張樂平，金鑫，肖勇

(南方電網(wǎng)科學研究院有限責任公司， 廣州 510080)

0 引 言

隨著窄帶電力線載波通信技術過渡到寬帶電力線載波通信(Power Line Communications, PLC)技術，國內(nèi)的PLC技術已取得長足進步，并已廣泛應用在智能電表的用電信息采集系統(tǒng)[1-2]。雖然微波通信、光纖通信等通信技術廣泛應用于電力系統(tǒng)通信，但是PLC因其覆蓋范圍廣、成本低等備受重視。相較于其他專用通信方式，PLC由于電力網(wǎng)絡中復雜的拓撲結構、時變阻抗、不連續(xù)阻抗節(jié)點以及強脈沖干擾噪聲等因素，存在復雜多變的多徑衰落特性與強脈沖噪聲的缺點。

由于通信系統(tǒng)最重要的是信號特征，學者們著重對PLC信號的特征進行深入研究。文獻[3]表明PLC信號呈現(xiàn)非線性和非平穩(wěn)特性，但是缺少對PLC信號的分形特性進行具體深入研究，難以表述信號自身的特點。結合在PLC信號中發(fā)現(xiàn)的分形特性，其影響信號分形特性有一些其他原因，而不是單一分形性質(zhì)[4]。雖然根據(jù)文獻[5]通過實際測量的信道特性研究了信號特征，但得出的結論表明信道特性是獨立的，影響信號是所有可能因素的線性疊加。實際上所有影響因素都不是獨立的，它們之間存在相互作用。文獻[6]基于非線性傳輸模型和多路徑時延模型對信號特征進行了深入分析，試圖研究整體的信號特征。然而，該方法不能準確反映信道的時間變異性和偶然性，同時需要大量的數(shù)據(jù)來調(diào)整這些模型中使用的參數(shù)，得到的結果存在偶然性。

綜上所述，為了克服傳統(tǒng)方法的局限性，本文提出了基于非線性動力學和分形理論的非線性和復雜特性的PLC信號分形方法。單分形理論可以確定信號的分形特征，可以描述信號的整體和部分的自相似性。然而，單分形理論對電力線傳輸信號特性的全面深入描述還不夠。因此，為了闡明局部條件對分形生成過程的影響，利用多重分形理論來詳細描述PLC信號的非線性和動態(tài)特性。實際上，一組點的自相似特性可以用分形維數(shù)來表征，但是該特性僅適用于簡單的情況。因此，本文首先通過多重分形消除趨勢波動分析法(Multi-fractal Detrended Fluctuation Analysis, MFDFA)研究了PLC信號的特性，然后基于MFDFA自身存在的不足，將非線性信號處理技術和小波理論結合來確定信號的多重分形特征。最后，利用多重分形譜分析來描述PLC信號的非線性動力學特性。

1 多重分形分析

當描述一個單分形對象時，通常使用一個特定度量的分布密度來計算單一的全局指數(shù)。假設該分布是均勻的，那么分形對象就有無數(shù)個尺度。而對于單分形對象，分形維數(shù)在所有尺度上都是相同的。由于實際系統(tǒng)中存在許多其他重要的影響因素，如材料的溫度、硬度分布不均勻等，導致不同尺度下局部分形維數(shù)的不同。因此，單分形理論不能適應上述情況，需要引入多重分形測量理論[7-8]。

1.1 多重分形基本概念

在所有尺度上很少有相同的模式重復出現(xiàn)，以及自相似性屬性從一個點到另一個點完全相同。在這種情況下，每個對象在不同的尺度上可能有不同的維度，因此引入多重分形理論。用μz的值來衡量在位置z時μ的值，其中z是一個矢量。通過z變化，在Vε,z范圍內(nèi)得到的統(tǒng)計如下：

(1)

可以知道在一個典型的單分形結構上，這個度量是相近似的，符合如下規(guī)則:

μεz～ε-D

(2)

式中D是分形維數(shù)。對多重分形對象而言，測量μ在不同的位置是不同的。因此，鄰近zi的空間可以分為多個子集，每個子集是一個矢量，得到每個區(qū)域的分布。單分形和多重分形對象主要區(qū)別在于單一分形Dq在[-∞,+∞]都是一樣的，而多重分形對象則是不同的。因此，多重分形理論多用于描述多重特性的對象。

