付 偉，王 靜，潘曉中，劉亞州

(1.武警工程大學(xué) 密碼工程學(xué)院，西安 710086； 2.西安高科技研究所 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，西安 710086)(*通信作者電子郵箱davidfuw@163.com)

0 引言

謠言，是指在社會中出現(xiàn)并流傳的未經(jīng)官方公開證實或已被官方所辟謠的信息[1-2]?；ヂ?lián)網(wǎng)的快速發(fā)展為言論自由提供了良好的條件，同時也成為謠言產(chǎn)生和傳播的重要媒介。與曾經(jīng)口口相傳的傳統(tǒng)方式相比，互聯(lián)網(wǎng)上的謠言具有更大的影響力，極易煽動群眾引發(fā)群體性行為，危害社會穩(wěn)定。為了更好地應(yīng)對謠言擴(kuò)散事件，降低謠言危害，研究新環(huán)境、新條件下的謠言傳播機(jī)制依然是十分重要的課題。

從20世紀(jì)60年代起，科學(xué)家開始對謠言傳播規(guī)律進(jìn)行了研究?；诋?dāng)時的科學(xué)技術(shù)，研究者發(fā)現(xiàn)謠言傳播與流行病的傳播存在諸多相似點，因此大量基于流行病傳播模型的謠言傳播模型紛紛建立。其中，Daley等[3-4]通過對謠言和流行病的傳播機(jī)制進(jìn)行分析研究，得到謠言傳播不存在傳播臨界值，而流行病傳播存在臨界值，并且提出了封閉同質(zhì)混合人群中的DK(Daley-Kendal)謠言傳播模型。Maki和Thompson提出了MK(Maki-Thompson)模型[5]，認(rèn)為傳播者與傳播者接觸時只有初始傳播者會轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒摺K模型和MK模型為人們認(rèn)識謠言傳播規(guī)律提供了有效的理論指導(dǎo)。

隨著WS(Watts-Strogatz)小世界網(wǎng)絡(luò)模型[6]和BA(Barabási-Albert)無標(biāo)度模型[7]的提出，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[8]得到了迅猛的發(fā)展，為研究網(wǎng)絡(luò)傳播動力學(xué)提供了理論基礎(chǔ)，從此謠言傳播研究進(jìn)入到另一個新的階段。2002年Zanette[9]利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究謠言傳播，建立了基于小世界網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播模型，證實均勻網(wǎng)絡(luò)中存在傳播臨界值。隨后，Moreno等[10-11]規(guī)范了謠言傳播中的節(jié)點分類，并且研究了同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)和異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)下的謠言傳播特性，指出在均勻網(wǎng)絡(luò)下謠言傳播不存在臨界值。Zanette[9]和Moreno等[10-11]的研究成果奠定了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上謠言傳播機(jī)制研究的基礎(chǔ)，從最新的研究成果來看，眾多的研究者依然遵循著這一研究方向。

Wang等[12]構(gòu)建了一種新的SIR(Susceptible-Infective-Removal)模型，發(fā)現(xiàn)在延遲時間的影響下，節(jié)點識別力的存在略微降低了謠言傳播程度，延遲時間越長，免疫策略的免疫效果越差。Jia等[13]重建了隨機(jī)謠言傳播模型，分析了謠言滅絕和持續(xù)的充分條件，獲得了謠言持續(xù)存在與謠言滅絕之間的界限條件。Huo等[14]指出網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點按照一定的概率在高活躍狀態(tài)和低活躍狀態(tài)之間轉(zhuǎn)動，引入了一個動態(tài)傳播模型，利用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則得到了局部漸近穩(wěn)定的平衡點。He等[15]基于異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的流行病模型，描述了MSN(Microsoft Service Network)中的謠言傳播過程，提出實時優(yōu)化和周期性地傳播真相兩種策略來抑制謠言傳播。Liu等[16]考慮到暴露的節(jié)點可能以一定的概率成為被刪除的節(jié)點，提出了一種新的SEIR(Susceptible-Exposed-Infective-Removal)謠言傳播模型，并得到了謠言傳播的閾值。Wang等[17]研究了兩個媒介對謠言傳播的影響，計算模型的均衡值，發(fā)現(xiàn)兩種媒介之間的無知者的轉(zhuǎn)化率直接影響著傳播者的規(guī)模，不同的媒介對傳播的動態(tài)行為有顯著的影響。Wang等[18]研究了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點識別能力差異對謠言傳播的影響，發(fā)現(xiàn)節(jié)點識別能力的差異延長了謠言傳播到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間，并減少了最終接受謠言的節(jié)點數(shù)量。

