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(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

非線性方程是描述自然現(xiàn)象的一種重要數(shù)學(xué)模型，對其行波解的研究是近年來非線性動力系統(tǒng)中的熱點之一。為了研究非線性方程的行波解，人們已經(jīng)提出了一些行之有效的方法，其中動力系統(tǒng)研究方法[1-2]已經(jīng)很好地應(yīng)用于非線性方程行波解的研究中。本文主要運用動力系統(tǒng)的分支方法研究下列廣義可壓縮杠桿方程[3-4]：

(1)

其中：g是給定的C∞函數(shù)，γ是與材料常數(shù)和桿的感應(yīng)力有關(guān)的常數(shù)。當γ=1，g(u)=3u2時，方程(1)為Camassa-Holm方程[5]：

ut-uxxt+3uux+kux=2uxuxx+uuxxx

(2)

方程(2)具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)、可積性、有無窮多個守恒律，且已經(jīng)得到了方程(2)的周期解、孤波解、Peakon等[6-7]。當g(u)=3u2，γ∈(-29.4760,3.4174)時，方程(1)為超彈性桿波方程[5]。當γ=0，g(u)=3u2時，方程(1)為Benjamin-Bona-Machony方程[3]。本文主要研究當γ=1，g(u)=3au2+2ku(a≠0)時，方程(1)的行波解。

為了研究方程(1)的行波解，首先令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct，并代入方程(1)，再關(guān)于ξ積分一次并取積分常數(shù)為0可得：

(3)

本文通過研究常微分方程(3)參數(shù)a,c和k的分支和相圖將得到方程(1)的各類行波解。

1 行波系統(tǒng)的分支與相圖

令u′=v，若u≠c，方程(3)可轉(zhuǎn)化為平面系統(tǒng)

(4)

u=c是系統(tǒng)(4)的奇直線。時間尺度變換dξ=(u-c)dη將系統(tǒng)(4)化為

(5)

其首次積分為

H(u,v)=(c-k-au)u2+(u-c)v2

(6)

分支曲線把參數(shù)平面(c,k)分為八個區(qū)域：

D1={(c,k)|c>k>0}，

D2={(c,k)|k>c>0}，

D5={(c,k)|c

D6={(c,k)|k

c) 當(c,k)∈D3∪D7時，系統(tǒng)(5)有鞍點(0,0)和(u1,0)。

f) 當(c,k)∈C3時，系統(tǒng)(5)有尖點(c,0)和鞍點(0,0)。

系統(tǒng)(5)的相圖見圖1。

1.2 a<0的情形

分支曲線把參數(shù)平面(c,k)分為八個區(qū)域：

引理2當a<0時，系統(tǒng)(5)在每個參數(shù)區(qū)域和分支集上的奇點類型如下所示：

a) 當(c,k)∈D1∪D4∪D5∪D8∪C4時，系統(tǒng)(5)有鞍點(0,0)和中心(u1,0)。

b) 當(c,k)∈D2∪D6時，系統(tǒng)(5)有鞍點(u1,0)為鞍點和中心(0,0)。

d) 當(c,k)∈C1時，系統(tǒng)(5)僅有一個尖點(0,0)。

f) 當(c,k)∈C3時，系統(tǒng)(5)有尖點(c,0)和中心(0,0)。

系統(tǒng)(5)的相圖見圖2。

圖1 當時，系統(tǒng)(5)的相圖

圖2 當a<0時，系統(tǒng)(5)的相圖

2 方程(1)的有界光滑行波解

注意u=c為系統(tǒng)(4)的奇直線。眾所周知，與奇直線不相交的軌線對應(yīng)于方程的光滑行波解。在物理中令人感興趣的光滑行波解一般是周期波、孤波、扭波或反扭波，它們分別對應(yīng)于相圖中的周期軌、同宿軌和異宿軌[1]。系統(tǒng)(5)的軌道由下列方程確定

(c-k-au)u2+(u-c)v2=h

(7)

當u≠c時，方程(7)可以寫成

(8)

I(u,u0,c,k,h)=±ξ

(9)

是方程(1)的隱式解。

a) 當(c,k)∈D1((c,k)∈D5)且h=H(u0,0)時，若u0∈(u1,u2)(u0∈(u2,u1))，式(9)確定了方程(1)的周期行波解；若u0=u2，則確定了方程(1)的孤波解。

c) 當(c,k)∈D4∪C4(c<0)((c,k)∈D8∪C4(c>0))且h=H(u0,0)時，若u0∈(c,u1)(u0∈(u1,c))，式(9)確定了方程(1)的周期行波解。

定理2當a<0時,方程(1)有如下的有界光滑行波解:

a) 當(c,k)∈D1∪D8∪C4(c>0)((c,k)∈D4∪D5∪C4(c<0))和h=H(u0,0)時，若u0∈(u2,u1)(u0∈(u1,u2))，式(9)確定了方程(1)的周期行波解；若u0=u2，則確定了方程(1)的孤波解。

c) 當(c,k)∈D3((c,k)∈D7)和h=H(u0,0)時，若u0∈(0,c)∪(c,u1)(u0∈(u1,c)∪(c,0))，則式(9)確定了方程(1)的兩族周期行波解。

按照寓管理于服務(wù)，轉(zhuǎn)變管理方式，加快轉(zhuǎn)變政府職能，該放的放掉、該管的管好，突出加強涉水社會事務(wù)跟蹤和趨勢研判，準確把握水利輿情動態(tài)，做到前移關(guān)口、重心下放，從源頭上預(yù)防問題、解決問題，把更多資源投入到基層，讓基層有權(quán)管事、有人做事、有錢辦事。

e) 當(c,k)∈C3和h=H(u0,0)時，若u0∈(0,c)，式(9)確定了方程(1)的周期行波解。

3 方程(1)的奇異行波解

行波系統(tǒng)的與奇直線相交的有界軌道對應(yīng)于奇異行波解。當u≠c時，方程(8)可以寫成

(10)

a) 當(c,k)∈D4且h=H(u0,0)時，若u0∈(u-,0)，則

(11)

是方程(1)的周期cuspon；若u0=u-且h=H(u0,0)，則式(11)是方程(1)的周期peakon。

b) 當(c,k)∈D8且h=H(u0,0)時，若u0∈(0,u+)，則式(11)是方程(1)的周期cuspon；若u0=u+，則式(11)是方程(1)的周期peakon。

定理4若a<0，方程(1)有如下的有界行波解。

a) 當(c,k)∈D3∪D7且h=H(u0,0)時，若u0∈(-∞,u-)∪(u+,+∞)，則式(11)是方程(1)的周期cuspon；若u0=u-(u0=u+)，則式(11)是方程(3)的周期peakon。

b) 當(c,k)∈C2((c,k)∈C3)且h=H(u0,0)時，若u0=u+(u0=u-)，則

(12)

是方程(1)的compacton。

4 結(jié) 語

動力系統(tǒng)研究方法是研究非線性方程行波解的重要方法之一。本文運用這一方法研究其分支并得到廣義可壓縮杠桿方程在各種不同參數(shù)條件下的有界行波解，包括光滑行波解和奇異行波解，其中光滑行波解有光滑孤波解和周期波解，奇異行波解有周期cuspon、周期peakon、孤立peakon和compacton。本文研究的是取積分常數(shù)為零的特殊情形，當積分常數(shù)不為零時，方程中將出現(xiàn)四個參數(shù)，從而研究其分支就更加困難，對于一般的情形是否可以得到方程新類型的行波解，將是下一步深入探討的問題。