一、問題

“畢達(dá)哥拉斯樹”這一教學(xué)內(nèi)容源自人教版數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)總復(fù)習(xí)單元中的一道思考題：一個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別是3cm、4cm、5cm。以這三條邊分別為邊長(zhǎng)畫三個(gè)正方形，這三個(gè)正方形的面積各是多少？通過研讀教材，我們認(rèn)為，教材的編寫意圖是讓學(xué)生借助“以一個(gè)直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)，分別向外作三個(gè)正方形”，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系，進(jìn)而研究直角三角形三邊之間的關(guān)系，為今后中學(xué)學(xué)習(xí)勾股定理作鋪墊。而勾股定理的證明，人教版教材安排在八年級(jí)下冊(cè)。五年級(jí)的孩子研究這一高難度的內(nèi)容，我們?cè)撊绾伟盐蘸枚?？為此，我們進(jìn)行了以下的思考與分析。

1.如果教學(xué)僅僅停留在解決“你能發(fā)現(xiàn)這三個(gè)正方形面積之間有什么關(guān)系嗎”這一問題的層面，只需引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算找出每組中三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系即可，思維含量顯然不夠。如果拔高為勾股定理的證明，學(xué)生又難以理解。這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)究竟該如何定位？

2.根據(jù)教材要求，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)，分別向外作三個(gè)正方形，再計(jì)算它們的面積，對(duì)大部分學(xué)生來說非常簡(jiǎn)單。如何才能引導(dǎo)孩子們發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系？并且發(fā)現(xiàn)在三角形中，唯有直角三角形才有此種關(guān)系？

3.對(duì)五年級(jí)學(xué)生來說，勾股定理非常抽象，難以理解。如何才能化抽象為具體，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)探究過程，形成解決實(shí)際問題的策略，培養(yǎng)研究事物的能力？

根據(jù)五年級(jí)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)和思維水平，經(jīng)過討論，我們將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位為：通過面積證法，經(jīng)歷直角三角形三邊關(guān)系的探索過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；通過介紹有關(guān)勾股定理的知識(shí)，拓展學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)。

為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，我們通過查找資料，發(fā)現(xiàn)“畢達(dá)哥拉斯樹”可以作為這一內(nèi)容的探究素材，它是根據(jù)勾股定理畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形。因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”，也叫“勾股樹”。借助這一素材，教師通過設(shè)計(jì)基于學(xué)情的研究活動(dòng)，引導(dǎo)孩子們經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜測(cè)—驗(yàn)證—得出結(jié)論”的全過程，讓他們真正成為數(shù)學(xué)知識(shí)的研究者、發(fā)現(xiàn)者。

二、實(shí)踐

基于以上思考，我們對(duì)教材進(jìn)行了創(chuàng)造性處理，將一道習(xí)題設(shè)計(jì)成一堂兼具數(shù)學(xué)味、思維味、文化味的新授課。主要教學(xué)過程如下：

（一）情境導(dǎo)入

師：同學(xué)們，老師給大家?guī)砹艘豢脴?，它叫畢達(dá)哥拉斯樹。（板書課題）大家有什么問題嗎？

生1：畢達(dá)哥拉斯樹是什么意思？

生2：數(shù)學(xué)課為什么要看樹？

師：是啊，這棵樹與我們數(shù)學(xué)有什么關(guān)系呢？今天我們一起走近神奇的畢達(dá)哥拉斯樹。

（二）探索新知

1.觀察樹，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)特征

師：畢達(dá)哥拉斯樹馬上要華麗登場(chǎng)了，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察。（課件演示樹的動(dòng)態(tài)形成過程，如圖1所示）

生（驚叫）：哇，好漂亮……

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：我發(fā)現(xiàn)這棵樹全是由正方形和三角形組成的。

師：用數(shù)學(xué)的眼光看世界，真棒！

生4：我發(fā)現(xiàn)這棵樹上的三角形全都是直角三角形。

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生4：這些三角形中都有一個(gè)角標(biāo)上了直角符號(hào)，說明它們?nèi)侵苯侨切巍?/p>