上述研究成果大都針對某一具體問題進(jìn)行建模、論證，極大地豐富了謠言傳播理論，為預(yù)測謠言提供了決策依據(jù)。值得注意的是，這些研究幾乎都將系統(tǒng)視為一個穩(wěn)定封閉的狀態(tài)，將各類節(jié)點密度總和視為定值，并沒有考慮傳播過程中節(jié)點移出系統(tǒng)的情況。在現(xiàn)實傳播過程中，謠言感染者在轉(zhuǎn)變?yōu)橹{言免疫者時，部分感染者可能會因傳播謠言導(dǎo)致自身利益受損，選擇離開整個系統(tǒng)。此時系統(tǒng)節(jié)點總數(shù)減少，雖然每一個時刻系統(tǒng)滿足平衡條件，但是系統(tǒng)在不斷地自我更新，為了研究非封閉系統(tǒng)中的謠言傳播機(jī)制，本文結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本原理，提出動態(tài)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的SIR謠言傳播模型。

1 謠言傳播模型的建立

在經(jīng)典SIR謠言傳播模型中，網(wǎng)絡(luò)中的公眾狀態(tài)分為三類：易感染者、感染者、免疫者。其中易感染者是指與謠言內(nèi)容有一定聯(lián)系且對謠言尚未知曉的公眾；感染者是指認(rèn)同謠言內(nèi)容并傳播謠言的公眾；免疫者是指知曉謠言真相并不傳播謠言的公眾。SIR模型中s(t)、i(t)、r(t)分別表示三類節(jié)點t時刻在系統(tǒng)中的節(jié)點密度，并且滿足s(t)+i(t)+r(t)=1，此模型較好地刻畫了有限穩(wěn)定狀態(tài)下節(jié)點轉(zhuǎn)換關(guān)系，進(jìn)而分析得到謠言傳播的一般機(jī)制。本文基于此模型的思想，考慮到存在節(jié)點移出系統(tǒng)的情況，系統(tǒng)由封閉狀態(tài)變?yōu)榉欠忾]狀態(tài)，提出動態(tài)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的SIR謠言傳播模型。為了不失一般性，本文將這類節(jié)點定義為移出者，即系統(tǒng)中部分節(jié)點知曉謠言真相并且直接離開系統(tǒng)?；诖藙澐忠?guī)則，建立謠言傳播模型如圖1所示。

圖1 動態(tài)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)SIR謠言傳播模型

為了更好地研究謠言傳播機(jī)制，本文考慮到現(xiàn)實生活中謠言傳播存在的因果和接觸兩個特點，該模型提出以下3條假設(shè)以便進(jìn)行數(shù)理分析和實驗仿真。

1)如果易感染者與謠言傳播者接觸，則易感染者以α的概率成為謠言傳播者，α稱為謠言的感染率，其中0≤α≤1。從現(xiàn)實層面來看，一個謠言易感染者與一個謠言傳播者接觸后，該易感染者可能受謠言感染者影響，變?yōu)橹{言感染者或者保持原先的易感染狀態(tài)，所以模型以α刻畫這種狀態(tài)轉(zhuǎn)變的可能性。

