陳 震， 魏文杰， 余 嶺， 邵文達

(1. 華北水利水電大學土木與交通學院 鄭州，450045) (2. 暨南大學重大工程災害與控制教育部重點實驗室 廣州，510632)

引 言

橋梁是鐵路、公路等跨越江河、峽谷的重要連接，也是道路交通的咽喉。橋梁的安全性和可靠性對社會經(jīng)濟的發(fā)展有深遠影響。隨著我國經(jīng)濟建設的迅猛發(fā)展，車流量急劇增大，橋梁結構在使用過程中深受移動荷載侵擾，且高速、超載的車輛移動荷載對其破壞嚴重，嚴重影響橋梁的安全性能。在橋梁工程中，移動荷載識別與健康監(jiān)測、橋梁振動及受損橋梁的工作性能研究[1]等密切相關。

移動荷載識別問題的研究最早始于19世紀初期，此后許多學者開始關注并提出了多種識別方法。Luo等[2]提出了采用TDM識別橋梁移動荷載，并對結構動力學逆問題采用SVD求解。卜建清等[3]比較了板梁橋振動響應求解方法。王蕾等[4]采用擬合函數(shù)逼近法識別移動荷載。Xu等[5]應用虛功原理提出了擬合動態(tài)荷載的移動最小二乘法。Qiao等[6]基于三次B樣條擴展函數(shù)提出了精確度高且能克服不適定問題的移動荷載識別方法。Chen等[7]采用計算機視覺技術模擬橋面荷載的時空分布。Talukdar等[8]采用粒子濾波法識別車輛荷載參數(shù)。

雖然TDM采用SVD分解進行降噪處理，是一種較為有效的移動荷載識別方法，但仍存在識別精度較低、抗噪性差和采用彎矩響應識別結果不可接受等缺點。陳震等[9]在TDM的基礎上提出截斷廣義奇異值分解法，對移動荷載識別精度有一定程度的提高。筆者提出的PPTSVD是一種以TSVD為基礎的正則化方法。數(shù)值仿真結果表明，與TDM和TSVD相比，基于PPTSVD識別橋梁移動荷載的識別精度更高、識別結果受響應類型及響應組合影響更小，具有良好的魯棒性，更適用于橋梁移動荷載的現(xiàn)場識別。

1 基本理論

1.1 移動荷載識別理論

以簡化歐拉梁模型為例，假定橋梁全長為L，單位長度質量為ρ，取橋梁阻尼為黏性阻尼C，抗彎剛度為EI。如圖1所示，車輛模型簡化為移動荷載，車輛重量為P，車速為c，車輛從梁左端向右端勻速行駛，車橋模型模態(tài)坐標方程可表示為

(n=1,2,,∞)

(1)

圖1 簡化車橋模型Fig.1 Simplified model of vehicle and bridge

1.2 時域法

基于TDM基本理論，通過對式(1)在時域卷積積分，得到車輛荷載作用下梁上x處t時刻的變形為

(2)

梁上x處t時刻的彎矩為

(3)

將ν求二階導數(shù)，梁上x處t時刻的加速度為

(4)

其中

(5)

當測得車輛荷載作用下橋梁的彎矩響應和加速度響應后，TDM移動荷載識別理論最終可轉化為系統(tǒng)方程求解問題。

Ax=b

(6)

其中：A為車橋模型系統(tǒng)矩陣；b為測得的橋梁響應；x為待識別的橋梁移動荷載。

1.3 分段多項式截斷奇異值分解

PPTSVD算法是以TSVD為基礎的正則化方法，文獻[10]指出，PPTSVD正則化方法在信號處理方面較傳統(tǒng)的基于SVD的正則化方法能夠取得更好的效果。

1.3.1 奇異值分解

m行n列的車橋系統(tǒng)矩陣A可由SVD表示為

(7)

