戴洪德，方 君，唐 亮，王希彬

（1. 海軍航空大學，航空基礎學院，煙臺 264001；2. 海軍駐漢中地區(qū)航空軍事代表室，漢中 723213；3. 91213部隊，煙臺 264007）

一直以來，機動目標跟蹤都是目標跟蹤領域的難點問題[1]。而超高速強機動目標，如美國陸軍與桑迪亞國家實驗室聯合發(fā)展的“先進高超聲速武器”（AHW），期望能夠在 30 min內打擊地球任意目標，平均速度達到近 10 Ma。相對常規(guī)目標，這類高機動目標具有多種運動狀態(tài)，而且各運動狀態(tài)間的切換更復雜、更突然，快速高精度跟蹤的難度也就更大。雖然學者們提出了很多單模型算法并進行了一系列改進，但單一的模型不可能描述高機動目標的所有運動狀態(tài)，當運動狀態(tài)和模型差別較大時，就會導致目標跟蹤濾波器發(fā)散，目標跟蹤失敗[2-3]。

針對以上存在的問題，文獻[4]以廣義偽貝葉斯算法為基礎，提出了交互多模型算法（IMM），較好地解決了單模型算法存在的濾波器發(fā)散等問題。之后學者們對IMM算法進行了深入的研究[5-7]，并將其應用于目標跟蹤領域。近年來，學者們通過對 IMM 算法性能進行分析，提出了基于模型概率更新的改進算法[8-9]。對常規(guī)機動目標而言，這些算法的跟蹤精度均有提高，但并不能實現對超高速強機動目標的精確跟蹤：一是模型集的選擇沒有針對性[10]，1997年Kishore借鑒Singer模型，首次提出了Jerk模型算法[11]，文獻[12]借鑒“當前”統計思想，提出了“當前”統計Jerk模型，在此基礎上學者們提出了一系列改進方法[13-14]，但這些模型還很少被選作 IMM 算法的子模型進行研究；二是 IMM 算法中模型概率與模型匹配度之間仍存在偏差，算法的自適應性不高。

在目標跟蹤中，系統模型一般是在直角坐標系下建立的線性模型，而量測數據通常是由定義在極坐標系里雷達系統觀測得到的，所以量測模型為非線性模型，必須采用非線性濾波算法進行目標狀態(tài)的估計?；诜蔷€性模型線性化的擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）是最早獲得成功應用的非線性濾波算法，但對于非線性較強的系統，常常因為線性化帶來的誤差較大而導致濾波發(fā)散。基于UT變換（Unscented Transformation）的UKF（Unscathed Kalman Filter）是對非線性概率密度進行逼近，相比EKF精度更高，但UKF在模型誤差、干擾、噪聲比較大時，濾波精度和魯棒性不夠。Xia[15]為克服微慣性傳感器的大漂移特性，提出了神經網絡輔助強跟蹤濾波方法，利用強跟蹤濾波實現狀態(tài)預測，利用二階EKF實現測量更新，結合神經網絡技術完成對狀態(tài)預測的修正。王曉旭等[16]結合強跟蹤濾波（Strong Tracking Filter，STF）的思想，由正交性原理，提出了STUKF，文獻[17-18]根據強跟蹤濾波器成立的充分條件，經推導證明得到改進的STUKF。

本文在前人研究的基礎上，針對超高速強機動目標跟蹤問題，提出了一種新的 IMM 跟蹤算法。首先針對目標的強非線性特點，推導了引入多漸消因子的強跟蹤UKF算法；其次合理地選擇模型集，將一種改進的CS-Jerk模型引入到IMM算法；最后對標準IMM算法進行改進，利用各個模型的殘差向量修正模型轉移概率矩陣，避免了由于人為設定馬爾科夫矩陣而影響模型之間的交互與切換。仿真結果表明，與標準IMM算法相比，本文提出的IMM算法通過實時更新模型轉移概率，改進模型概率更新方法，合理地選擇模型集，能夠明顯提高超高速強機動目標的跟蹤精度。