1.2 多重分形譜分析

計算多重分形譜的方法主要有直接計算法、盒維數(shù)法、定徑法和固定質(zhì)量法四種。雖然直接計算的原理很簡單，但由于計算量大，很難實現(xiàn)。固定半徑法需要對質(zhì)量指數(shù)進行估計。當奇異質(zhì)量概率函數(shù)歸一化時，得到的結果與基于盒維數(shù)法的結果是一致的。但是，當統(tǒng)計順序為1時，公式不能使用。同時在計算奇異質(zhì)量概率函數(shù)時，很難選擇算法中使用的權重。當質(zhì)量指數(shù)為零時，不能使用固定質(zhì)量方法。此外，該方法還需要對分形集進行足夠平滑的測量。本文采用盒維數(shù)法繪制PLC信號多重分形譜，具體步驟如下：

步驟1：選擇一個時間尺度，并將PLC信號分成N段。如果樣本不能平均分配，那么左半部分N=floorNs/ε，其中Ns是樣本大小，剩余是右半部分。

步驟2：將得到的樣本進行歸整，對應歸整后的概率Piε如下：

(3)

其中，Ii是在第i段部分所有樣本的數(shù)目。

步驟3：設置q的取值范圍，并計算q階配分函數(shù)

(4)

式中，χqε是表示歸一化后概率不均勻程度的統(tǒng)計量，q是權重因子。如果logχqε和logε之間的關系是線性的，那么時間序列將表現(xiàn)出多重分形特征。

步驟4：根據(jù)自相似理論，配分函數(shù)χqε和ε具有冪律關系χqε～ετq，故可以得到:

logχqε=τqlogε+C

(5)

其中，C是對結果有一定影響的常數(shù)。從而可得到logχqε～logε散布圖，然后使用最小二乘擬合得到直線τq，直線的斜率為質(zhì)量指數(shù)。當τq和q是線性相關的，則該序列是單分形的情況，否則該序列是多重分形的情況。

步驟5：根據(jù)τq的性質(zhì)，可以得到廣義Renyi維數(shù)。曲線Dq～q被稱為Renyi譜，具有如下關系的Renyi譜或廣義維度譜：

(6)

(7)

式中，α為多重分形譜奇異指數(shù)。該指數(shù)表示一個時間序列內(nèi)部動態(tài)行為的輻射信息，由歸一化概率決定。參數(shù)Δα是多重分形譜的寬度。

Δα=αmax-αmin

(8)

(9)

參數(shù)Δα是用來描述程度的規(guī)范化概率在整個分形結構的不均勻性。如果參數(shù)Δα很大，PLC信號幅度的分布是不均勻的。當Δα=0時，對應完全均勻分布。當α=α0時，分形譜fα與α的關系可分為左右兩部分。如果光譜顯示了一個向左的趨勢，對fα的右端點低于左端點，α>α0的區(qū)域顯著大于α<α0的區(qū)域，事件導致振幅變化逐漸起到了主要的作用。不妨定義另一個參數(shù)來測量多重分形譜Δf的大?。?/p>

Δf=fαmax-fαmin

(10)

(11)

參數(shù)Δf表示最高歸一化概率和最低歸一化概率個數(shù)的比值。實際上，它是高峰和低谷的比例。當Δf>0時，多重分形譜呈現(xiàn)左偏趨勢，即峰數(shù)大于谷數(shù)。當Δf<0時，多重分形譜呈現(xiàn)右偏趨勢，即峰數(shù)大于谷數(shù)。從上面可以知道，兩個參數(shù)Δα和Δf是重要的多重分形譜描述參數(shù)，多重分形譜的形態(tài)學是由時間序列的內(nèi)部動態(tài)行為特征決定的。

“目前，智能醫(yī)療系統(tǒng)在不斷完善的基礎上，保證患者信息安全成為重中之重?！睂O巖國告訴記者，保證包括可穿戴設備在內(nèi)，醫(yī)療系統(tǒng)的數(shù)據(jù)安全，是醫(yī)療質(zhì)量安全的保障，也是醫(yī)院獲得長久生命力的重要因素。

1.3 多重分形消除趨勢波動分析法

由Kantelhardt提出的多重分形衰減波動分析(MFDFA)，是一種基于衰減波動和多配分函數(shù)分析的改進衰減波動分析[9]。該方法將時間序列劃分為多個塊，并用最小二乘擬合得到一條直線。從而消除這種趨勢，有效克服短程依賴的干擾，同時準確地檢測長期依賴性。同時該方法還可用于計算靜止和非平穩(wěn)序列中的廣義Hurst參數(shù)。因此使用MFDFA方法來分析寬帶PLC信號的多重分形特性。構建MFDFA的步驟如下：

步驟1：將時間序列轉換成像時間序列楊的隨機步長，作為MFDFA的初始步長;

步驟2：采用均方根算法，計算PLC信號的平均變化值;

步驟3：隨著在非重疊區(qū)間內(nèi)時間序列的均方根，計算PLC信號的局部波動;

