寇勃晨，唐力偉，鄧士杰

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)火炮工程系， 石家莊 050000)

現(xiàn)有的特征降維方法按照降維方式分為特征選擇和特征變換。特征選擇的結(jié)果不會改變物理意義，便于理解；而特征變換的結(jié)果能挖掘數(shù)據(jù)中更深層的信息[1]。經(jīng)典的特征變換降維PCA算法是通過發(fā)現(xiàn)特征空間中全局方差最大的投影方向，如閆等[2]將PCA應(yīng)用于人臉識別領(lǐng)域，并與LDA方法結(jié)合，提高了人臉識別率。但對于非線性的數(shù)據(jù)，降維后仍存在不同類混疊現(xiàn)象，而且特征之間的量級不統(tǒng)一也會影響投影方向的計(jì)算，無法實(shí)現(xiàn)良好的故障診斷[3]。

流形學(xué)習(xí)是近年來熱門的非線性降維算法，能夠提取嵌入在高維空間中的低維特征[4]。典型的流形學(xué)習(xí)算法包括等距映射算法、局部線性嵌入算法以及拉普拉斯特征映射等[5]。鄰域保持嵌入NPE算法是由He等[6]提出的，可以看作是局部線性嵌入算法的改進(jìn)。NPE算法能保持鄰域結(jié)構(gòu)不變，在數(shù)據(jù)降維的同時(shí)獲得從高維空間到低維空間的投影矩陣，方便了新數(shù)據(jù)的處理[7]。NPE算法提出后被迅速應(yīng)用于人臉識別領(lǐng)域以及故障診斷領(lǐng)域，Huang H等[8]將判別稀疏NPE用于高光譜圖像分類；Chen X等[9]將最大邊緣NPE算法用于人臉識別；劉嘉敏等[10]針對歐氏距離不能真實(shí)反映高維數(shù)據(jù)空間分布，提出相關(guān)NPE算法；Miao A等[11]提出非局部結(jié)構(gòu)約束的NPE算法并應(yīng)用于故障檢測；宋濤等[12]將正交鄰域保持嵌入用于軸承故障診斷，又提出增殖正交鄰域保持嵌入[13]用于動態(tài)數(shù)據(jù)的降維。

本研究針對故障辯識問題，提出一種基于改進(jìn)重構(gòu)模型的自適應(yīng)NPE算法(Improved Model-Adaptive Neighborhood Preserving Embedding，IM-ANPE)。算法首先采用自適應(yīng)鄰域方法構(gòu)建鄰域結(jié)構(gòu)，再利用樣本集的本征維數(shù)作為目標(biāo)維數(shù)，在建立低維重構(gòu)模型時(shí)引入類間中心距離公式，保證降維后異類樣本中心點(diǎn)距離最大化，然后求解最優(yōu)問題得到投影矩陣以及降維后的數(shù)據(jù)，最后代入概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PNN進(jìn)行故障識別。來自UCI標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫和柱塞泵實(shí)測故障數(shù)據(jù)表明，IM-ANPE相比NPE能有更好降維辯識效果。

1 NPE算法

NPE算法是對LLE算法的改進(jìn)，其核心思想是將高維數(shù)據(jù)集降到低維，保持?jǐn)?shù)據(jù)間的結(jié)構(gòu)不變。兩種算法都假定在局部范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)是可以線性表示的，即任意一個(gè)點(diǎn)可以通過其鄰域各點(diǎn)的線性組合得到，并在降維后這種線性關(guān)系保持不變。

NPE流形學(xué)習(xí)算法可以分以下步驟進(jìn)行：

假設(shè)存在樣本集X=[x1,x2,…,xN]，xi∈RD，即每個(gè)樣本含有D個(gè)特征指標(biāo)，共N個(gè)樣本。需要得到樣本在低維度的映射表示Y=[y1,y2,…,yN]，yi∈Rd，d<

