陸有海

一、激活方形周長的測量經(jīng)驗，引出圓形周長的測量問題

1．什么是周長？

一周的長度。

2．圖形的周長指什么？

某一圖形一周的線段長度的總和。長方形（正方形）的周長是指四條邊的長度的總和（兩組邊的長度的總和）；三角形的周長是指三條邊的長度的總和。

3．這些圖形的周長如何測量？

長方形的周長：若知道 a、b、c、d，則可算 l=a+b+c+d；若不知道 a、b、c、d，則一定不可算；但是，a、b、c、d是線段，可以通過測量把不知道變成知道，也可以直接測量“繞一周的繩子長度”。

三角形的周長：若知道 a、b、c，則可算 λ=a+b+c；若不知道 a、b、c，則一定不可算；但是，a、b、c 是線段，可以通過測量把不知道變成知道，也可以直接測量“繞一周的繩子長度”。

表1：借助方形構(gòu)造需要研究的圖形知識結(jié)構(gòu)體系

二、經(jīng)驗引領(lǐng)探索方向，邏輯推動方法創(chuàng)新

圖形的周長可以直接通過繞繩子的方法直接測量獲得結(jié)果；根據(jù)圖形的特征可以通過測量相應邊的長度（圖形的特征量數(shù)）并通過計算獲得結(jié)果；由給定的相關(guān)邊的長度（圖形的特征量數(shù)）通過計算獲得結(jié)果。

這樣，到目前為止，圖形周長問題解決的策略性途徑應該有三條：全量途徑、半量半算途徑、全算途徑。顯然，這三條途徑已知條件逐一增加，數(shù)學的抽象性逐漸增強，數(shù)學化水平越來越高，學生的數(shù)學知識不斷地豐富，數(shù)學水平不斷地得到提升。

第一種解決圓周長問題的思想策略——生活化的測量方法（度量）

如果不知道圓的周長，那么我們有什么解決問題的策略呢？顯然，不知道圓的周長，我們可以量嗎？因此，我們必須想方設(shè)法把曲的圓周化為直的線段（曲線段化為直線段），以適應度量線段長度的直尺，或者想方設(shè)法把“直尺”化為“曲尺”，以適應需要度量長度的曲的圓周。

因此，我們有了解決圓周長問題的第一種思想策略：曲化直或直化曲。

我們的教學就需要圍繞“如何化曲為直？”“如何化直為曲？”而展開。顯然，這是學生數(shù)學學習的過程而不是學習的目的，也不是圓周長問題的學習終點。因為，我們必然還會碰上無法進行“直曲”互化的圓周長的測量問題。

假設(shè)生活中有一個大的圓形物體，我們需要把它的圓形周長給測量出來，但又無法通過“直曲互化”直接測量圓形周長。這時，我們必須充分利用原有的圖形周長測量經(jīng)驗，借助數(shù)學的聯(lián)想與類比，提出需要去嘗試探索的可以求解圓形周長問題的數(shù)學方法，即通過可以測量的圖形特征量數(shù)，是否可以推算圓形的周長呢？（經(jīng)驗引領(lǐng)探索方向）

第二種解決圓周長問題的思想策略——數(shù)學化的測量方法（計算）

如果圓形的周長不知道，那么，我們是不是可以直接（或者方便地）測量圓形的直徑或者半徑呢？如果圓的直徑或半徑能夠方便地測量，那么，我們是不是由此可以方便地獲得圓形的周長呢？

顯然，這是在方形周長問題的解決而獲得的經(jīng)驗引領(lǐng)下，給了我們確定圓形周長問題的探索研究方向。從而也有了研究的對象：圓形周長與圓形直徑（或半徑）之間的關(guān)系，也就是，我們有了去關(guān)注“圓形周長”與“圓形直徑”的動因。

圓的周長與圓的直徑之間究竟有什么關(guān)系？回答這個問題，（邏輯推動方法創(chuàng)新）有兩種思維方式：

一是關(guān)注一個圓的周長與直徑，觀察并發(fā)現(xiàn)：1個直徑與一個周長哪個長？2個直徑與一個周長哪個長？3個直徑與一個周長哪個長？4個直徑與一個周長哪個長？從而提出：一個圓的周長究竟有幾個直徑的長度呢？因此，就會去做包含除運算“c÷d=”，從而獲得“c÷d=常數(shù)”的結(jié)論。