2)如果謠言感染者與另一個謠言感染者或者謠言免疫者接觸，其自身將以概率β轉(zhuǎn)變?yōu)橹{言免疫者，β稱為謠言的免疫率，其中0≤β≤1。從現(xiàn)實層面講，一個感染者與另一個感染者或者免疫者接觸，可能會產(chǎn)生“真相大白”的情況，其自身變?yōu)槊庖哒呋蛘弑３指腥緺顟B(tài)。

3)當(dāng)發(fā)生2)中“真相大白”的情況后，在感染者轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒叩倪^程中，部分傳播者以概率1-μ離開系統(tǒng)，μ稱為謠言感染者的真實免疫系數(shù)，其中0≤μ≤1。從現(xiàn)實層面講，在“真相大白”后，部分感染者可能會因遭受重大損失而難以接受事實真相，選擇直接離開系統(tǒng)。

該模型以s(t)、i(t)、r(t)分別表示謠言易感染者、謠言感染者及謠言免疫者t時刻在系統(tǒng)中的節(jié)點密度，N(t)表示t時刻系統(tǒng)節(jié)點相較于初始狀態(tài)的實時密度值，移出者離開系統(tǒng)不作表示。

根據(jù)上文假設(shè)和傳播規(guī)則，建立謠言傳播模型平均場方程如下：

s′(t)=-α〈k〉s(t)i(t)

(1)

i′(t)=α〈k〉s(t)i(t)-β〈k〉i(t)[i(t)+r(t)]

(2)

r′(t)=μβ〈k〉i(t)[i(t)+r(t)]

(3)

N′(t)=-(1-μ)β〈k〉i(t)[i(t)+r(t)]

(4)

其中〈k〉為網(wǎng)絡(luò)的平均度。上述平均場方程刻畫了系統(tǒng)中各類節(jié)點密度變化的相互依賴關(guān)系。從整體看，方程組滿足s′(t)+i′(t)+r′(t)=N′(t)，系統(tǒng)處于動態(tài)平衡狀態(tài)；從微觀看，式(4)表明系統(tǒng)總節(jié)點數(shù)不斷減少。

2 謠言傳播過程的穩(wěn)態(tài)分析

為了研究動態(tài)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)下的謠言傳播機(jī)制，本章對傳播動力學(xué)方程進(jìn)行分析，構(gòu)造了臨界函數(shù)H(t)，求解得到各類節(jié)點的穩(wěn)定狀態(tài)值s(∞)和r(∞)，并得到感染峰值Imax，研究謠言傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)的條件。

2.1 臨界函數(shù)

觀察式(1)可知，s′(t)≤0，所以s(t)將不斷減小，即易感染節(jié)點密度不斷減小。同理，由式(2)可得，若N(t)/s(t)<α/β+1，則i′(t)>0,i(t)將不斷增大，感染節(jié)點密度不斷增大；若N(t)/s(t)>α/β+1，則i′(t)<0，i(t)將不斷減小，感染節(jié)點數(shù)量不斷減少。

為了便于下文討論，構(gòu)造謠言感染臨界函數(shù)：

H(t)=N(t)/s(t)

(5)

易知H(0)=N(0)/s(0)，則當(dāng)H(t)>α/β+1時，即i′(t)<0，此條件下謠言不會擴(kuò)散；當(dāng)H(t)<α/β+1時，即i′(t)>0，此條件下謠言會擴(kuò)散。

2.2 穩(wěn)態(tài)分析

在謠言傳播過程中，隨著時間的推移，謠言的感染節(jié)點數(shù)量最終降低為0，易感染節(jié)點數(shù)量和免疫節(jié)點數(shù)量達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)不再變化。至此，謠言停止傳播。

由式(1)、(2)、(3)、(4)得：

s(t)+i(t)+r(t)=N(t)

(6)

(7)

(8)

進(jìn)一步可以得到：

(9)

令λ=β(1-μ)/α，化簡得：

N′(t)s(t)-λs′(t)N(t)+λs′(t)s(t)=0

(10)

求解得N(t)與s(t)滿足：

(11)

(12)

由式(6)、(12)可得：

(13)

聯(lián)立式(11)、(12)、(13)，可以得到：

(14)