師：好一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛！

生5：我發(fā)現(xiàn)這棵樹上正方形和直角三角形的排列是有規(guī)律的，每個(gè)直角三角形的周圍都有三個(gè)正方形。

師：真像他說的這樣嗎？我們一起看一看。（師生一起逐組觀察驗(yàn)證）確實(shí)！正是這樣一組一組的圖形排列在一起，就形成了一棵茂盛的畢達(dá)哥拉斯樹。每組中一個(gè)直角三角形周圍都有三個(gè)正方形，我們既可以看成是以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)，分別向外作出的三個(gè)正方形，也可以看作是由三個(gè)正方形用邊長(zhǎng)首尾相連圍成的一個(gè)直角三角形。那是不是任意三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)首尾順次連接，都能像這樣圍成一個(gè)直角三角形呢？為什么？

生6：肯定不是！你看，圍成大三角形的三個(gè)正方形明顯就大一些，圍成小三角形的三個(gè)正方形明顯就小一些。要是隨便對(duì)換一下，肯定圍不成的。

師：看來三個(gè)正方形能否圍成一個(gè)直角三角形，與正方形的大小是有關(guān)系的。每一組中三個(gè)正方形的大小究竟是什么關(guān)系呢？（學(xué)生要求選一組進(jìn)行研究）從哪一組開始研究比較好呢？

生7：我覺得可以選樹干最下面三個(gè)最大的正方形圍成一個(gè)直角三角形這一組，因?yàn)檫@棵樹是從這一組開始長(zhǎng)成的。

師：這個(gè)方法可真好！我們遇到像這樣比較復(fù)雜的問題時(shí)，可以從它最基本的組成元素開始研究。

2.研究規(guī)律

生14：我覺得，如果三個(gè)正方形之間存在S甲+S乙=S丙的關(guān)系，用這三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)就一定能圍成一個(gè)直角三角形。（其他學(xué)生同意他的說法）

師：這種猜想是否正確呢？我們?cè)鯓域?yàn)證？

生15：我覺得可以先隨意畫更多的直角三角形，量出它們的邊長(zhǎng)，再算一算，看是否全部符合S甲+S乙=S丙的關(guān)系。

生16：還可以把兩個(gè)不同大小的正方形沿著直角邊擺好，然后算一算邊長(zhǎng)用來做斜邊的正方形面積應(yīng)該是多少，再找到這個(gè)正方形，實(shí)際擺一擺驗(yàn)證一下。

師：你們想的辦法都非常好。老師為每組準(zhǔn)備了大小不同的若干正方形，還有一張畫有直角的練習(xí)紙，請(qǐng)動(dòng)手圍一圍、算一算，看能圍成直角三角形的三個(gè)正方形之間是否存在S甲+S乙=S丙的關(guān)系。

學(xué)生研究之后匯報(bào)研究結(jié)果。

3.發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系

師：如果用字母a、b、c分別表示甲、乙、丙的邊長(zhǎng)，那么這三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系用字母怎樣表示呢？（生17：a2+b2=c2）請(qǐng)仔細(xì)觀察，我們將正方形的邊長(zhǎng)脫離出來。（課件演示）現(xiàn)在，在直角三角形中，a、b、c分別表示什么？