1 基于多重漸消因子的強跟蹤UKF算法

1.1 強跟蹤UKF

設非線性系統的狀態(tài)方程和量測方程為：

當濾波器正常工作時，殘差具有正交性，而當系統狀態(tài)發(fā)生突變時，殘差失去正交性，濾波誤差增大。強跟蹤濾波器（STF）通過引入時變的漸消因子，在線調整濾波器增益矩陣，使輸出殘差近似正交。其核心思想就是在線實時調整增益矩陣以滿足條件：

文獻[17]在對文獻[16]分析之后證明，當按照式(4)在中引入漸消因子若狀態(tài)估計使用未引入漸消因子時的殘差則無法保證式(2)成立，若狀態(tài)估計使用引入漸消因子后的殘差則無法保證式(3)成立，基于此得到改進的STUKF算法。本文考慮高超速強機動目標準確建模困難，而且強機動時量測噪聲增大的特點，提出進一步改進的STUKF，在濾波過程中只對非線性狀態(tài)進行一次采樣，降低了計算量。在計算誤差方差陣時引入多重漸消因子，克服了單一漸消因子忽略不同狀態(tài)之間差異影響濾波精度的局限性。其步驟如下：

2）確定濾波采樣點：

5）計算殘差及引入多重漸消因子的量測協方差和互協方差。文獻[16]和文獻[17]中的強跟蹤UKF算法均采用單一的漸消因子，但超高速強機動目標系統模型不確定性更大，對不同狀態(tài)的影響也不同，采用單一漸消因子難以對每個狀態(tài)都實現高性能跟蹤，多重漸消因子則可以很好地解決這一問題。

與文獻[17]中的強跟蹤UKF算法相比，本文算法引入多重漸消因子克服了單一漸消因子的局限性，而且只需進行一次UT變換，計算量更小。

1.2 多重漸消因子矩陣的計算

文獻[17]中已經推導了單一漸消因子的確定過程，在此基礎上，多重漸消因子矩陣的計算方法如下：

式中：m為觀測向量維數；為根據先驗信息確定的常數，當量測量噪聲變化較大時，較大，否則可均取為1；為根據濾波器性能在線自適應確定的因子，即

2 STUKF-IMM算法

對于一個超高速強機動目標，由于 IMM 算法中模型數是有限的，模型集中所有模型都不能絕對準確描述目標運動，然而合理的模型集中，任一時刻總有一個模型與目標的匹配度最高，所以模型集的選擇必須合理。已有的勻速模型（Constant Velocity，CV）、勻加速模型（Constant Accelerater，CA）、Singer模型、當前統計模型（Current Statistical，CS）以及Jerk模型等均適用于不同的場景，其中，CV、CA適用于目標進行非機動運動的情況，Singer、CS等三維模型能夠精確跟蹤目標的常規(guī)機動，而Jerk模型作為已有的階數最高的模型，其主要價值是跟蹤強機動目標。高速強機動目標在運動過程中，會出現勻速、加速，甚至是加加速等多種運動狀態(tài)，IMM算法所選擇的模型集要盡可能考慮到目標機動的所有情形，尤其是目標高速強機動運動階段，由于目標以很大的加速度甚至是加加速度機動，與之對應的子模型也應該更符合實際情況。

2.1 基于假設檢驗的參數自適應CS-Jerk模型

文獻[12]已經證明，相比Jerk模型，CS-Jerk模型更能有效跟蹤目標的強機動，但是 CS-Jerk模型中，目標的機動頻率、極限機動加加速度必須要預先設定，根據這些值來確定過程噪聲協方差陣，當目標機動頻率和極限加加速度變化時，該模型會產生較大的模型誤差。

本文提出一種參數自適應 CS-Jerk模型，并作為IMM算法的子模型之一。自適應調節(jié)一般都是基于濾波新息的閉環(huán)過程。目標機動反映在濾波結果中是新息向量的變化，而反映在狀態(tài)方程中就是狀態(tài)轉移矩陣和狀態(tài)噪聲協方差陣的變化。改進的模型由新息向量構造活化函數[19]，生成活化因子，實時修正目標的機動頻率和最大、最小機動加加速度以實現狀態(tài)轉移矩陣和狀態(tài)噪聲協方差陣隨目標機動自適應調整。