(15)

假設(shè)s(0)≈1，N(0)=1，由于i(∞)=0，結(jié)合式(11)、(14)、(15)，得到穩(wěn)態(tài)值s(∞)，r(∞)分別滿足：

sλ(∞)-(1+μλ-μ)s(∞)+μ(λ-1)=0

(16)

(17)

式(16)、(17)表明，謠言傳播穩(wěn)定狀態(tài)依賴于μ、λ，在現(xiàn)實的謠言預(yù)測中，只需合理的估計謠言感染概率α、免疫概率β、真實免疫系數(shù)μ即可得到謠言傳播過程的最終狀態(tài)值，可為決策部門提供有效的參考。

2.3 謠言感染峰值

謠言感染峰值表示謠言傳播過程中傳播者數(shù)量的最大值，反映謠言在一次傳播過程中的最大影響力，是分析謠言傳播機(jī)制的重要指標(biāo)。

由式(5)、(11)得：

(18)

假設(shè)s(0)≈1，N(0)=1，對式(18)求導(dǎo)可得：

H′(t)=-sλ-2(t)s′(t)≥0

所以H(0)

由上述假設(shè)可得H(0)≈1<α/β+1，則存在時刻th使得H(th)=α/β+1，當(dāng)00，i(t)將不斷增大；當(dāng)t>th，H(th)≥α/β+1，i′(t)<0，i(t)將不斷減小。i(t)先增后減，在th處取得最大值Imax，將Imax定義為謠言感染峰值。

在時刻th有H(th)=α/β+1，即：

(19)

(20)

為了得到感染峰值Imax，將s(th)代入式(15)中，可得th時刻感染節(jié)點密度：

(21)

由式(21)可知，感染峰值Imax依賴于α、β和μ，與平均度〈k〉無關(guān)。

3 數(shù)值仿真及分析

本實驗是在Intel Core i5 2.6 GHz的主頻，8 GB的內(nèi)存，macOS的操作系統(tǒng)環(huán)境下，采用mathematica平臺仿真。為了最大限度地模擬現(xiàn)實人群規(guī)模，仿真初始設(shè)為10 000，考慮到初始感染節(jié)點較少，假設(shè)s(0)=0.99，i(0)=0.01，r(0)=0，N(0)=1。為了不失一般性，盡可能地提高實驗結(jié)果的適用范圍，考慮到個體對謠言接受程度的差異性，本文設(shè)定不同的參數(shù)值。當(dāng)i(t)=0時，謠言傳播達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。

3.1 考慮節(jié)點移出的SIR模型中各類節(jié)點密度隨時間變化

設(shè)模型中參數(shù):α=0.4,β=0.6,μ=0.8,〈k〉=4.5，研究易感染節(jié)點、感染節(jié)點及免疫節(jié)點三類節(jié)點的密度隨時間的變化情況。由圖2可得，易感染節(jié)點密度s(t)在傳播過程的初始階段迅速下降，達(dá)到穩(wěn)態(tài)s(∞)后不再變化，說明謠言在網(wǎng)絡(luò)中傳播較快且主要發(fā)生在前期。感染節(jié)點密度i(t)在傳播開始后迅速達(dá)到感染峰值Imax，隨后迅速降低為0。在傳播過程的起始階段，存在少量感染節(jié)點，易感染節(jié)點與之接觸后以一定的概率轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥竟?jié)點，i(t)增大。到達(dá)頂點后，易感染節(jié)點減少，免疫節(jié)點增多，感染節(jié)點減少。免疫節(jié)點密度r(t)在謠言傳播開始后經(jīng)過一段平緩期后迅速上升至穩(wěn)定狀態(tài)r(∞)。在謠言傳播過程中，初期階段免疫節(jié)點主要由感染節(jié)點相互接觸轉(zhuǎn)變而來，因此前期免疫節(jié)點較少。隨著感染節(jié)點的增多，免疫節(jié)點迅速增多。當(dāng)感染節(jié)點密度i(t)降為0時到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。由于存在節(jié)點移出系統(tǒng)，所以相較于原始系統(tǒng)，節(jié)點密度n(t)出現(xiàn)了降低，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后不再改變。