步驟4：沿著趨勢計算近似的局部均方根，通常該均方根在PLC信號時間序列內(nèi)出現(xiàn);

步驟5：將局部均方根的幅值匯總成一個整體均方根。通過時間序列的快速波動，得到小樣本量中部分的整體均方根。相比之下，大樣本容量中部分的整體均方根多通過緩慢波動得到。多段部分樣本尺度的整體均方根之間的電力規(guī)則關系是由一個單分形衰減波動分析定義的，稱為Hurst指數(shù)。在最后一步中，通過整體均方根的q階次擴展得到MFDFA。q階次均方根可以區(qū)分小波動和大波動的波動部分，在q階次均方根間的電力規(guī)則關系可以辨別，并將其定義為q階次Hurst指數(shù)。

2 PLC信號的單分形特征

2.1 單分形尺度

在此部分，基于Hurst指數(shù)和分形維數(shù)來證明PLC信號的分形特征。將收集的信號1作為研究樣本，在樣本中選取12 800個采樣點，采樣間隔為1 ms。信號的波動非常強烈，其運動方式與布朗運動相似，是無組織的。但是從樣本點3 000到12 000，樣本點具有相似點。

對于重新掃描范圍分析，參數(shù)m和K分別限定為m=1,2,…,1 000和K=128，得到的Hurst指數(shù)H=0.805 5。對于方差-時間圖方法，參數(shù)m也設為m=1,2,…,1 000，得到的Hurst指數(shù)為H=0.835 7。對于提出的周期圖分析，其中參數(shù)Hurst指數(shù)H=0.829 7。對于提出的基于小波的分析方法，其中參數(shù)j=2,3,…,13，得到Hurst指數(shù)為H=0.811 5。結果表明，所有Hurst指數(shù)均在0.5～1之間。這表明PLC信號1具有分形自相似性。雖然理論誤差算法自身導致細微的結果差別，但并不影響自身相似性判斷。此外，通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，Hurst指數(shù)參數(shù)接近1。證明了PLC信號1具有明顯的自相似特性，以及時間序列具有長期記憶。從以上結果可以看出，PLC信號1具有分形特征。但是，如果想要證明PLC信號均具有分形特性，需要在不同的位置選取不同的PLC信號進行測試。R/S測試結果如下：信號1的H=0.805 5，信號2的H=0.803 4，信號3的H=0.801 0，信號4的H=0.805 3。

從以上結果可以看出，不同的位置信號具有相同的分形自相似度，并確定PLC信號在統(tǒng)計上具有分形自相似性。同事信號之間的差異表明不同位置的信號受到不同因素的影響，并證明信號具有不確定性和信道隨機性。但是，其并不影響信號的自相似特性的存在，進一步分析分形維數(shù)知道該信號具有分形特征得到驗證。同時得到證實，Hausdorff維度和自相似性兩者之間存在一定的關系，因此可以通過R/S分析結果間接計算Hausdorff維度。同時，通過盒維數(shù)分析計算直接得到盒維度。例如，信號1的盒子尺寸是計算出來的。Hausdorff維度如下：信號1的DH=1.194 5，信號2的DH=1.196 6，信號3的DH=1.199 0，信號4的DH=1.194 7，信號5的DH=1.195 8。箱體維度如下：信號1的D0=1.116 1，信號2的D0=1.119 2，信號3的D0=1.121 2，信號4的D0=1.113 2，信號5的D0=1.114 5。信號的盒維數(shù)和Hausdorff維數(shù)均大于1，小于2。因此，它們都是分形集，驗證了分形維數(shù)的分形特征。根據(jù)分形自相似性的特點，自相似度被稱為尺度不變性，它是指根據(jù)物體的不同尺度觀測，表明整個系統(tǒng)和部分系統(tǒng)之間的形狀、功能的相似性質(zhì)。因此，有必要對不同采樣頻率和時間的信號分形進行研究。

2.2 不同時間PLC信號的自相似特性

選取信號1作為研究樣本。將其分為以下四個階段：1 ms～3 000 ms，3 001 ms～6 000 ms，6 001 ms～8 000 ms和8 001 ms～12 800 ms。然后對四個階段的R/S分析結果見表1，可以得出如下有意義的結論：

(1)Hurst值大于0.5，每個階段的信號具有自相似性和長期相關性的特征。

(2)不同時期Hurst的值是不同的，表明寬帶電力線通信信道的具有時變特性。

(3)在第3階段標準偏差達到最大值，但在第3階段不能從Hurst值中找到的明顯波動。因此，Hurst值并不是一個能反映信號波動的精確參數(shù)。

表1 不同時間段的信號自相似性

3 PLC信號的多重分形特征

在本文中，分別使用信道1和信道5的PLC信號，在樣本中選取12 800個采樣點，采樣間隔為1 ms。多重分形的范圍是[100,2 000]，步進是100，配分函數(shù)q階次的范圍是[-20,+20]，步進是10。

