黃睿明

摘 要：生活中我們?？吹綀A柱形的包裝容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，為什么這些容器都設(shè)計成了這樣的形狀？這樣的形狀有什么優(yōu)勢呢？顯然，當(dāng)一個容器需要大量使用的時候，考慮用料成本，設(shè)計一個容積足夠、美觀大方又節(jié)省材料的容器是極為必要的。

關(guān)鍵詞：易拉罐 設(shè)計 最小值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）07-0-01

易拉罐是生活中常見的飲料容器，每天都有不計其數(shù)的易拉罐飲料從生產(chǎn)線上生產(chǎn)出來打包裝箱輸送到全國各地，同時被無數(shù)人購買，暢飲之后又要丟入垃圾桶。每個易拉罐的用料不多，但是有了龐大的基數(shù)支撐，用料成本便不可忽視，節(jié)約用料是一個極為重要的問題。

根據(jù)已經(jīng)掌握的知識，平面中等面積的情況下圓的周長最短，那么，可以聯(lián)想到空間中等體積的情況下球體的表面積最小。按照節(jié)省用料的考慮，為什么沒有大規(guī)模使用球型的容器呢？最簡單直觀的缺點是不方便持握，不方便放置。而且還有一個問題就是球型容器運輸?shù)臅r候放入箱子中也會浪費更多的空間。

思考一：假設(shè)包裝都是標準的圓柱體，忽略包裝材料的拼接，近似認為容積就等于體積，這樣把問題近似轉(zhuǎn)換為一個純粹的數(shù)學(xué)問題，即：“體積一定的圓柱體，底面半徑與高的比值為多少時，表面積最??？”

設(shè)易拉罐的高為h，底面半徑為r，有圓柱體的體積公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面積為S=2πr2+2πrh。將h= 代入表面積公式得S=2πr2+ 。[1]現(xiàn)在，問題轉(zhuǎn)化成為了在r取何值的時候，函數(shù)S能夠取到最小值。S= ，當(dāng)且僅當(dāng)2πr2= ，即 時，易拉罐有最小表面積 ，此時h=2r。

但是在實際生活中，我們絕對看不到有這樣形狀的容器裝滿飲料放在貨架上，為什么呢？這種形狀的圓柱體又叫等邊圓柱，這種形狀拿起來的手感很差，因為太粗了，不適合作為飲料的容器，作為罐頭、油桶倒是不錯。那么，還有什么因素影響了易拉罐的形狀呢？易拉罐的上底和下底經(jīng)過觀察和側(cè)面是不一樣的，一般來說，下底的材料會更加厚一些，或是更加硬一些，這可能是影響易拉罐形狀的又一因素。

思考二：體積一定的圓柱形容器，上下底面的價格是側(cè)面造價的k倍，那么底面半徑和高的比為多少時表面總造價最小[2]？

經(jīng)過調(diào)查，有相當(dāng)一部分飲料包裝的底面的單位造價是側(cè)面單位造價的2倍左右，為了便于計算，假設(shè)k=2。設(shè)圓柱底面半徑r，高為h，側(cè)面單位造價為a，底面單位造價為ka，圓柱體總造價為y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。 = 。

當(dāng)且僅當(dāng)4r=h時，表面總造價最低。如果材料特殊，底面單位面積造價不為側(cè)面的2倍，計算方法相同。市面上大多數(shù)易拉罐裝的飲料符合4r=h這一比例。

目前考慮的是上下底面造價相同的情況下，實際中可能出現(xiàn)特殊要求，上下底面構(gòu)造不同，上下底面都要求一定的抗壓能力，但是上底面還要能夠打開。價格和下底可能略有差別。

思考三：體積一定的圓柱形容器，上底面的價格是側(cè)面造價的m倍，下底面的價格是側(cè)面造價的n倍，那么底面半徑和高的比為多少時表面總造價最小[3]？

計算方法和上面類似，過程也基本一致，最終的結(jié)果是（m+n）r=h時，表面總造價最小。

此時得到的易拉罐如圖1，是一個圓柱體，但是生活中我們看到的易拉罐是如圖2的形狀，上面的圓臺顯然不可忽視，那么我們對圓臺同樣進行一下計算。

思考四：設(shè)易拉罐上部為一正圓臺，下面是圓柱體，圓臺的體積一定，底面半徑設(shè)為R，上底半徑r和圓臺高度h的比為何值時表面積最??？

圓臺的表面積=圓臺頂蓋面積+圓臺側(cè)面積。S=πr2+π（r+R） 。

依據(jù)圓臺的體積公式有 ，則有S=

。限于目前的能力不能解出正確的結(jié)果，公式求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，則能夠求出結(jié)果。

生活中常用的易拉罐底部也不是規(guī)則的圖形，底部是向內(nèi)凹陷的造型，凹陷進去的設(shè)計有著比較優(yōu)秀的性能。易拉罐作為容器，內(nèi)部存放著飲料的時候?qū)Φ撞坑幸欢ǖ膲毫?，向?nèi)凹陷的設(shè)計可以提升抗壓能力，其次立放的時候可以更加穩(wěn)定，如果是一個平面，那么支撐面不平整會導(dǎo)致整個易拉罐不能穩(wěn)定放置，中間向上凹陷，接觸面由平面與平面的接觸變?yōu)槠矫媾c一個外圈接觸，當(dāng)平面平整，兩者都能夠穩(wěn)定放置，如果有一個細小的突起，凹陷的設(shè)計可以使易拉罐輕微移動之后穩(wěn)定放置，而平整的底面做不到；再次，飲料在夏季冰凍或是不良反應(yīng)可能會增大體積，凹陷部分可以變?yōu)橥怀觯乐构摅w破裂、泄露；最后，下面的設(shè)計可以嵌入易拉罐頂部的圓內(nèi)，在大量運輸?shù)臅r候可以提升穩(wěn)定性。

易拉罐看似常見，但是其中的設(shè)計元素一點也不少。經(jīng)過了對易拉罐的研究之后，感到生活處處皆學(xué)問。易拉罐的設(shè)計不僅僅涉及到經(jīng)濟因素，還和人們的價值觀和美學(xué)觀念有一定的聯(lián)系。希望設(shè)計師能夠設(shè)計出更美觀、更實用和更經(jīng)濟的易拉罐。

參考文獻

[1]周文國. 易拉罐的設(shè)計方案[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué)，2002，（01）：18.

[2]劉彭芝，王珉珠. 中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)指導(dǎo) 數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)文化[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社，2010.44-45.

[3]陶鋒. 易拉罐中的數(shù)學(xué)知識[J]. 數(shù)學(xué)大世界（高中生數(shù)學(xué)輔導(dǎo)版），2003，（12）：21.