其中：U和V均為方陣且滿足UTU=VTV=In；Σ為對角元素是σi的對角矩陣，即Σ=diagσ1,σ2,,σn；σ1≥σ2≥σ3≥≥σn≥0為A的奇異值。

在信號識別過程中，可通過調整Σ濾除無關信號和部分噪聲。

1.3.2 截斷奇異值分解

TSVD方法通過截斷噪聲引起的小奇異值，保留包含真實信號信息的大奇異值來降低噪聲對識別結果的影響。用截斷后的矩陣Ak代替原有系數(shù)矩陣A

(8)

TSVD的解xk為

(9)

TSVD在截斷由噪聲引起的小奇異值的同時會丟棄部分有效信號。如能在濾除噪聲信號的同時保留有效信號，并將有效信號疊加到原TSVD解中，求解結果將更理想。PPTSVD方法正是基于這一思路，在TSVD截斷信號中提取有效信號，進而提高移動荷載識別精度。

1.3.3 分段多項式截斷奇異值分解

(10)

其中：LP為離散近似微分算子；p通常取值為1和2，其對應的L1和L2可表示為

(11)

(12)

PPTSVD方法可由TSVD改進得到，PPTSVD的解由TSVD的解xk和一個由截斷信號中提取的修正參數(shù)-Vn-kωk組成，其中：Vn-k=(vk+1,vk+2，,vn)為截斷信號構成的矩陣，其為矩陣V的子矩陣；ωk可由求解如下最小線性二乘問題得到

(13)

(14)

移動荷載識別數(shù)值模擬結果表明，采用近似微分算子L1的識別精度較采用近似微分算子L2有明顯提高，故有關PPTSVD移動荷載識別數(shù)值模擬均采用近似微分算子L1。圖2為PPTSVD方法流程圖。

圖2 PPTSVD流程圖Fig.2 Flow diagram of PPTSVD

2 仿真算例

車輛模型參數(shù)如下：車輛前后軸間距l(xiāng)s=8 m，行駛速度c=40 m/s。橋梁模型參數(shù)如下：梁長L=40 m；單位長密度ρ=12 000 kg/m；抗彎剛度EI=1.28×1011N·m2；前3階固有頻率f1=3.2 Hz，f2=12.8 Hz，f3=28.8 Hz。測量響應數(shù)據(jù)時采樣頻率取200 Hz，分析頻段取0～40 Hz。橋面行駛車輛的前軸和后軸荷載分別為

f1t=20[1+0.1sin1/4cπt+0.05×

sincπt]kN

f2t=20[1-0.1sin1/4cπt+0.05×

sin5/4cπt]kN

為模擬現(xiàn)場測量響應信號時噪聲干擾，取包含噪聲的橋梁響應為

Mmeasured=Mcalculated1+EPNoise

(15)

其中：EP(0≤EP≤1)為噪聲水平，分別取其為1%，5%和10%；Noise為隨機噪聲且滿足標準正態(tài)分布。

由測量響應識別橋梁移動荷載的相對誤差為

(16)

表1為12種組合工況下TDM，TSVD和PPTSVD在3種噪聲水平下的識別誤差。表2為對應表1中TSVD與PPTSVD識別結果所選取的最優(yōu)截斷點k值。表中1/4，1/2和3/4分別表示測點所在橋梁位置為1/4橋跨、1/2橋跨和3/4橋跨；m為測量彎矩響應；a為測量加速度響應；*表示識別誤差超出最大上限值100%。由車橋系統(tǒng)矩陣A列數(shù)為396可知，截斷點k的取值范圍為1≤k≤n。當截斷點取396時，此時沒有對奇異值進行截斷，TSVD方法退化為SVD方法，其識別結果與SVD一致。由表2可知，當響應組合為1/4a&1/2a&3/4a時，截斷點取最大值396，此時表1中TDM和TSVD兩種方法的識別誤差相同。