由文獻[20]可知，n維高斯隨機向量的協方差矩陣的跡是自由度為n的分布。新息向量為其協方差矩陣為當目標不發(fā)生機動時，新息向量為零均值的高斯白噪聲；當目標機動時，新息向量的正交性被改變，不再服從零均值高斯分布。目標跟蹤過程中，根據新息協方差矩陣的跡來判讀目標跟蹤濾波器是否正常，具體步驟為：

1）模型匹配時新息協方差矩陣的跡服從自由度為m的

2）假設檢驗準則為：

4）活化因子的引入函數如下：

這樣就可以得到改進模型中機動頻率的更新式為

同時，機動加加速度方差的更新式為

2.2 STUKF-IMM算法

交互式多模型算法主要包含四個部分：模型交互輸入、濾波計算、模型概率更新、模型輸出融合。將STUKF作為IMM算法中的濾波器，即可得STUKFAIMM算法。

其中：第j個模型的系統方程為系統噪聲均值為零，協方差矩陣為第j個模型的量測方程為量測噪聲的均值為零，協方差矩陣為

交互多模型轉移概率矩陣為

則IMM算法的遞推過程為：

1）多模型狀態(tài)估計融合

2）狀態(tài)更新

3）模型概率更新

對于第j個模型，時刻其最大似然函數如下：

模型j對應的后驗概率為

4）模型融合輸出

3 模型轉移概率的實時修正方法

標準的 IMM 算法假定輸入交互過程為一馬爾科夫過程，模型之間的轉移概率服從：

模型轉移概率決定著輸入交互即模型新一輪初始化的結果，而在標準的交互多模型算法中，轉移概率是根據主觀判斷或先驗信息預先設定的，在整個計算過程中保持不變，且假設各子模型的新息序列均為零均值的高斯白噪聲，這與實際必然存在偏差。當目標發(fā)生機動，運動狀態(tài)出現突變時，由于預先設定的轉移概率與目標實際運動狀態(tài)不匹配，目標狀態(tài)的估計就會產生較大的誤差。因此，需要尋找一種方法，能夠根據目標狀態(tài)的變化，實時調整各模型間相互轉移的概率，以實現對目標的精確跟蹤。

為了解決上面提出的問題，本文引入調整因子，對模型的轉移概率進行實時自適應調整，殘差作為濾波算法中的后驗信息，充分反映了目標當前時刻的狀態(tài)變化。假設IMM算法中有個子模型，時刻個子模型濾波得到的殘差分別為。定義殘差的范數為：

系統由子模型i轉移到子模型的概率為進行更新，即：

4 仿真驗證

選擇CA、CS和本文提出的改進CS-Jerk模型作為IMM算法的模型集（對于低維模型，需要進行增廣處理），目標初始條件設為目標機動頻率的初始值為在CS模型中，x、y方向上的最大、最小加速度分別為在改進 CS-Jerk模型中x、y方向上最大、最小加加速度初始值分別為

采用UKF濾波算法進行蒙特卡羅仿真，仿真次數為100。用目標狀態(tài)估計值的均方根誤差（RMSE）和均值誤差（ME）為性能指標來衡量本文提出算法的性能。狀態(tài)估計值的均方根誤差定義為：

在相同基本條件下，共進行三組仿真實驗，分別驗證模型集的選擇、本文提出的強跟蹤UKF算法以及模型概率實時修正方法對IMM算法跟蹤性能的提高作用。

仿真1：以CA、CS模型為基礎，分別與Jerk、CS-Jerk、本文提出的改進 CS-Jerk模型組成 IMM 模型集，并采用文獻[16]中的STUKF進行濾波，對比三種 IMM 算法對目標的跟蹤精度。取模型初始概率為馬爾科夫模型轉移概率矩陣為進行100次Monte Carlo仿真，目標的跟蹤軌跡如圖1所示，x方向上目標位置和速度估計值的均方根誤差曲線如圖2和圖3所示，y方向上目標位置和速度估計值的均方根誤差曲線如圖4和圖5所示。

分析圖2、圖3可以發(fā)現，引入Jerk模型的IMM算法，其位置、速度均方根誤差最大值分別超過400 m和600 m/s；而基于本文提出的改進CS-Jerk模型以及引入CS-Jerk模型的IMM算法目標位置、速度的均方根誤差均顯著減小，顯然本文算法的誤差最小。圖4、圖5表明，在y方向上目標不發(fā)生機動時，三種算法的精度相當，但基于改進CS-Jerk模型的IMM算法對目標位置和速度的跟蹤精度仍然更高。

