易海玲

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題是電磁學(xué)的核心內(nèi)容，一直是高考的考查重點(diǎn)，而試題絕大多數(shù)都是以帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)類問題呈現(xiàn)。本類問題對(duì)知識(shí)考查全面，涉及到力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)等高中物理的主干知識(shí)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題能力有較高的要求，是考查學(xué)生多項(xiàng)能力的極好的載體，因此成為歷年高考的熱點(diǎn)。

從試題的難度上看，多屬于中等難度或較難的計(jì)算題。原因有二：一是題目較長，常以科學(xué)技術(shù)的具體問題為背景，從實(shí)際問題中獲取、處理信息，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成物理問題。二是涉及數(shù)學(xué)知識(shí)較多（特別是幾何知識(shí)）。

解決帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵是做出粒子實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡圓，然而學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)困難，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐通過典型例題和拓展訓(xùn)練，由淺入深引導(dǎo)學(xué)生自主探究解決這類問題的兩種常見方法，即“放縮動(dòng)態(tài)圓”法和“旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓”法，并提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和物理規(guī)律相結(jié)合解決物理問題的能力。

帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)類問題可以分為兩類：第一類是初速度方向一定，大小變化；第二類初速度大小一定，方向變化。

一、第一類問題——初速度方向一定，大小變化。

【例1】如圖1所示，在沿x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在xoy平面內(nèi)，從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成θ角（0<θ<）以速率v發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子（重力不計(jì)）.則下列說法正確的是（ ）

A. 若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的角速度越大

B. 若θ一定，v越大，則粒子離開磁場時(shí)與x軸正方向夾角越大

C. 若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

D. 若θ一定，v越大，則粒子在離開磁場的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn)

解析：在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子一般僅受洛倫茲力作用，本題所有選擇項(xiàng)的條件都是θ一定，v變大，即粒子入射的初速度方向一定，大小發(fā)生變化，由于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑r=，因此圓周半徑隨粒子速度的增大而增大；又因所受洛倫茲力提供向心力，所以所有沿同一方向入射的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心都在過入射點(diǎn)且與初速度方向垂直的射線上，故可以先做一個(gè)半徑任意大小的圓如圖2中圓1，然后結(jié)合題意保持圓心在同一直線上，擴(kuò)大半徑，畫出圓2和圓3，就得到圖2中圓1、2、3組成一組動(dòng)態(tài)內(nèi)切圓。盡管半徑不同，但是各個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的周期T=均相同。結(jié)合幾何知識(shí)，可知粒子離開磁場時(shí)與x軸正方向夾角與入射時(shí)夾角相等，即關(guān)于直線邊界對(duì)稱，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角？琢=2π-2θ相同，離開磁場的位置距O點(diǎn)的距離L=2rsinθ不同，故本題正確答案為A.

【拓展1】如圖3所示的虛線框?yàn)橐婚L方形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一束電子以不同的速率從O點(diǎn)垂直于磁場方向、沿圖中方向射入磁場后，分別從a、b、c、d四點(diǎn)射出磁場，比較它們?cè)诖艌鲋械倪\(yùn)動(dòng)時(shí)間ta、tb、tc、td，其大小關(guān)系是（ ）

A. ta

C. ta=tb>td>tc D. ta=tb>tc>td

解析：本題在例1的基礎(chǔ)上從單邊界上升為多條邊界，因此可以參考例1的解法，先做一個(gè)任意半徑的軌跡圓，然后在逐漸放大的過程中應(yīng)特別關(guān)注圓與邊界相交或相切的臨界位置，并讓軌跡圓依次經(jīng)過給定的射出點(diǎn)，如圖4所示。結(jié)合圖4很容易確定各個(gè)粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡分別是各個(gè)軌跡圓處在磁場區(qū)域的弧oa、ob、oc、od。各個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的周期T=均相同，利用粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間公式t=T其中α為軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，確定答案為D。

【拓展2】如圖5所示長為L的水平極板ab、cd間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩板間距離也為L，現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力），從左側(cè)中心處以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，則速度大小應(yīng)滿足什么條件？

解析：如圖6所示，畫出任意軌跡圓1后，將軌跡圓1進(jìn)行放大得到軌跡2、3可以找出粒子恰好從極板右側(cè)邊緣射出的臨界條件軌跡3；將軌跡圓1進(jìn)行縮小可以得到軌跡4、5可以找出粒子恰好從左側(cè)邊緣射出的臨界條件軌跡4；分析出臨界條件，是突破本題的難點(diǎn)的關(guān)鍵。

綜上所述，帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)，若初速度方向一定，大小變化時(shí)，粒子圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心都在入射點(diǎn)位置所受洛倫茲力的射線上，但軌道半徑在變化，通常先做一個(gè)任意半徑的軌跡圓，再進(jìn)行放縮，在放縮圓的動(dòng)態(tài)變化中尋找“臨界點(diǎn)”是解決問題的關(guān)鍵——放縮動(dòng)態(tài)圓法。

