鄭育坤

摘 要：用等效法分析半偏法的系統(tǒng)誤差，進(jìn)而將等效法利用到測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻的系統(tǒng)誤差的分析中，可以輕松得到正確的誤差分析結(jié)論。

關(guān)鍵詞：等效法；半偏法；系統(tǒng)誤差；電動(dòng)勢(shì)；內(nèi)阻

等效法在高中物理應(yīng)用非常多，比如等效重力加速度在計(jì)算單擺的周期、計(jì)算復(fù)合場(chǎng)中的最高點(diǎn)的速度等問(wèn)題中的應(yīng)用，可以將比較繁瑣的計(jì)算問(wèn)題瞬間變成可以口算的題目。電學(xué)實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差分析一直是高考的熱門考點(diǎn)，但是也是中學(xué)生最為害怕的一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)橐话阋ㄟ^(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算比較才得出系統(tǒng)誤差結(jié)果。本文主要探討半偏法測(cè)電表內(nèi)阻及測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)分析。

1 半偏法測(cè)電表內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差分析

日前筆者在一個(gè)QQ物理討論群中與同行的朋友探討一道有關(guān)半偏法誤差的問(wèn)題，群主的方法非常好，但是計(jì)算量大了些；所以筆者想能不能找到其他更好的解答方法，可以較快地解出結(jié)果。因?yàn)樵诂F(xiàn)行的理綜考試中即使會(huì)列式但是不會(huì)解或者沒(méi)有時(shí)間解，對(duì)解填空題來(lái)說(shuō)沒(méi)有太大的意義。理綜考試中時(shí)間分配很重要，大部分的同學(xué)不可能花大量的時(shí)間去解一道填空題，而要拿高分的尖子生更不敢輕易花這么多時(shí)間計(jì)算，萬(wàn)一后面題目更需要時(shí)間，那整個(gè)得分效率就太低了。

（1）在QQ群中討論的題目

例1：某實(shí)驗(yàn)小組利用如圖1所示電路測(cè)量一微安表（量程500μA，內(nèi)阻RA約300Ω）的內(nèi)阻。提供的器材有，定值電阻R0 （阻值為120Ω）、滑動(dòng)變阻器R1（最大阻值為10Ω）、電源E（電動(dòng)勢(shì)2V，內(nèi)阻很小），電阻箱R2 （最大阻值為999.9Ω）、開(kāi)關(guān)和導(dǎo)線若干。

（i）完成下列填空：

①將滑動(dòng)變阻器R1的滑片P移到最 （選填“左”或“右”）端，調(diào)節(jié)電阻箱R2的阻值為0；閉合開(kāi)關(guān)S，移動(dòng)滑片P，使微安表滿偏。

應(yīng)該說(shuō)群主老師給出的解答非常準(zhǔn)確，且求方程的解也是很厲害，但是筆者覺(jué)得計(jì)算量實(shí)在太大了，在考場(chǎng)上的考生臨時(shí)計(jì)算是不切實(shí)際的，對(duì)于平時(shí)的講解也是沒(méi)有太大意義，老師們不適合花很長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行解方程計(jì)算給學(xué)生看，但是也不能說(shuō)同學(xué)們回去自己算算看。所以，筆者試著給出下面的解法。

（3）利用等效法分析

由①②易解得：r1= RA +r等，則RA=r1-r等；而②③易解得：2r2=RA+r等，則RA=2r2-r等；所以常規(guī)計(jì)算法得到結(jié)論是一樣的，但是計(jì)算量少很多。

實(shí)際電路（二端含電源的電路網(wǎng)絡(luò)）中只要內(nèi)部中電學(xué)元件是線性的，可以把兩個(gè)端點(diǎn)開(kāi)路時(shí)的路端電壓看成這兩端的等效電動(dòng)勢(shì)U等，而把內(nèi)部除源后電阻視為等效內(nèi)阻r等。這就是等效電壓源原理，也稱為戴維南定理[ 1 ]。如果利用這個(gè)原理，則上面討論的半偏法問(wèn)題，等效電路作如圖5依次變換，下半部分等效成一個(gè)電源，其等效內(nèi)阻 r等=。這個(gè)計(jì)算主要難點(diǎn)是理解什么是除源后等效電阻，其實(shí)就是這兩端的外電路去掉后，再去掉原來(lái)電路的電動(dòng)勢(shì)而只保留電源內(nèi)阻（而本題內(nèi)阻視為零）的兩端等效電阻。本題等效內(nèi)阻的電路如圖，只要能理解去源后留內(nèi)阻后很快可得內(nèi)阻的表達(dá)式與群主老師計(jì)算的結(jié)果是一樣的。