3.1 PLC信號的多重分形特性。

結合改進的MFDFA算法與小波理論，分析PLC信號的多重分形特性。首先將得到信號的累積偏差序列，然后利用小波變換將累積偏差序列分割成段，得到不同的廣義Hurst參數(shù)?？梢灾纐從1.0變?yōu)?0.0時，廣義Hurst參數(shù)h(q)從9.161 5下降到6.604 2，如圖1所示。因此，信號包絡的h(q)參數(shù)不是常數(shù)。從而得出在PLC信號中存在明顯的多重分形特征，不能僅用單分形理論來描述。此外，當q很小的時候，PLC信號的輕微波動出現(xiàn)，h(q)接近1。當q值變大時，PLC信號會出現(xiàn)較大的波動。當h(q)下降接近0.5時，信號的無序性就會出現(xiàn)，出現(xiàn)PLC通道干擾和衰減引起的問題。基于此特征，可以利用不同信號的h(q)分布來測量多重分形的不規(guī)則程度，以確定q的范圍。

圖1 不同q值時的廣義Hurst參數(shù)

3.2 多重分形譜的PLC OFDM信號

從以上結果可以得出，用作評估多重分形信號的局部Hurst指數(shù)是隨時間波動的，但用作評估單分形信號的Hurst指數(shù)是與時間是獨立的。此外，局部Hurst指數(shù)的時間變化可以被看作概率分布，而多重分形譜可以被看作是對數(shù)坐標中的歸一化概率分布。因此，多重分形譜可以定義為歸一化概率分布的對數(shù)變換，對應信號1和5的曲線如圖2所示。同時多重分形譜直接關系到PLC中OFDM信號局部分形結構的分布。PLC信道的當前狀態(tài)與影響PLC信道的過去和未來狀態(tài)有關，且該狀態(tài)影響PLC信道的局部尺度不變結構。因此，PLC信號的分布和多重分形譜可反映PLC信道的重要特性。當計算多重分形時，使用的兩種PLC信號，都是相同的配置。這兩種信號的部分重要參數(shù)如表2所示。結合圖2和表2，可以知道信號1和5的多重分形譜是凸曲線，頻譜表現(xiàn)出傾斜的趨勢，意味著PLC信號具有典型的多重分形特性。結合MFDFA實驗結果可以知道，配分函數(shù)χqε～logε和質(zhì)量指數(shù)τq～q，可以進一步證實PLC信號的多重分形特性。對于奇異指數(shù)的范圍分布，信號5的分布范圍[0.781 0,1.359 8]，而信號1的分布范圍更廣，為[0.857 1,1.632 5]。該結果表明信號1具有更明顯的多重分形。對于多重分形譜而言，在α0=1.05時，參數(shù)將多重分形譜fα～α分成左右兩部分。α>α0的區(qū)域顯著大于另一半。此外，從表2中信號1的主要多重分形參數(shù)中可以知道Δf>0，表明多重譜呈現(xiàn)出左偏趨勢，意味著波峰的數(shù)量比波谷大。對于信號5而言，主要的多重分形參數(shù)小于零Δf<0，意味著峰值的個數(shù)大于谷數(shù)。因此，多重分形譜可以顯示時域信號的差異和振幅的分布。與單分形相比，多重分形特性可以更好地反映信號的內(nèi)部非線性動力學特性。

圖2 PLC信號的多重分形譜

信號αminαmaxΔαfαmin fαmax Δf10.857 11.632 50.769 10.097 9-0.024 10.123 150.781 01.359 80.596 9-0.014 10.018 4-0.032 5

4 結束語

為了解決準確描述非線性和非平穩(wěn)特性的PLC信號特點難問題，結合現(xiàn)有研究成果提出了單分形和改進的多重分形研究方法。首先簡單介紹了分形理論的基本知識和分形維數(shù)的計算方法等，并提出PLC信號具有顯著的分形特性。然后針對單分形對PLC信號的特性分析不夠深入，引入多重分形理論。并通過利用小波理論改進MFDFA算法，對PLC信號的多重分形特性進行深入研究，并從實測的PLC信號中得到估計低功率指數(shù)的多重分形譜。最后結合比對試驗，確定了PLC信號多重分形特性，表明單分形和多重分形方法可以成功應用在智能電網(wǎng)PLC中，同時為下一步將分析理論用在信號插值、信道建模、信號預測和中繼選擇技術等方面奠定堅實基礎。