第1步計(jì)算樣本間的歐式距離，構(gòu)造樣本集的距離矩陣ED：

(1)

第2步尋找樣本點(diǎn)的k個(gè)近鄰點(diǎn)，通過對距離矩陣ED的每一列按數(shù)值從近到遠(yuǎn)升序排列，刪除第一行(因?yàn)榈谝恍斜硎緲颖镜狡浔旧淼木嚯x，無意義)，然后選擇每列前k個(gè)元素作為該列對應(yīng)樣本的k-近鄰點(diǎn)；

第3步計(jì)算鄰域權(quán)值矩陣W，算法假設(shè)每個(gè)樣本點(diǎn)可以被它的k個(gè)近鄰點(diǎn)線性表示，則定義誤差函數(shù)：

(2)

式中：Wi表示樣本xi對應(yīng)的鄰域權(quán)值向量，xij表示xi的第j個(gè)近鄰點(diǎn)；wij是xi到xij之間的權(quán)值，誤差函數(shù)越小，說明權(quán)值取得越好。Wi的求解過程詳見文獻(xiàn)[14]。求解每個(gè)樣本點(diǎn)的權(quán)值向量Wi，然后根據(jù)近鄰點(diǎn)對應(yīng)位置擴(kuò)展成N×N矩陣W。

第4步在低維空間重構(gòu)樣本集Y，使樣本集擁有和高維樣本集X相同的鄰域結(jié)構(gòu)，于是定義代價(jià)函數(shù)ε(Y)，并使代價(jià)函數(shù)最小化：

trace(Y(I-W)(I-W)TYT)=

trace(YMYT)

(3)

將Y=ATX代入式(3)，并在限制條件YYT=NI下，采用Lanrange乘子法即可解算出投影矩陣：

(4)

通過求解矩陣(XXT)-1XMXT的前d個(gè)最小特征值所對應(yīng)的特征向量，就組成投影矩陣A。然后代入公式Y(jié)=ATX中求出低維空間重構(gòu)樣本集Y。

2 改進(jìn)重構(gòu)模型

針對原有NPE算法只利用了鄰域信息，而忽略樣本類別信息，導(dǎo)致投影前距離相近的異類樣本在降維投影后依然相近，不利于故障辯識。本文提出基于改進(jìn)重構(gòu)模型的NPE算法，通過利用訓(xùn)練樣本的標(biāo)簽信息規(guī)定投影方向，可以在該投影方向上有最大異類樣本中心距離，提高降維投影后樣本的辯識精度。

對以上maxδ(A)、maxδ(B)、maxδ(C)三個(gè)表達(dá)式進(jìn)行融合變形得到廣義的公式：

(5)

k=1,2,…,z-1

(6)

其中：z是樣本總類數(shù)。為避免漏算錯(cuò)算，L(1)類可被定義為yi所在類的下一類，L(2)類被定義為yi所在類的下下一類，以此類推。比如類A的L(1)類為B，L(2)類為C；類B的L(1)類為C，L(2)類為A。

仔細(xì)觀察式(5)的最后一行，發(fā)現(xiàn)和公式(3)的第二行有相同的結(jié)構(gòu)，于是合并兩個(gè)公式得到最優(yōu)化問題：

(7)