由表1可知，3種識別方法的識別誤差均隨著測量噪聲增大而增大，當噪聲水平達到10%時，TDM對應的12種工況中有11種工況識別誤差均超過100%，識別結果不能接受。TSVD在12種識別工況中識別結果均能接受，其中有10種工況識別誤差低于30%，抗噪性能較TDM提高明顯，這表明通過截斷噪聲信號提高移動荷載識別精度和抗噪性能是可行的。PPTSVD對應12種工況識別誤差均低于15%，且其中10種工況識別誤差低于10%，其抗噪性能較TSVD有較大提高，這說明通過提取截斷噪聲中的有效信號并將其作為修正解疊加到TSVD的解中是有效的。通過對TDM默認的SVD方法進行噪聲截斷并用分段多項式逼近真實解對提高橋梁移動荷載識別精度和抗噪性能具有良好的適用性。

表1TDM，TSVD與PPTSVD識別結果RPE值比較

Tab.1ComparisononRPEvaluesidentifiedbyTDM,TSVDandPPTSVD

響應組合識別方法1%噪聲5%噪聲10%噪聲前軸后軸前軸后軸前軸后軸1/4m&1/2mTDM93.5*****TSVD27.424.034.831.637.437.3PPTSVD6.76.38.38.59.010.51/4m&1/2m&3/4mTDM50.8*****TSVD18.819.926.527.231.532.8PPTSVD4.54.87.98.98.48.91/4a&1/2aTDM19.229.796.1***TSVD7.02.812.85.419.610.0PPTSVD1.71.04.44.27.96.01/4a&1/2a&3/4aTDM0.51.02.45.14.710.1TSVD0.51.02.45.14.710.1PPTSVD0.60.92.42.04.73.61/2m&1/2aTDM86.394.7****TSVD14.516.119.920.821.022.9PPTSVD5.24.26.76.86.47.01/4m&1/2m&1/2aTDM54.648.5****TSVD15.016.318.620.924.524.6PPTSVD2.62.66.95.87.07.71/4m&1/2m&1/4a&1/2aTDM11.715.058.674.9**TSVD8.02.713.18.019.019.4PPTSVD1.81.44.43.76.35.41/4m&1/4aTDM******TSVD15.015.119.821.022.324.4PPTSVD5.54.75.55.78.08.51/4m&1/4a&1/2aTDM18.429.091.9***TSVD7.52.712.48.920.514.8PPTSVD1.91.54.74.17.36.31/2m&1/4aTDM48.184.0****TSVD17.418.723.123.825.628.7PPTSVD4.64.97.37.812.111.91/4m&1/2m&1/4aTDM44.371.0****TSVD16.015.420.620.723.023.9PPTSVD4.74.55.96.28.48.61/2m&1/4a&1/2aTDM11.915.059.574.7**TSVD8.02.413.26.418.818.7PPTSVD1.51.44.53.87.85.9

圖3為1%噪聲水平下TDM，TSVD與PPTSVD采用彎矩響應的識別結果。圖4為5%噪聲水平下3種識別方法采用加速度響應的識別結果。圖5為10%噪聲水平下3種識別方法采用彎矩和加速度組合響應的識別結果。

由表2可知，最優(yōu)截斷點隨工況不同有所變化，總體來說，當響應組合全部采用加速度信號時，最優(yōu)截斷點非常接近系統(tǒng)矩陣列數(shù)，即只需截斷極少數(shù)噪聲信號即可有效識別移動荷載，這說明噪聲對高頻的加速度信號干擾較小，采用加速度響應識別時3種方法識別精度均較高，識別結果如圖4所示。

表2TSVD與PPTSVD最優(yōu)截斷點k比較

Tab.2ComparisononthebesttruncatedpointkofTSVDandPPTSVD

響應組合識別方法1%噪聲5%噪聲10%噪聲1/4m&1/2mTSVD27710398PPTSVD8824211/4m&1/2m&3/4mTSVD203137121PPTSVD15324191/4a&1/2aTSVD388386386PPTSVD3863673461/4a&1/2a&3/4aTSVD396396396PPTSVD3953953951/2m&1/2aTSVD299253244PPTSVD2682312311/4m&1/2m&1/2aTSVD308278272PPTSVD2782492351/4m&1/2m&1/4a&1/2aTSVD388388382PPTSVD3753693411/4m&1/4aTSVD273251251PPTSVD2612432401/4m&1/4a&1/2aTSVD388388386PPTSVD3863663591/2m&1/4aTSVD277261250PPTSVD2742372451/4m&1/2m&1/4aTSVD309259259PPTSVD2942532401/2m&1/4a&1/2aTSVD388388382PPTSVD383368359