圖1 估計軌跡與真實軌跡Fig.1 The estimated trajectory and the real trajectory

圖2 仿真1：x方向位置均方根誤差Fig.2 Simulation 1: the mean square root error of position x

圖3 仿真1：x方向速度均方根誤差Fig.3 Simulation 1：the mean square root error of velocity x

圖4 仿真1：y方向位置均方根誤差Fig.4 Simulation 1: the mean square root error of position y

圖5 仿真1：y方向速度均方根誤差Fig.5 Simulation 1: the mean square root error of velocity y

仿真2：以本文提出的改進CS-Jerk模型與CA、CS模型組成模型集，對比本文設計的多重漸消因子強跟蹤UKF與文獻[16]中單一漸消因子強跟蹤UKF的濾波性能。經過100次Monte Carlo仿真，x、y方向位置和速度的誤差見圖6～9。結果表明與已有的STUKF算法相比，采用改進的STUKF進行濾波計算時，x方向上目標狀態(tài)估計誤差相當，y方向上目標狀態(tài)估計精度明顯提高，故本文的濾波算法更好地解決了強非線性濾波問題。

圖6 仿真2：x方向位置均方根誤差Fig.6 Simulation 2: the mean square root error of position x

圖7 仿真2：x方向速度均方根誤差Fig.7 Simulation 2: the mean square root error of velocity x

圖8 仿真2：y方向位置均方根誤差Fig.8 Simulation 2: the mean square root error of position y

圖9 仿真2：y方向速度均方根誤差Fig.9 Simulation 2: the mean square root error of velocity y

仿真3：選擇改進CS-Jerk模型與CA、CS模型組成模型集，應用于本文提出的自適應 IMM-STF-UKF算法中。對比模型概率和模型轉移概率矩陣取不同的初始值時，自適應IMM算法與標準IMM算法跟蹤性能。假設有初始條件：

真，表1、表2分別為三種初始條件下x、y方向上狀態(tài)估計值的均值誤差。

表1、表2的仿真結果表明，在仿真1和仿真2的基礎上，若采用標準的 IMM 結構，當初始條件為條件2時，目標的跟蹤精度最高；而采用自適應IMM結構時，在三種初始條件下，x方向上目標位置估計值的平均誤差分別減小了 22.9%、12.05%和 12.33%，速度估計值誤差分別減小19.34%、11.89%、14.54%；y方向上目標位置跟蹤的平均誤差分別減小了20.99%、16.61%和27.74%，速度跟蹤平均誤差分別減小42.52%、35.74%、47.91%。

表1 仿真3：x方向上目標狀態(tài)估計值的平均誤差Tab.1 Simulation 3: the mean error about state of target in x

表2 仿真3：y方向上目標狀態(tài)估計值的平均誤差Tab.2 Simulation 3: the mean error about state of target in y

相比標準的IMM算法，自適應IMM算法的跟蹤精度明顯提高，且在不同的初始條件下目標狀態(tài)估計值的平均誤差相當，減小了預設馬爾科夫矩陣對算法跟蹤性能的影響。

5 結 論

針對超高速強機動目標的機動具有突發(fā)性、強度高、變化復雜，使得跟蹤精度降低甚至失敗的問題，本文提出了一種基于UKF的自適應交互多模型算法。該算法首先在分析已有強跟蹤UKF算法后，提出了新的強跟蹤UKF濾波；然后通過分析新息的統計學特性，找到一種改進 CS-Jerk模型的方法；之后針對標準IMM 算法的缺陷，給出模型轉移概率矩陣自適應的IMM結構，并實現了改進CS-Jerk模型與自適應IMM結構的有機結合。改進 CS-Jerk模型能夠實現對目標強機動階段更準確地建模，而自適應 IMM 結構克服了標準 IMM 算法馬爾科夫矩陣預設不準確，且先驗確定難度大的問題，這兩者的結合為研究超高速強機動目標的跟蹤提供了一種新思路。計算機仿真表明，所提出的算法顯著提高了高超聲速強機動目標的跟蹤精度，具有重要的工程應用價值。