狄宏規(guī)，周順華，何 超，肖軍華，羅 喆

(同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室, 上海 201804)

近年來，我國軟土地區(qū)(如上海、南京等城市)地鐵隧道的長期沉降問題逐步凸顯，不但影響線路的運營，而且增加養(yǎng)護維修費用[1-4]。現(xiàn)場實測表明，運營后長期車載引起的地基附加沉降不可忽視[5]。交通動荷載誘發(fā)的飽和軟土地基變形的分析，無論通過室內(nèi)單元試驗的應力路徑加載還是基于本構(gòu)理論的數(shù)值分析，動應力的求解都是分析問題的基礎[6]。

眾多學者對地面交通荷載引起的地基動應力響應問題進行了研究。文獻[7]將交通荷載簡化為移動荷載，將路堤系統(tǒng)簡化為Euler-Bernoulli梁，得到地面交通荷載引起的彈性地基內(nèi)部動應力解答。文獻[6]通過引入勢函數(shù)和Helmholtz代換，得到地表承受矩形分布的豎向與水平向移動荷載時三維飽和地基動應力的基本解。文獻[8]采用傳遞矩陣法建立層狀黏彈性路基土動力響應力學分析模型，探討交通荷載下路基土中動應力的響應特征。文獻[9]基于移動集中點荷載作用下的公路地基附加動應力解，采用數(shù)值積分方法計算移動圓形均布荷載下公路地基的附加動應力。對于地下鐵路隧道-土體系統(tǒng)的車致動力響應問題，國內(nèi)外學者已建立較多的分析模型，如嵌入的歐拉梁模型[10-12]、Pip in Pip(PiP) 模型[13-14]、有限元-邊界元模型[15-16]、2.5維有限元-無限元模型[17]以及2.5維有限元模型[18-20]，但上述研究多側(cè)重地下鐵路行車引起的環(huán)境振動響應，對于車致地基動應力的研究較少。文獻[21]采用有限元法分析地鐵盾構(gòu)隧道車致地基動應力的影響范圍，但尚未考慮盾構(gòu)隧道壁后注漿層對土體動應力的影響。文獻[22]在PiP模型的基礎上，進一步考慮盾構(gòu)隧道的壁后注漿層，獲得固定簡諧荷載作用下盾構(gòu)隧道飽和地基動應力解，但尚未考慮真實的移動地鐵列車荷載。文獻[23]對上海地鐵二號線某區(qū)間隧道斷面?zhèn)让娴能囍峦羷討涂讐哼M行了現(xiàn)場測試，但受測試條件的限制，無法給出隧道底部的土動應力和孔壓值?？傮w而言，目前對于地鐵隧道車致地基動應力的認識還有待進一步深化。

本文在文獻[22]的基礎上，進一步考慮移動地鐵車輛荷載，建立車輛-隧道-土體系統(tǒng)動力響應半解析模型?；谠撃Ｐ?，探討飽和黏性土地基車致動應力的時空分布特征，研究結(jié)果可為移動車載作用下飽和土體單元應力分析及車載累積沉降研究等提供參考。

1 地基動應力模型

1.1 模型的簡化

盾構(gòu)隧道襯砌和壁后注漿層采用無限長的Flügge雙層圓柱殼模擬，殼體為均質(zhì)、各向同性、線彈性材料。飽和地基采用中空圓形土柱模擬，土體視為Biot飽和多孔介質(zhì)，如圖1所示。地基圓柱體內(nèi)徑等于雙層殼(襯砌和注漿層)的半徑，外徑趨于無窮大。

圖1 殼柱模型及坐標系

1.2 模型的耦合求解

將襯砌與注漿層視為Flügge雙層圓柱殼，其運動微分方程如下。

軸向：

( 1 )

切向：

( 2 )

徑向：

( 3 )

式中：R為雙層圓柱殼的半徑；ms為雙層殼的質(zhì)量，ms=ρ1h1+ρ2h2，ρ1和ρ2分別為襯砌和注漿層的線密度，h1和h2分別為襯砌和注漿層的厚度；u、v、w分別為殼體中面沿z、θ、r方向的位移；qz、qθ和qr分別為殼體中面沿z、θ、r方向的凈應力。式( 1 )～式( 3 )中其他參數(shù)計算表達式為

( 4 )

將土體視為飽和多孔介質(zhì)，Biot波動方程[14]為

( 5 )