圖2 各類節(jié)點密度隨時間的變化

3.2 節(jié)點移出的SIR模型與SIR模型中各類節(jié)點密度對比

設(shè)模型中參數(shù):α=0.2,β=0.3,μ=0.3,〈k〉=4.5，分別對兩種模型中易感染節(jié)點、感染節(jié)點及免疫節(jié)點三類節(jié)點的密度隨時間的變化情況作了對比研究。

由圖3(a)可得，易感染節(jié)點數(shù)量在兩種模型下先減小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)s(∞)后不再變化。區(qū)別在于，在經(jīng)過一段時間的同步后，考慮節(jié)點移出的SIR模型中易感染節(jié)點數(shù)量s1(t)下降幅度較SIR模型中的易感染節(jié)點數(shù)量s2(t)下降幅度大。

由圖3(b)可得，感染節(jié)點數(shù)量在兩種模型下均是先增加，達(dá)到峰值后迅速下降，最終為0。在傳播過程前期，兩種模型下的感染節(jié)點變化趨勢經(jīng)歷了一段時間的同步。不同之處在于，考慮節(jié)點移出的SIR模型的峰值比SIR模型的峰值大，到達(dá)峰值的時間比SIR模型達(dá)到峰值的時間稍有推遲。

由圖3(c)可得，免疫節(jié)點數(shù)量在兩種模型下均是先經(jīng)歷一段時間的“平靜期”，而后迅速增大，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)r(∞)不再變化。區(qū)別在于，相較于SIR模型中免疫節(jié)點的變化，在經(jīng)歷了“平靜期”后，考慮節(jié)點移出的SIR模型免疫節(jié)點數(shù)量增幅較小，增較小，穩(wěn)態(tài)值較小。在謠言傳播過程中，感染節(jié)點移出對免疫節(jié)點變化具有較大的影響。

通過對比分析可以得到，在謠言的傳播過程中，由于部分傳謠的人利益受到損失而選擇直接離開整個網(wǎng)絡(luò)，相較于原始網(wǎng)絡(luò)，易感染節(jié)點密度出現(xiàn)一定幅度的下降，免疫節(jié)點密度下降幅度較大，感染節(jié)點密度出現(xiàn)一定的增大。盡管出現(xiàn)了這些差別，但是兩種模型前各類節(jié)點變化趨勢大致相同。

3.3 感染率、免疫率及真實免疫系數(shù)對謠言傳播閾值的影響

3.3.1 感染概率對謠言傳播過程的影響

設(shè)模型中參數(shù)分別為:β=0.4,μ=0.3,〈k〉=4.5，在各類謠言中，感染率高的謠言意味著更能吸引公眾的關(guān)注，更容易傳播。圖4分別表示為不同感染概率下易感染節(jié)點、感染節(jié)點以及免疫節(jié)點的密度隨時間變化關(guān)系圖。由圖4(a)可得，隨著感染概率的增大，感染過程的速度變化得更快，感染峰值Imax更大，到達(dá)峰值Imax的時間也越早。圖4(b)表示感染密度對易感染節(jié)點密度的影響。由圖可知，隨著感染概率的增大，易感染節(jié)點密度下降越快，穩(wěn)態(tài)定狀態(tài)值s(∞)越小。由圖4(c)可得，隨著感染概率的增大，免疫節(jié)點密度增大越快，穩(wěn)態(tài)值越大，到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間相對提前。