二是借助科學研究的經(jīng)驗，通過規(guī)范而科學的方法來研究圓的周長與直徑之間的關(guān)系。研究的基本過程，總是：從已知活動中偶遇未知問題，然后，讓我們回到已知活動中探索發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律，為解決未知問題提供有效的解決方法。這種過程就是科學研究的一般過程，這種過程就是數(shù)學實驗的過程。數(shù)學實驗需要獲得一些特征量數(shù)，并從這些特征量數(shù)中感知、發(fā)現(xiàn)與證實特征量數(shù)之間的關(guān)系。

因此，我們引導學生去測量各自不同的生活圓形的圓形周長與直徑。

表2：不同圓形的周長與直徑的測量結(jié)果

周長與直徑之間的關(guān)系需要觀察發(fā)現(xiàn)，觀察發(fā)現(xiàn)的能力基于人的數(shù)感與運算能力。通過5個具體的圓形周長與直徑的特征量數(shù)的觀察，我們可以獲得周長與直徑的大致關(guān)系。

這樣自然就形成了一個問題：周長是直徑的多少倍？

這樣我們就會對周長與直徑進行除法運算，從而獲得“c÷d=常數(shù)”的結(jié)論。

這里的“常數(shù)”是個無理數(shù)，而且測量的周長與直徑也都是近似數(shù)，通過學生自己的測量與計算很難與“π”保持高度的一致。因此，在教學過程中，我們還需要允許存在認知過程中的盲區(qū)，讓教師直接給出圓周長與直徑之間的除法運算的正確結(jié)果（c÷d=π）。

有了“c÷d=常數(shù)”的確定關(guān)系，若有 d，則有 c=dπ；若沒有，則只要測量直徑d（直線段）就行了，這樣把測量曲線長度的問題就轉(zhuǎn)化為測量直線段長度的問題了。

因此，如何測量圓形的直徑成為圓形周長測量的基本問題，同時，也是圓形的認識教學活動中的重要問題。

三、重復訓練鞏固數(shù)學知識，概括總結(jié)積累活動經(jīng)驗

探索發(fā)現(xiàn)的數(shù)學活動與數(shù)學知識的應用活動，兩者的目的與功能都不一樣。數(shù)學知識的探索發(fā)現(xiàn)活動的目的是獲得數(shù)學知識的創(chuàng)造，它的作用是發(fā)展學生的數(shù)學創(chuàng)造能力；數(shù)學知識的重復訓練活動的目的是鞏固理解數(shù)學知識，它的作用是進一步加深對數(shù)學知識的理解與鞏固。

重復訓練的進程一般經(jīng)歷形式化應用、實踐性應用到發(fā)展性應用的過程。形式化應用主要進一步理解與鞏固直徑與周長之間的關(guān)系；實踐性應用主要進一步體驗數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體驗數(shù)學可以幫助我們解決生活問題，體會數(shù)學的價值，增強學好數(shù)學的信心；發(fā)展性應用主要進一步提升數(shù)學知識的綜合運用能力，并為今后的學習奠定一定的基礎(chǔ)。

1．形式化訓練。

說一說周長的計算公式：c=dπ，其中，c表示圓的周長，d表示圓的直徑。

用一用周長的計算公式：已知圓的直徑d或半徑r，求圓的周長。

2．實踐性訓練。

測量給定圖形的直徑（或半徑）長度，計算圓的周長；

測量給定圓形事物（柱子等）的周長，計算圓的直徑。

解決生活中圓形建筑與圓形裝飾的用料長度。

3．發(fā)展性訓練。

說一說圓形周長計算公式是怎樣的（結(jié)果性知識）？說一說圓形周長計算公式是如何獲得的（過程性知識）？說一說獲得圓形周長計算公式的體會是什么（經(jīng)驗性知識）？說一說你還知道哪些與圓有關(guān)的知識（歷史性知識）？