鄭育坤

摘 要：用等效法分析半偏法的系統(tǒng)誤差，進而將等效法利用到測量電源的電動勢與內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差的分析中，可以輕松得到正確的誤差分析結論。

關鍵詞：等效法；半偏法；系統(tǒng)誤差；電動勢；內(nèi)阻

等效法在高中物理應用非常多，比如等效重力加速度在計算單擺的周期、計算復合場中的最高點的速度等問題中的應用，可以將比較繁瑣的計算問題瞬間變成可以口算的題目。電學實驗的系統(tǒng)誤差分析一直是高考的熱門考點，但是也是中學生最為害怕的一個點，因為一般要通過比較復雜的計算比較才得出系統(tǒng)誤差結果。本文主要探討半偏法測電表內(nèi)阻及測量電源的電動勢與內(nèi)阻兩個實驗的系統(tǒng)分析。

1 半偏法測電表內(nèi)阻實驗的系統(tǒng)誤差分析

日前筆者在一個QQ物理討論群中與同行的朋友探討一道有關半偏法誤差的問題，群主的方法非常好，但是計算量大了些；所以筆者想能不能找到其他更好的解答方法，可以較快地解出結果。因為在現(xiàn)行的理綜考試中即使會列式但是不會解或者沒有時間解，對解填空題來說沒有太大的意義。理綜考試中時間分配很重要，大部分的同學不可能花大量的時間去解一道填空題，而要拿高分的尖子生更不敢輕易花這么多時間計算，萬一后面題目更需要時間，那整個得分效率就太低了。

（1）在QQ群中討論的題目

例1：某實驗小組利用如圖1所示電路測量一微安表（量程500μA，內(nèi)阻RA約300Ω）的內(nèi)阻。提供的器材有，定值電阻R0 （阻值為120Ω）、滑動變阻器R1（最大阻值為10Ω）、電源E（電動勢2V，內(nèi)阻很?。?，電阻箱R2 （最大阻值為999.9Ω）、開關和導線若干。

（i）完成下列填空：

①將滑動變阻器R1的滑片P移到最 （選填“左”或“右”）端，調(diào)節(jié)電阻箱R2的阻值為0；閉合開關S，移動滑片P，使微安表滿偏。

應該說群主老師給出的解答非常準確，且求方程的解也是很厲害，但是筆者覺得計算量實在太大了，在考場上的考生臨時計算是不切實際的，對于平時的講解也是沒有太大意義，老師們不適合花很長時間進行解方程計算給學生看，但是也不能說同學們回去自己算算看。所以，筆者試著給出下面的解法。

（3）利用等效法分析

由①②易解得：r1= RA +r等，則RA=r1-r等；而②③易解得：2r2=RA+r等，則RA=2r2-r等；所以常規(guī)計算法得到結論是一樣的，但是計算量少很多。

實際電路（二端含電源的電路網(wǎng)絡）中只要內(nèi)部中電學元件是線性的，可以把兩個端點開路時的路端電壓看成這兩端的等效電動勢U等，而把內(nèi)部除源后電阻視為等效內(nèi)阻r等。這就是等效電壓源原理，也稱為戴維南定理[ 1 ]。如果利用這個原理，則上面討論的半偏法問題，等效電路作如圖5依次變換，下半部分等效成一個電源，其等效內(nèi)阻 r等=。這個計算主要難點是理解什么是除源后等效電阻，其實就是這兩端的外電路去掉后，再去掉原來電路的電動勢而只保留電源內(nèi)阻（而本題內(nèi)阻視為零）的兩端等效電阻。本題等效內(nèi)阻的電路如圖，只要能理解去源后留內(nèi)阻后很快可得內(nèi)阻的表達式與群主老師計算的結果是一樣的。

（4） 深入思考得到的結果

這個實驗的測量值與實際值的差值是一個并聯(lián)的等效內(nèi)阻，由于并聯(lián)阻值一般較小，所以這種半偏法適合用于測量電表內(nèi)阻較大的（比如電壓表的內(nèi)阻），且有以下幾個結論：

①測量值比實際值大，差值就是并聯(lián)電阻。

②滑動變阻器選擇阻值較小的誤差會更小，因為并聯(lián)后阻值較小，差值就更小。

③電源的電動勢要選擇較大的，這樣為使得電表滿偏時并聯(lián)部分的阻值更小些，誤差小些。

2 測量電源的電動勢與內(nèi)阻實驗的系統(tǒng)誤差分析

高中物理的另外一個重要電學實驗“測量電源的電動勢與內(nèi)阻”，系統(tǒng)誤差的分析也有許多方法：圖象法、計算法、等效法等。各種方法計算的繁簡程度不一樣，對于普遍認為比較好的圖象法筆者也曾在教學中多屆使用，但是最后總發(fā)現(xiàn)沒有幾個同學能夠熟練地使用，而在考試中往往比背住答案的同學的準確率還要低，因為往往在圖象法的外推時出錯。下面我們來對比一下分別用計算法與等效法推導這個實驗的系統(tǒng)誤差的解答過程以及結論。

（1）先試試常規(guī)的計算法得出答案

例2：如圖6所示是伏安法測電源電動勢和內(nèi)電阻的一種接法，假設只分析測量中的系統(tǒng)誤差，試分析這種測法中電動勢和內(nèi)電阻的測量值與真實值的關系[ 2 ]。

解：用E測、r測表示測量值，E、r表示真實值，要測出電池的電動勢和內(nèi)電阻，至少要有兩次測量數(shù)據(jù)。用I1、U1、I2、U2分別表示兩次測量中電流表和電壓表的讀數(shù)，則電源電動勢和內(nèi)電阻的測量值由下式求出：

（2）使用等效法分析這種測量方法的系統(tǒng)誤差

而其中另外一種電流表位置不一樣的伏安法測量電源電動勢與內(nèi)阻的實驗，如圖11所示，也可以將電流表和電源那部分等效成一個新的等效電源，由于此部分開路后電壓為U等=E，內(nèi)阻去源后為兩個電阻串聯(lián)r等=RA+r，因此E測= U等=E=E真，r測=r等=RA+r >r真，這個方法與結論同樣可以用到圖12利用電阻箱與電流表測電動勢與內(nèi)阻的實驗中。

顯然，通過使用不同方法分析上面兩個實驗的系統(tǒng)誤差的比較，我們發(fā)現(xiàn)結論是相同，但是不同的方法所需要的計算完全不同，有的非常繁瑣，需要的計算量讓人望而生畏，有的卻非常簡潔，可以口算或心算秒算出來。其實，解題方法的簡潔與否，在很大程度上反映了答題者對物理原理認識的深刻程度。認識越深刻，選擇的方法也必然越佳，解答也就自然越為簡潔。對于半偏法測電表內(nèi)阻及測量電源電動勢與內(nèi)阻的這兩個電學實驗的系統(tǒng)誤差，如果能深刻認識等效電壓源原理，那么基本不用繁瑣計算便可以輕松得到誤差分析的結論。

參考文獻：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]范小輝.高中物理奧賽講座二年級[M].西安：陜西師范大學出版社，2003.