（4） 深入思考得到的結(jié)果

這個(gè)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量值與實(shí)際值的差值是一個(gè)并聯(lián)的等效內(nèi)阻，由于并聯(lián)阻值一般較小，所以這種半偏法適合用于測(cè)量電表內(nèi)阻較大的（比如電壓表的內(nèi)阻），且有以下幾個(gè)結(jié)論：

①測(cè)量值比實(shí)際值大，差值就是并聯(lián)電阻。

②滑動(dòng)變阻器選擇阻值較小的誤差會(huì)更小，因?yàn)椴⒙?lián)后阻值較小，差值就更小。

③電源的電動(dòng)勢(shì)要選擇較大的，這樣為使得電表滿偏時(shí)并聯(lián)部分的阻值更小些，誤差小些。

2 測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差分析

高中物理的另外一個(gè)重要電學(xué)實(shí)驗(yàn)“測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻”，系統(tǒng)誤差的分析也有許多方法：圖象法、計(jì)算法、等效法等。各種方法計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度不一樣，對(duì)于普遍認(rèn)為比較好的圖象法筆者也曾在教學(xué)中多屆使用，但是最后總發(fā)現(xiàn)沒(méi)有幾個(gè)同學(xué)能夠熟練地使用，而在考試中往往比背住答案的同學(xué)的準(zhǔn)確率還要低，因?yàn)橥趫D象法的外推時(shí)出錯(cuò)。下面我們來(lái)對(duì)比一下分別用計(jì)算法與等效法推導(dǎo)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差的解答過(guò)程以及結(jié)論。

（1）先試試常規(guī)的計(jì)算法得出答案

例2：如圖6所示是伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的一種接法，假設(shè)只分析測(cè)量中的系統(tǒng)誤差，試分析這種測(cè)法中電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的測(cè)量值與真實(shí)值的關(guān)系[ 2 ]。

解：用E測(cè)、r測(cè)表示測(cè)量值，E、r表示真實(shí)值，要測(cè)出電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻，至少要有兩次測(cè)量數(shù)據(jù)。用I1、U1、I2、U2分別表示兩次測(cè)量中電流表和電壓表的讀數(shù)，則電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的測(cè)量值由下式求出：

（2）使用等效法分析這種測(cè)量方法的系統(tǒng)誤差

而其中另外一種電流表位置不一樣的伏安法測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)，如圖11所示，也可以將電流表和電源那部分等效成一個(gè)新的等效電源，由于此部分開(kāi)路后電壓為U等=E，內(nèi)阻去源后為兩個(gè)電阻串聯(lián)r等=RA+r，因此E測(cè)= U等=E=E真，r測(cè)=r等=RA+r >r真，這個(gè)方法與結(jié)論同樣可以用到圖12利用電阻箱與電流表測(cè)電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中。

顯然，通過(guò)使用不同方法分析上面兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差的比較，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論是相同，但是不同的方法所需要的計(jì)算完全不同，有的非常繁瑣，需要的計(jì)算量讓人望而生畏，有的卻非常簡(jiǎn)潔，可以口算或心算秒算出來(lái)。其實(shí)，解題方法的簡(jiǎn)潔與否，在很大程度上反映了答題者對(duì)物理原理認(rèn)識(shí)的深刻程度。認(rèn)識(shí)越深刻，選擇的方法也必然越佳，解答也就自然越為簡(jiǎn)潔。對(duì)于半偏法測(cè)電表內(nèi)阻及測(cè)量電源電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻的這兩個(gè)電學(xué)實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差，如果能深刻認(rèn)識(shí)等效電壓源原理，那么基本不用繁瑣計(jì)算便可以輕松得到誤差分析的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]范小輝.高中物理奧賽講座二年級(jí)[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2003.