二、第二類問題——初速度大小一定，方向變化。

【例2】（雙選）如圖7在一水平放置的平板MN上方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里，質(zhì)量為m，帶電量為+q的同種離子a和b粒子，在

t=0時(shí)刻同時(shí)以相同的速率v從O點(diǎn)沿垂直磁場方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，最后打在O點(diǎn)左側(cè)板上，不計(jì)重力，下列說法正確的有（ ）

A. a，b均帶正電

B. a在磁場中飛行的時(shí)間比b的短

C. a在磁場中飛行的路程比b的短

D. a在P上的落點(diǎn)與O點(diǎn)的距離比b的遠(yuǎn)

解析：如圖8所示，由于a、b粒子入射速度大小相等，方向不同，射入磁場的粒子均打在O點(diǎn)左側(cè)，說明粒子均沿圓周逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，帶正電，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同。由于洛倫茲力始終與初速度垂直，且指向圓心，若a、b粒子入射速度方向夾角為θ，可視為a粒子沿入射方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，故可先畫出a粒子的軌跡圓，然后將a粒子的軌跡圓沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)相同角度θ即可確定b粒子的軌跡圓。因此，本題答案是AD。

【拓展1】若帶電粒子以速率 v沿紙面任意方向由小孔O射入磁場，其運(yùn)動(dòng)軌跡如何？它們的圓心位置有什么特點(diǎn)？

解析：此題考查學(xué)生空間想象能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題能力，要求學(xué)生具有動(dòng)態(tài)分析的思維能力。如圖9所示，當(dāng)同種粒子的射入速度大小確定，而方向不確定時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓具有以下特點(diǎn)：

①所有軌跡圓是一樣的，半徑都為R，只是位置不同。

②所有軌跡圓繞入射點(diǎn)，向粒子運(yùn)動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)角度與入射方向旋轉(zhuǎn)角度相同。

③軌跡分布在一個(gè)半徑為2R的圓形區(qū)域內(nèi)。

④所有軌跡圓的圓心在一個(gè)半徑為R的圓上。

【拓展2】如圖10所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于圖中紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板MN，板面與磁場方向平行，在距MN距離L=16cm處有一點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s ，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5.0×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求 MN上被α粒子打中的區(qū)域的長度。（不計(jì)重力）

解析：如圖11所示，利用半徑公式求出半徑R為10cm，即2R>l>R，利用動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)圓尋找軌跡圓與單邊界相交或相切的臨界條件，畫出對(duì)應(yīng)的軌跡，其中P1、P2分別為粒子達(dá)到極板最左邊和最右邊的臨界點(diǎn)，如圖中較粗部分弧線所示，則線段P1P2即為所求長度。

α粒子帶正電，沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑R為

R==10cm

即：2R>l>R。

NP1==8cm

NP2==12cm

故P1P2=20cm

本高考試題是在例1和拓展1定性分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入定量研究，旨在在利用通過旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓找出臨界條件的基礎(chǔ)上，將運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和物理規(guī)律相結(jié)合解決具體問題。

【拓展3】如圖12所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內(nèi)有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi).已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一. 求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的

（1）速度的大?。?/p>

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦.

解析：如圖13所示，本高考題在拓展2單邊界定量研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展到多邊界的定量研究，通過旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓尋找運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，由于速度大小相同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，一定是在有界磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡弧長最長的粒子，因此與矩形邊界上邊界相切的軌跡應(yīng)為最后離開磁場的粒子，幾何關(guān)系如圖14所示。

（1）設(shè)粒子的發(fā)射速度大小為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得

Bqv=m

當(dāng)

設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可得：

Rsinα=R-

Rsinα=α-Rcosα

又sin2α+cos2α=1

聯(lián)立以上各式得v=（2-）a

（2）解得sinα=

帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)，若初速度大小一定，方向變化時(shí)，所有粒子圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相同，只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，通常先做一個(gè)任意軌跡圓，再將軌跡圓繞入射點(diǎn)沿速度偏轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，在動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的過程中尋找“臨界點(diǎn)”是解決問題的關(guān)鍵——旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓法。

通過對(duì)以上兩類問題的分析，從中發(fā)現(xiàn)，利用“放縮動(dòng)態(tài)圓”法和“旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓”法解決帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)類問題的關(guān)鍵是找出運(yùn)動(dòng)軌跡圓與磁場邊界相切時(shí)的臨界狀態(tài)。先假設(shè)成無界磁場來研究，畫出一個(gè)任意的完整的運(yùn)動(dòng)軌跡圓，然后根據(jù)題目條件選擇“放縮動(dòng)態(tài)圓”法或“旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)圓”法，畫出動(dòng)態(tài)圓，特別注意動(dòng)態(tài)圓與磁場邊界相交或相切的“臨界點(diǎn)”，正確的畫出軌跡圓，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和物理規(guī)律列式求解，是解決此類問題的有效方法。

責(zé)任編輯 李平安