式中：ui、wi分別為土骨架位移分量和流體相對于土骨架的位移分量；i,j=1，2，3;λ、μ為土骨架的Lamé常數(shù)；α、M分別為表征土顆粒和孔隙流體壓縮性的常數(shù)；b=η/kd，為反映黏性耦合的參數(shù)，kd為土的動力滲透系數(shù)；ρb=n0ρf+(1-n0)ρs，n0為土體的孔隙率，ρf、ρs分別為流體和土骨架密度；m=ρf/n0。

均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)方程為

( 6 )

式中：τij為土體單元總應力；e=ui,i為土骨架的體積應變；εij=(ui,j+uj,i)/2，為土骨架應變；δij為Kronecker符號；Pf為孔隙水壓力;ζ=-wi,i。

定義函數(shù)f(z,t)關于坐標z和時間t的雙重Fourier變換對為

( 7 )

式中：ω為角頻率；ξ為波數(shù)；“～”表示變量為頻率-波數(shù)域中的量。

根據(jù)Flügge雙層圓柱殼理論求解獲得襯砌殼體應力和位移的矩陣表達式，并根據(jù)Helmholtz矢量分解理論求解Biot波動方程，獲得含待定系數(shù)的土體應力和位移表達式，具體求解過程可參見文獻[22]。

若在襯砌內(nèi)表面(z=0 m、θ=0°)處作用一個以速度v0水平移動的單位簡諧荷載eiω0t(圖1)，則該荷載在z、θ、r方向產(chǎn)生的應力分量可以描述成

( 8 )

式中：δ(z-v0t)和δ(θ)為狄拉克δ函數(shù)。

對式( 8 )進行雙重Fourier變換，則該荷載在頻率-波數(shù)域內(nèi)的應力可寫為

( 9 )

式中：n為環(huán)向模態(tài)數(shù)。

殼-柱模型的相關假定為：

(1)襯砌殼體中性面的應力等于襯砌內(nèi)外表面應力的差值。

(2)距隧道中心無限遠處土體位移衰減為0。

(3)襯砌與地基土體交界面位移與應力均協(xié)調(diào)。

(4)隧道襯砌不透水，隧道與土體界面的孔隙水壓力法向?qū)?shù)為0。

結(jié)合以上假定，即可確定含四個未知系數(shù)的向量E為

(10)

待定系數(shù)確定后，即可得到不同環(huán)向模態(tài)數(shù)n下任意位置處土體的應力為

(11)

通過模態(tài)疊加和Fourier逆變換，可得單位簡諧荷載作用下時間-空間域內(nèi)任意位置處土體的應力

(12)

進一步將地鐵列車荷載F簡化為一系列以恒速v0移動的輪載Pm(此處僅給出2節(jié)車)，如圖2所示。

則作用在隧道內(nèi)的移動列車荷載F可寫成

(13)

(14)

圖2 地鐵列車荷載模型

式中：N為車廂數(shù)量；Pm為地鐵列車的軸重；wa為相鄰兩組輪對之間的距離；wb為第二組和第三組輪對之間的距離；lk為列車長度；ld為第一個列車荷載到觀察點之間的距離。

對式(13)進行關于變量z、t的雙重Fourier變換，可得列車荷載在頻域-波數(shù)域內(nèi)的表達式

(15)

(16)

結(jié)合式(12)、式(15)、式(16)，借助Matlab編制程序即可快速計算地鐵隧道車致地基動應力。為便于后續(xù)分析，將圖1中柱坐標系(r,θ,z)中的動應力τ′轉(zhuǎn)換成直角坐標系(x,y,z)中的動應力τ，轉(zhuǎn)換公式為

τ=βτ′βT

(17)

式中

2 地基附加動應力分布特征

采用以上模型，基于上海地鐵列車實際運行速度和隧道、注漿層、飽和黏性土體的參數(shù)進行計算，分析移動荷載作用下下方土體動應力的空間分布和時間變化特征。表1～表4分別為隧道襯砌、注漿層、飽和土體和車輛的計算參數(shù)。其中，襯砌和飽和土體的部分計算參數(shù)參考文獻[14]，注漿層的計算參數(shù)參考文獻[24]，車輛參數(shù)同文獻[25]。由于隧道位于淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土中，淤泥質(zhì)黏土的動力滲透系數(shù)kd一般在10-10m2數(shù)量級，流體的動力黏滯系數(shù)η取0.01 Pa·s[26]，故參數(shù)b取108N·s/m4。計算時車輛荷載移動速度v0=60 km/h。

表1 隧道襯砌計算參數(shù)

表2 壁后注漿層計算參數(shù)

表3 飽和地基土體計算參數(shù)

表4 車輛計算參數(shù)