圖3 三種類型的節(jié)點密度隨時間的變化對比

圖4 感染概率對節(jié)點密度的影響

3.3.2 免疫概率對謠言傳播過程的影響

設(shè)模型中參數(shù)分別為:α=0.3,μ=0.6,〈k〉=4.5，圖5分別表示為不同免疫概率下感染節(jié)點、易感染節(jié)點以及免疫節(jié)點的密度隨時間變化關(guān)系。從整體上看，雖然免疫概率不同，但三種節(jié)點的密度變化曲線在前期出現(xiàn)重合，表明免疫概率對謠言傳播過程的前期幾乎沒有影響。隨著傳播過程的發(fā)展，免疫概率對傳播過程的影響逐漸凸顯。具體表現(xiàn)是，免疫概率越大，感染峰值越小，到達(dá)峰值的時間相同，節(jié)點密度下降得越快；免疫概率越大，易感染節(jié)點密度下降得越慢，穩(wěn)態(tài)值越大；免疫概率越大，免疫節(jié)點密度上升越快，穩(wěn)態(tài)值越小。

3.3.3 真實免疫系數(shù)對謠言傳播過程的影響

在謠言傳播過程中，由于利益的損失，感染者轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒叩倪^程中，部分感染者以概率1-μ離開系統(tǒng)。為了研究這種因素對謠言傳播的影響，設(shè)模型中參數(shù)為:α=0.3,β=0.3,〈k〉=4.5。圖6分別表示不同真實免疫系數(shù)下易感染節(jié)點、感染節(jié)點以及免疫節(jié)點的密度隨時間變化的關(guān)系。從整體上看，三幅圖像中的曲線在前期均有一段重合，當(dāng)達(dá)到感染峰值后出現(xiàn)輕微區(qū)別，對易感染節(jié)點的穩(wěn)態(tài)影響不大，對免疫節(jié)點的穩(wěn)態(tài)影響較大且影響程度較為均勻，真實免疫系數(shù)越大，免疫節(jié)點穩(wěn)態(tài)值越大。

3.4 網(wǎng)絡(luò)平均度對謠言傳播過程的影響

網(wǎng)絡(luò)平均度是社交網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要特征參數(shù)，它表示網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點與周圍節(jié)點的平均連接數(shù)目。為了研究一般性規(guī)律，不針對具體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過抽象出節(jié)點平均度，研究節(jié)點移出的SIR模型中網(wǎng)絡(luò)平均度對謠言傳播過程的影響。設(shè)模型中參數(shù)分別為:α=0.3,β=0.4,μ=0.3，將平均度〈k〉分別設(shè)置為3、5和7，進(jìn)行仿真計算如圖7所示。

圖7表示不同網(wǎng)絡(luò)平均度下的各類節(jié)點密度隨時間變化的關(guān)系圖。由圖7(a)可得，網(wǎng)絡(luò)平均度越大，易感染節(jié)點密度下降得越快，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)越早，穩(wěn)態(tài)值一致；由圖7(b)可得，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點平均度越大，感染節(jié)點密度增加得越快，到達(dá)峰值的時間越早，下降得也越快；由圖7(c)可知，平均度也越大，免疫節(jié)點密度上升越快，到達(dá)穩(wěn)態(tài)時間越早，穩(wěn)態(tài)值一致。仿真結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)平均度對謠言的傳播過程具有重要影響，但沒有改變穩(wěn)定狀態(tài)值。

圖5 免疫概率對節(jié)點密度的影響

圖6 真實免疫系數(shù)對節(jié)點密度的影響

圖7 網(wǎng)絡(luò)平均度對節(jié)點密度的影響

4 結(jié)語

本文針對節(jié)點移出網(wǎng)絡(luò)的情況，提出動態(tài)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的SIR謠言傳播模型，解決了系統(tǒng)動態(tài)變化中的謠言傳播問題，拓展了SIR謠言傳播模型的應(yīng)用范圍。研究表明，動態(tài)同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的SIR謠言傳播模型存在理論上的感染峰值和傳播穩(wěn)態(tài)，參數(shù)對謠言傳播過程的影響各有側(cè)重?？紤]到移出節(jié)點的度不同，動態(tài)非均勻網(wǎng)絡(luò)上的SIR謠言傳播模型是否依然存在感染峰值和穩(wěn)態(tài)是一個研究難題。