使用式(7)中的Q代替第四步中的矩陣M就是本文對NPE的低維重構(gòu)模型改進(jìn)(IM-NPE)。

3 鄰域k與目標(biāo)維數(shù)d的選擇

3.1 局部鄰域k

傳統(tǒng)NPE降維方法對于鄰域大小的選擇，是基于全局參數(shù)的k近鄰或ε近鄰方法，雖然方便實(shí)現(xiàn)但是這種全局參數(shù)的方法只適用于數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻的流形，具體的參數(shù)需要人為經(jīng)驗(yàn)選擇，且不能根據(jù)樣本局部的分布情況自行調(diào)整[15]。如果k值選擇過小，則鄰域不連通，如果k值選擇過大，容易造成短路現(xiàn)象；并且固定的k值會造成樣本密集地區(qū)鄰域選擇過小，稀疏地區(qū)鄰域又選擇過大，固定的ε值也會導(dǎo)致稀疏地區(qū)近鄰點(diǎn)太少。參考文獻(xiàn)[16]中的自適應(yīng)鄰域構(gòu)造方法，首先采用馬氏距離衡量樣本間的接近程度，因?yàn)轳R氏距離不受樣本特征的量綱影響，更符合數(shù)據(jù)的真實(shí)分布情況，再以平均馬氏距離為參考初選每個(gè)樣本點(diǎn)的鄰域：

(8)

(9)

(10)

(11)

3.2 目標(biāo)維數(shù)d

降維算法中除了鄰域k值，另一個(gè)重要參數(shù)就是目標(biāo)維數(shù)d。如果目標(biāo)維數(shù)選擇過小，可能會導(dǎo)致不同類別之間產(chǎn)生重疊；如果目標(biāo)維數(shù)選擇過大，又可能會造成樣本點(diǎn)松散，失去聚類效果，且增加計(jì)算量。本文將使用文獻(xiàn)[17]中的自適應(yīng)極大似然估計(jì)法計(jì)算樣本集的本征維數(shù)作為樣本集的目標(biāo)維數(shù)：

(12)

(13)

(14)

本文基于改進(jìn)重構(gòu)模型的自適應(yīng)NPE降維法(IM-ANPE)的整個(gè)流程如圖2所示，先根據(jù)式(8)～式(11)計(jì)算局部鄰域，再根據(jù)式(12)～式(14)估計(jì)目標(biāo)維數(shù)，然后使用本文的改進(jìn)重構(gòu)模型的NPE降維方法(IM-NPE)求出投影矩陣，最后得到降維后數(shù)據(jù)。

4 改進(jìn)方法驗(yàn)證

采用來自UCI標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫和柱塞泵實(shí)測數(shù)據(jù)對本文算法進(jìn)行驗(yàn)證，將本文算法的降維結(jié)果作為輸入向量代入概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PNN進(jìn)行故障辯識，并與原始特征作為輸入向量和NPE降維結(jié)果作為輸入向量進(jìn)行比較。

4.1 UCI標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫

選擇UCI數(shù)據(jù)庫的wine數(shù)據(jù)集、wpbc數(shù)據(jù)集、iris數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析，表1給出各數(shù)據(jù)集信息。

表1 各數(shù)據(jù)集信息

首先選擇wine數(shù)據(jù)集做可視化降維演示。wine數(shù)據(jù)集包含3類178個(gè)樣本，第1類樣本59個(gè)，第2類樣本71個(gè)，第3類樣本48個(gè)，每個(gè)樣本有13個(gè)特征和1個(gè)標(biāo)簽信息。為計(jì)算方便每種樣本抽取相同數(shù)量24個(gè)，組成容量為72的樣本集。NPE降維法的近鄰參數(shù)設(shè)為10，目標(biāo)維數(shù)定為3，效果如圖3所示。

從圖3可以看出，NPE降維結(jié)果保持了樣本的鄰域結(jié)構(gòu)，第2類分布較散，與第3類有一點(diǎn)重合，與第1類存在部分重合,對于分類辯識的目的來說，效果較差；IM-ANPE的降維結(jié)果較NPE降維結(jié)果，分類性能有明顯提升，三類樣本的分界線明顯。造成以上現(xiàn)象的主要原因是NPE算法能保持局部結(jié)構(gòu)，但是沒有標(biāo)簽信息的參與，選擇的投影方向不適合分類辯識；本文的改進(jìn)方法，通過尋找一個(gè)投影方向，在原有保持局部同類結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上保持異類之間樣本中心距離最大化，提高了區(qū)分度。