圖3 TDM, TSVD與PPTSVD由彎矩響應識別移動荷載結果比較1/4m&1/2m&3/4m(EP=1%)Fig.3 Identified biaxial time-varying forces with TDM, TSVD and PPTSVD from bending responses 1/4m&1/2m&3/4m, (EP=1%)

圖4 TDM，TSVD與PPTSVD由加速度響應識別移動荷載結果比較1/4a&1/2a (EP=5%)Fig.4 Identified biaxial time-varying forces with TDM, TSVD and PPTSVD from acceleration responses 1/4a&1/2a (EP=5%)

由表2可知，當響應組合中包含彎矩響應時，最優(yōu)截斷點取值隨彎矩響應比例增加而降低，當響應組合全部為彎矩響應時最優(yōu)截斷點最小。這說明噪聲對低頻的彎矩響應影響較大，需要截斷較多的噪聲干擾信號。TDM默認的SVD方法不能截斷噪聲干擾信號，因此在識別包含彎矩響應的組合工況時精度最低，尤其當僅由彎矩響應識別移動荷載時識別結果不能接受，如圖3所示。

TSVD在識別包含彎矩響應的組合工況時識別精度較TDM有明顯提高，但由于截斷大量的噪聲干擾信號也必然會丟棄部分隱藏在噪聲信號中的真實響應，因此識別結果不太理想。PPTSVD通過提取截斷噪聲信號中的真實響應并將其作為修正值疊加到TSVD解中，彌補了TSVD存在的缺陷，其理論最完備且識別精度和抗噪性能在3種方法中均為最優(yōu)，識別結果如圖3～5所示。

圖5 TDM, TSVD與PPTSVD由組合響應識別移動荷載結果比較1/4m&1/2m&1/4a&1/2a (EP=10%)Fig.5 Identified biaxial time-varying forces with TDM, TSVD and PPTSVD from combination responses 1/4m&1/2m&1/4a&1/2a (EP=10%)

3 結 論

1) PPTSVD方法通過提取截斷噪聲信號中的真實響應并將其作為修正值疊加到TSVD解中，很好地彌補了TSVD存在的缺陷，具有良好的理論完備性。

2) 噪聲對高頻的加速度信號干擾較小，當響應組合全部采用加速度信號時，TSVD和PPTSVD最優(yōu)截斷點均與系統(tǒng)矩陣列數(shù)非常接近，即只需截斷極少數(shù)噪聲信號即可有效識別移動荷載，此時3種方法識別精度均較高。

3) 噪聲對低頻的彎矩響應影響較大，需要截斷較多的噪聲干擾信號。TDM默認的SVD方法不能截斷噪聲干擾信號，因此在識別包含彎矩響應的組合工況時精度較低。TSVD較TDM有明顯的提高，但由于丟棄了較多隱藏在噪聲信號中的真實響應，識別結果仍不理想。PPTSVD通過提取截斷噪聲信號中的真實響應并將其作為修正值疊加到TSVD解中，較完美地解決了這一問題。

4) 多工況研究表明，PPTSVD在各種響應組合下均具有較高的識別精度，其良好的響應組合適應性有利于測點較少、響應類型單一環(huán)境下移動荷載識別。

5) 提出的PPTSVD方法在移動荷載識別領域具有識別精度高、魯棒性好以及響應組合適應性強等優(yōu)點。在實際移動荷載識別過程中，橋面平整度、車速和軸重等參數(shù)對識別精度也有一定的影響，對該方法的現(xiàn)場適用性有待于進一步研究和校核。