2.1 空間分布特征

圖3為注漿層底部土體附加動應力軸向分布圖。從圖3可以看出，在3個土體正應力中，豎向正應力τyy幅值最大，τxx和τzz幅值較接近，約為0.5τyy；隧道底部處，剪應力τxy和τxz等于0；在車體下方，除最后一節(jié)車廂外，土體孔壓Pf基本為正值。這主要是由于在單個移動荷載作用下，飽和黏性土體中的孔隙水受到擠壓向荷載前方移動，導致荷載前下方孔隙水壓力為正，荷載后下方孔隙水壓力為負。前后輪載的疊加效應導致前5節(jié)車廂下方正孔隙水壓力占優(yōu)，整體呈現(xiàn)孔隙水壓力為正，而第6節(jié)車廂2個轉(zhuǎn)向架下方及最后一個輪載后方負孔隙水壓力占優(yōu)。

圖3 地基動應力軸向分布圖

圖4和圖5分別為隧道底部土體動應力沿深度和沿水平向的分布曲線，其中，衰減比為應力分量(孔隙水壓力分量)與其最大值之比。正應力、剪應力、孔隙水壓力分別取自圖3中第4、第22、第4輪載正下方(自右向左)。從圖4可以看出，正應力中τxx沿深度衰減最快，τzz次之，τyy衰減最慢。隨著深度的增加，剪應力先增大后減小，在注漿層以下約0.5 m處達到最大值；在隧道下方9 m處，地基動應力衰減為最大值的20%及以下。從圖5可以看到，除剪應力τxy外，隨著與隧道中心線水平距離的增加，其他動應力分量幅值逐漸減小，當水平距離增至4 m時，土體動應力衰減為0。

圖4 隧底土體動應力沿深度分布及衰減比曲線

圖5 隧底土體動應力沿水平向衰減曲線

2.2 時間變化特征

進一步分析荷載移動線下方土單元的應力狀態(tài)，由于該平面內(nèi)土體剪應力τxy和τxz始終為0，可視x方向的正應力始終為中主應力，若忽略中主應力的影響，則只需要分析y-z平面上的應力狀態(tài)?？紤]單節(jié)車廂多個輪載的情況(圖2)，荷載以速度v0=60 km/h從O點左側(cè)水平距離60 m的位置移動到O點再移動至O點右側(cè)水平距離為60 m的位置，觀察O點及其下方3 m范圍內(nèi)土單元動應力狀態(tài)。

圖6 單節(jié)車荷載下不同深度處土體動應力時程曲線

圖6為不同深度處土體動應力時程曲線。從圖6可以看出，單節(jié)車廂荷載作用下O點處的動應力峰值小于圖3中6節(jié)車廂荷載作用下O點處的動應力峰值，表明車輛荷載的多輪載疊加效應明顯。與圖6(a)O點處不同，圖6(b)O點下方3 m處單節(jié)車廂(4個輪對)的4個峰值點合并為2個，即隨著深度的增加，多輪載疊加效應明顯減弱，且該點應力路徑基本關于橫軸對稱，如圖7所示。以上分析表明，本文提出的地鐵盾構(gòu)隧道車致動應力計算模型不僅能獲得動應力的空間分布特征，用于車載累積沉降計算；也可獲得不同位置處土體單元動應力的時程曲線與應力路徑，便于土體應力狀態(tài)分析。由于該模型為半解析模型，計算效率高，若結(jié)合飽和半空間2.5D動力格林函數(shù)[27]，還可獲得飽和半空間隧道-土體系統(tǒng)的動力響應。

圖7 單節(jié)車荷載下O點下方3 m處土單元應力路徑

3 結(jié)論

(1)本文提出的半解析模型能較好模擬系統(tǒng)的動力相互作用，可快速計算和分析車致動應力的時空分布特征。

(2)土體豎向正應力τyy幅值最大，τxx和τzz幅值接近，約為0.5τyy；在隧道底部處剪應力τxy和τxz等于0；車輛下方孔壓Pf基本為正值(最后一節(jié)車廂除外)。

(3)土體正應力及孔隙水壓力幅值隨著深度增加而減小，正應力中τxx沿深度衰減最快，τyy衰減最慢，剪應力τyz幅值隨著深度的增加先增大后減小，在注漿層以下約0.5 m處達到最大值。

(4)在隧道下方9 m處，地基動應力衰減為最大值的20%及以下；隨著深度的增加，多輪載疊加效應減弱。

(5)除剪應力τxy外，其他動應力分量隨著與隧道中心線水平距離的增加而減小，當水平距離增至4 m時，土體動應力衰減為0。