將提取樣本集的各種降維結(jié)果作為PNN概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入進(jìn)行訓(xùn)練，然后用整個(gè)樣本集作為測試樣本，表2給出辯識結(jié)果。

表2 辯識結(jié)果 %

4.2 柱塞泵故障數(shù)據(jù)

下面應(yīng)用柱塞泵實(shí)測故障信號對本文方法的降維性能進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)采集自某實(shí)驗(yàn)室柱塞泵實(shí)驗(yàn)平臺，信號為泵體的軸向振動信號，如圖4所示。實(shí)驗(yàn)中信號狀態(tài)包括正常狀態(tài)、單柱塞磨損、雙柱塞磨損、單松靴、雙松靴以及配油盤磨損6種。柱塞泵型號為25SCY14-1B，電機(jī)采用恒轉(zhuǎn)速1 500 r/min，采樣頻率設(shè)置為20 kHz，單個(gè)數(shù)據(jù)的長度為 1 s，每種工況80組，6組共480組數(shù)據(jù)樣本。采用“db4”小波包對樣本進(jìn)行6層分解，每個(gè)樣本得到64個(gè)自頻帶分量重構(gòu)信號，求取64個(gè)分量信號的能量熵并進(jìn)行歸一化作為64維特征向量。

每種工況隨機(jī)選取40組作為訓(xùn)練樣本，剩余40組作為測試樣本。對訓(xùn)練樣本分別應(yīng)用NPE法和IM-ANPE方法進(jìn)行降維，經(jīng)過式(12)～(14)計(jì)算目標(biāo)維數(shù)為6，表3給出對實(shí)測信號采用不同降維方法的辯識結(jié)果。圖5給出兩種降維方法前3維度的數(shù)據(jù)分布。

表3 故障信號辯識結(jié)果 %

從表3中發(fā)現(xiàn)，原始特征不經(jīng)過任何方法處理，直接代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練和識別，其總體故障識別率最低；經(jīng)過NPE降維處理后，總體識別率并沒有顯著提高；經(jīng)過IM-ANPE降維后總體識別率有了很大提升。從細(xì)節(jié)觀察，經(jīng)過NPE降維處理后單柱塞、單松靴、雙松靴3種故障識別率有一定提升，雙柱塞故障識別率反而降低，這是因?yàn)镹PE算法雖考慮了數(shù)據(jù)非線性結(jié)構(gòu)，但是沒有規(guī)定確切的投影方向，不適用于分類辯識問題；而本文方法利用樣本標(biāo)簽信息，改進(jìn)重構(gòu)模型，使投影方向上的異類中心距離最大化，所以降維后的特征能更好反映不同類型、不同工況之間的差異，各種工況的識別率都有提升。

5 結(jié)論

1) 通過使用樣本集的標(biāo)簽信息，改進(jìn)NPE算法的低維重構(gòu)模型，使樣本集降維后能在關(guān)注同類樣本結(jié)構(gòu)不變的同時(shí)，保證投影方向上非同類樣本的中心點(diǎn)距離最大化，以便獲得更高辨識度的低維特征。并且使用自適應(yīng)鄰域和本征維數(shù)解決NPE算法中重要參數(shù)的選擇問題，最終形成一套適用于故障辯識的無參數(shù)流形學(xué)習(xí)降維方法——基于改進(jìn)重構(gòu)模型的自適應(yīng)鄰域保持嵌入(IM-ANPE)。

2) UCI數(shù)據(jù)庫的3組數(shù)據(jù)經(jīng)降維處理后的辯識結(jié)果以及wine樣本集的可視化分布圖表明，IM-ANPE方法的樣本分離效果較NPE方法更好。柱塞泵實(shí)測信號處理后的辯識結(jié)果以及可視化分布圖也表明，IM-ANPE算法的故障識別率最高，相比未處理特征和NPE降維后的特征，IM-ANPE算法在故障判別上更具優(yōu)勢。