張剛

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，單純地進行題海戰(zhàn)術(shù)，是很難取得理想成績的. 因此，我們要想提高數(shù)學(xué)解題能力和意識，就必須注重數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會和運用，對平時所用的數(shù)學(xué)思想進行梳理與總結(jié)，認識本質(zhì)，提高能力，以便靈活運用這些數(shù)學(xué)思想解決高考數(shù)學(xué)題.本文以特殊與一般思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用為例，來說明如何領(lǐng)會和運用這一思想.

一、依據(jù)題型，賦予特值

一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化是在解題的過程中將某些一般問題進行特殊化處理或者是將某些特殊問題進行一般化處理的方法.此法多用于選擇題或者填空題的解答.因此，破解此類問題的關(guān)鍵是確定關(guān)鍵元素尋找轉(zhuǎn)化元素轉(zhuǎn)化為新問題④得出結(jié)論.

例1. 已知數(shù)列{an}，{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為a1，b1，a1+b1=5，a1，b1∈Z+，設(shè)cn={n∈Z+}，則數(shù)列{cn}前10項和等于（ ）

A. 55 B. 70 C. 85 D. 100

解析：用特殊化策略.設(shè)b1=1，則a1==4. 從而bn=n，于是有cn==+（bn-1）·1=4+n-1=n+3. c1+c2+…+c10=（1+2+…+10）+30=85.

點評：本題根據(jù)選擇題的特點，對賦予特殊值處理，求出數(shù)列{cn}的前10項和，從而排除錯誤的結(jié)果，選出符合題目要求的選項.

二、巧抓結(jié)構(gòu)，構(gòu)造公式

數(shù)學(xué)中的很多新符號、新定義都很抽象，對于同學(xué)們來說，往往難以理解，如果能夠根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征，恰當合理的構(gòu)造出相關(guān)的數(shù)學(xué)公式或者定理，就可以將抽象問題具體化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的明朗化，從而轉(zhuǎn)化為所學(xué)的內(nèi)容進行解決.

例2. 記max{a，b}為a，b兩數(shù)的最大值，當正數(shù)x，y變化時，t=max{，，x2+y2}的最小值為 .

解析：由題意知：t≥，t≥，t≥x2+y2，所以3t≥++x2+y2.又因為++x2+y2≥++2xy≥3=3，所以3t≥3，即t≥.

所以，當正數(shù)x，y（x>y）變化時，t=max{，，x2+y2}的最小值為.

點評：本題屬于抽象函數(shù)的最值問題，通過觀察所求式子中含有，，與x2+y2之間的結(jié)構(gòu)特征，故考慮構(gòu)造具體的不等式t≥，t≥，t≥x2+y2，然后將三式相加即可求解.因此，對于有些抽象的數(shù)學(xué)問題?？梢酝ㄟ^觀察結(jié)構(gòu)特征，轉(zhuǎn)化為具體問題求解.通常遇到求t=max{，，+}最小值問題或者求t=min{，， + }的最大值問題，都可以考慮構(gòu)造具體的基本不等式，進行類似處理.

三、特殊探路，猜測規(guī)律

很多較為復(fù)雜的高考數(shù)學(xué)壓軸題，由于題目長，數(shù)學(xué)符號多，往往考查特殊現(xiàn)象背后隱藏的一般性抽象規(guī)律，學(xué)生往往難于從題設(shè)條件尋找出一般規(guī)律，從而草草收場，丟分太多.如果能夠抓住圖中的特殊位置，取值范圍中的特殊值或者特殊角等等，通過嘗試代入特殊情況之進行試探，大膽猜測，或許會收到意想不到的效果.

例3. 橢圓E：++1（a>b>0）的左右焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=，過點F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.

（1）求橢圓E的方程.

（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

解析：（1）只需根據(jù)ABF2的周長為8的條件，結(jié)合橢圓定義即可求得橢圓方程為+=1.

（2）通過聯(lián)立直線與橢圓方程，即由y=kx+m，+=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0， 化簡得4k2-m2+3=0.

