)生多角度思考問題的能力.

例9理科15題

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)求AC邊上的高.

此題是一道解三角形的問題.盡管表述常規(guī)，但在解答時可以讓學(xué)生多種方式去解決.可以用正余弦定理、面積公式等解三角形的知識，也可以用平面幾何的方法作出解答.

解題方法的多樣性，思維的深度和廣度，可以給各級別考生搭建了展示才華的舞臺.

第三，創(chuàng)新問題形式，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.

北京試卷每年在第8、14和20題都體現(xiàn)創(chuàng)新的特點(diǎn)，考查學(xué)生是否能在陌生的、非常規(guī)的情境中綜合地應(yīng)用知識解決問題.

例10文理科第8題

設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2}，則

(A)對任意實(shí)數(shù)a，(2,1)∈A

(B)對任意實(shí)數(shù)a，(2,1)?A

(C)當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，(2,1)?A

本題以不等式組的解集構(gòu)成的點(diǎn)集為載體，考查基礎(chǔ)知識的同時，考查邏輯推理能力和創(chuàng)新性思維.本題的解題思路多樣，可以從代數(shù)角度出發(fā)，先考慮點(diǎn)在集合內(nèi)，再用補(bǔ)集的思想，就能快速的解決問題；也可以按照線性規(guī)劃的知識去畫題設(shè)中的集合表示的區(qū)域，因?yàn)楹袇?shù)，所以表示的是一個動態(tài)的區(qū)域，合理的分類討論是關(guān)鍵.

例11理科20題

設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，記

(Ⅱ)當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α,β，當(dāng)α,β相同時，M(α,β)是奇數(shù)；當(dāng)α,β不同時，M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值；

(Ⅲ)給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α,β，M(α,β)=0.寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

問題的第二和第三問，沒有通用的解題方法，教材中也沒有類似的題型，學(xué)生需要閱讀題目內(nèi)容，理解文字和符號的含義、表示及其運(yùn)算，并將其應(yīng)用于探索和構(gòu)造問題中來，考查考生分析問題、解決問題的能力.考生根據(jù)題目條件，創(chuàng)造性的構(gòu)造集合和分組，給出構(gòu)造性的證明，這有利于考查考生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識.

6 堅持教學(xué)積極導(dǎo)向，把高考的育人功能考出來

北京卷數(shù)學(xué)突出高考的發(fā)展性功能，摒棄偏題、難題、怪題，注重主干知識、關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸課堂，重視教材.試題設(shè)計充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性、層次性、實(shí)踐性和教育性.

基礎(chǔ)性強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，突出數(shù)學(xué)的通性通法.考查的是學(xué)生對于基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握.比如理科數(shù)學(xué)中代數(shù)55分，占36.7%；三角18分，占12%；立體幾何19分，占12.7%；解析幾何19分，占12.7%；概率統(tǒng)計12分，占8%；參數(shù)方程、極坐標(biāo)、算法初步、框圖10分，占6.7%；綜合內(nèi)容17分，占11.3%.其中84.6%的屬于理解和掌握水平.突出了基礎(chǔ)性要求.

層次性強(qiáng)調(diào)的是試題設(shè)計照顧到全體考生，有些試題分層設(shè)問，低門檻，多層次，形成梯度，使各層次考生都能展示自己的水平；比如解答題在設(shè)問上都給學(xué)生搭建了臺階，對所有的考生，第一問可以直接用所學(xué)的知識去解決(如例12).即使理科第20題，第一問也比較容易解決.

例12文科16題

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

第一問學(xué)生可以直接用所學(xué)的知識，將三角函數(shù)變形后求出其最小正周期.第二問因?yàn)橛袇?shù)，所以，需要一定的思維難度.

例13理科14題

此題考查學(xué)生對于橢圓、雙曲線定義、幾何性質(zhì)的理解.如果學(xué)生回歸到橢圓的定義，雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)圖形中的幾何性質(zhì)，問題就可以很快得以解決.

數(shù)學(xué)是最為嚴(yán)謹(jǐn)、最嚴(yán)格的科學(xué)，愛因斯坦曾說過“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠和無可爭辯的”.數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性就要求思維具有條理，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，一絲不茍.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[10]提出要使學(xué)生“養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑，善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.”學(xué)生在解決理科18題和理科19題時，都需要思維縝密，具有嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的精神.

例14理科18題

設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行，求a；

(Ⅱ)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

理科18題，考查極小值的概念，切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.第一問的條件是切線與x軸平行，除了切線斜率為0之外，還需驗(yàn)證切線與x軸不重合，考查考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

理科19題的第一問，求直線l斜率的取值范圍，如果忽略了某些條件和細(xì)節(jié)，就導(dǎo)致結(jié)果不完美，考查考生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

試題設(shè)計的基礎(chǔ)性、層次性、實(shí)踐性，必將引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)走出題海，規(guī)避重復(fù)訓(xùn)練、大批量做題，規(guī)避死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的應(yīng)試模式.北京卷通過設(shè)計解答題讓學(xué)生深入思考、升華對問題的認(rèn)識.必將引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要帶領(lǐng)學(xué)生從做題到做事，從學(xué)習(xí)知識到問題解決，真正起到了高考在引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)的“一面旗”的作用.

7 堅持平穩(wěn)過渡，把滲透文理不分科的思想考出來

2013年11月發(fā)布的《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問題的決定》，提出“探索全國統(tǒng)考減少科目，不分文理科”的措施，即2020年，所有考生使用相同的數(shù)學(xué)試卷.為此，數(shù)學(xué)學(xué)科要重新構(gòu)建學(xué)科考試的體系，能力框架、試卷結(jié)構(gòu)和試題類型.2018年試卷在突出通用性，落實(shí)高考“不分文理科”的改革要求方面進(jìn)行了積極探索.一是選取一些基礎(chǔ)知識作為文理科命題的內(nèi)容；二是采用相同的或類似的問題情境，不同的設(shè)問方式設(shè)計問題，以區(qū)別文理學(xué)生認(rèn)知的差異.

2018年北京卷文理科試題中，選擇題中，有6道是文理同題.在非選擇題中，有一道填空題是文理同題.在解答題中，有兩道題目是情境相同(或相似)，只是在設(shè)問的層次上體現(xiàn)出文理科的差異.詳細(xì)的見例15的表.

例15文理同題

題號內(nèi)容考查要求題型1(文),1(理)集合理解選擇2(文),2(理)復(fù)數(shù)理解選擇3(文),3(理)框圖理解選擇5(文),4(理)文化理解選擇6(文),5(理)視圖理解選擇8(文),8(理)不等式應(yīng)用選擇13(文),12(理)線性規(guī)劃了解填空

續(xù)表

注：概率統(tǒng)計問題是文理情境相同，設(shè)問不同；導(dǎo)數(shù)問題是文理情境相似，設(shè)問類似

這種處理方式為實(shí)現(xiàn)到2020年文理合科的平穩(wěn)過渡打下了基礎(chǔ).

總之，2018年北京卷數(shù)學(xué)試題大氣、貫通，題干簡潔明了，解答嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范.試題取材源于生活，考查的終極目標(biāo)服務(wù)于學(xué)生未來的可持續(xù)發(fā)展，能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航，打造數(shù)學(xué)高考考試新形態(tài).