此時x0=-=-， y0=kx0+m=， 所以P（-，）.

由x=4，y=kx+m，得 Q（4，4k+m）. 下面探求點M的存在性.

假設(shè)平面內(nèi)存在點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上. 取k=0，m=，此時P（0，），Q（4，），以為PQ直徑的圓為（x-2）2+（y-）2=4，交x軸于點

M1（1，0）， M2（3，0），取k=-，m=2，此時P（1，），

Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x-）2+（y-）2=，交軸x于點M1（1， 0）， M2（4， 0）. 所以若符合條件的點M存在，則點M的坐標必為（1，0）. 以下證明M（1，0）就是滿足條件的點.因為點M的坐標（1，0）. 所以 =（--1，）， =（3， 4k+m），從而 ·=--3++3=0，故恒有 ⊥，即存在定點M（1， 0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點M.

點評：對于這類圓過定點的問題，常常通過試探性的選取一些特殊點，進行探路，嘗試尋找是否有一般性的問題結(jié)果，然后在進行證明，顯得自然、合理. 這里從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)了價值.也有了用武之地.

四、一般位置，特殊對待

形體位置關(guān)系主要針對幾何問題，往往采用特殊化位置處理，主要適用于空間幾何圖形的平行、垂直的證明以及幾何體的體積求法，有時需要將幾何體切割、挖補、延展、轉(zhuǎn)化形成便于觀察和計算的常見幾何體來處理.

例4. 如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（）

A. B. 5 C. 6 D.

解析：將圖形特殊化，如圖所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2. 連接DF、AF，則EF⊥面ADE，△ADE為直角三角形.

S△ADE=·AD·DE =×3×2=3.于是

VF-ADE=·EF·S△ADE=××3=，

VF-ABCD=·DE·S△ABCD=×2×32=6.

所以VABCDEF=+6=.

答案選D.

點評：題目中提供的圖形，除底面是正方形以外，其他沒有任何特殊之處，如果直接用割補法求解，難度和計算量都會增加不小.因此，對于一般圖形求面積或者體積時，可以通過改變線線關(guān)系或線面關(guān)系，使之轉(zhuǎn)化為垂直或者平行等特殊化位置，進而使用換底、變高等方法分割求解.

五、由形悟數(shù)，數(shù)形結(jié)合

以形悟數(shù)，即借助形的直觀性來闡明、領(lǐng)悟數(shù)量之間的關(guān)系，常用手段是將圖形中的變化規(guī)律，數(shù)量變化代替圖形變化，將圖形變化轉(zhuǎn)化為具體的可推理的數(shù)字符號推理，再借助于相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決. 形數(shù)結(jié)合現(xiàn)在普遍存在于高考中的數(shù)列通項公式、前n項求和、函數(shù)圖像、方程曲線的等問題中.

例5. 傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或者用小石子表示數(shù). 他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)，1，3，6，10…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：

（1）b2012是數(shù)列{an}中的第 項.

（2）b2k-1= .（用k表示）

解析：由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1，3，6，10，…的一個通項公式為an=，寫出其若干項有：1，3，6，10，15，21，28，

36，45，55，66，78，91，105，120，…發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10，15，45，105，120，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.

從而由上述規(guī)律可猜想：b2k=a5k=（k為正整數(shù)），b2k-1=a5k-1==，故b2012=b2×1006=b5×1006=a5030，即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.

答案：（1）5030；（2）.

點評：遇到圖形問題，要善于將直觀的圖形與抽象的數(shù)學(xué)符號語言聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的出現(xiàn)引發(fā)對數(shù)量變化的思考，使問題化難為易. 本題通過對三角形數(shù)的前幾項的歸納猜想，尋找出能被5整除的數(shù)字變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}的各項與數(shù)列{an}的各項的變化聯(lián)系，進而得出數(shù)列{bn}通項公式，再求出第2012項.這樣，由圖想數(shù)，數(shù)形結(jié)合使問題解決達到事半功倍之效.

責(zé)任編輯徐國堅