生18：a、b表示直角三角形的兩條直角邊，c表示直角三角形的斜邊。

師：說得對(duì)！那a2+b2=c2在直角三角形中表示什么？

生19：一條直角邊的平方加另一條直角邊的平方等于斜邊的平方。

師：一條直角邊的平方加另一條直角邊的平方可以簡(jiǎn)說成兩直角邊的平方和。（板書）剛才我們得到這個(gè)關(guān)系式的前提條件是什么？

生（齊）：直角三角形。

教師完善板書：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。學(xué)生齊讀結(jié)論。

4.研究規(guī)律的適用范圍

師：剛才我們探究出直角三角形三邊關(guān)系是a2+b2=c2?？吹竭@個(gè)結(jié)論，你們還有什么疑問嗎？

生：鈍角三角形和銳角三角形中，是否也存在a2+b2=c2這種三邊關(guān)系呢？a2+b2=c2這種三邊關(guān)系是不是直角三角形獨(dú)有的呢？

師：你們的問題提得很有價(jià)值！大家想一想，直角三角形的三邊關(guān)系a2+b2=c2在鈍角三角形和銳角三角形中是否也適用呢？

生20：我覺得應(yīng)該適用，因?yàn)樗鼈兌际侨切危加腥龡l邊。

生21：我覺得不適用，因?yàn)橹苯侨切沃杏兄苯牵g角三角形和銳角三角形中沒有，它們不一樣。

師：究竟誰說得對(duì)呢？我們用什么辦法驗(yàn)證？

生22：我們可以像研究畢達(dá)哥拉斯樹上的每組圖形一樣，畫一些鈍角三角形和銳角三角形，量一量、算一算，看看是否也有這樣的關(guān)系。

師：大家覺得這種研究方法怎么樣？

生23：我認(rèn)為不好。太麻煩了！我覺得可以利用剛才老師發(fā)給我們的學(xué)具進(jìn)行想象。比方說，我們已經(jīng)研究出這一組三個(gè)正方形可以擺成一個(gè)直角三角形。（邊擺邊說）現(xiàn)在把兩條直角邊稍微挪動(dòng)，使它變成一個(gè)銳角（或者變成鈍角），這樣就將直角三角形變成了一個(gè)銳角三角形（或者鈍角三角形）了。（師：對(duì)）現(xiàn)在再看原來的斜邊，變成銳角三角形后，原來的斜邊就變短了，變成鈍角三角形后，原來的斜邊又變長(zhǎng)了，所以銳角三角形與鈍角三角形中都沒有這樣的三邊關(guān)系；只有直角三角形存在a2+b2=c2的三邊關(guān)系。（全場(chǎng)掌聲雷動(dòng)）

（三）了解數(shù)學(xué)文化

師：同學(xué)們，今天我們通過對(duì)畢達(dá)哥拉斯樹進(jìn)行觀察、研究，借助正方形的面積，探究出在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。你們知道嗎？我們探究出的直角三角形三邊關(guān)系是數(shù)學(xué)史上非常著名的一個(gè)定理———畢達(dá)哥拉斯定理。相傳最早發(fā)現(xiàn)這條定理的是古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。他是怎樣發(fā)現(xiàn)的呢？我們一起來聽聽他的故事。（課件播放故事）

師：剛剛上課的時(shí)候，有同學(xué)提出疑問：畢達(dá)哥拉斯樹是什么意思？現(xiàn)在你找到問題的答案了嗎？（生1：知道了）那你說說你的理解。

生1：因?yàn)檫@棵樹是運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯定理畫出來的。

師：說得對(duì)！老師這里收集了很多畢達(dá)哥拉斯樹的圖片（出示圖3）。這些樹雖然大小不同、形狀各異，但都是運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯定理畫出來的。早在三千多年前，我國(guó)數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三、股四、弦五”，所以畢達(dá)哥拉斯定理在我國(guó)也叫勾股定理，或者商高定理。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究。

三、討論

鄭毓信教授曾說：“如果您的教學(xué)始終只是停留于知識(shí)與技能的層面，您恐怕就只能算是一個(gè)教書匠；如果您的教學(xué)能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維，您就是一個(gè)智者，您給學(xué)生帶來了真正的智慧；然而，如果您的數(shù)學(xué)教學(xué)能給學(xué)生無形的文化熏陶，那么，即使您只是一個(gè)小學(xué)教師，即使您身處偏僻的深山或邊遠(yuǎn)地區(qū)，您卻是一個(gè)真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價(jià)值?！闭腔谶@樣的認(rèn)識(shí)，我們工作室認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)是具有數(shù)學(xué)味、思維味和文化味的“三味課堂”。

在畢達(dá)哥拉斯樹一課的研究中，我們借助美觀奇妙的畢達(dá)哥拉斯樹作為直角三角形三邊關(guān)系研究的載體，整個(gè)教學(xué)緊緊圍繞引導(dǎo)學(xué)生探尋直角三角形三邊關(guān)系展開，畢達(dá)哥拉斯定理成為課堂教學(xué)顯而易見的研究目標(biāo)，呈現(xiàn)出明顯的“數(shù)學(xué)味”。

在整個(gè)研究過程中，教師以畢達(dá)哥拉斯樹引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后進(jìn)行引導(dǎo)，逐步由扶到放：發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形能否圍成一個(gè)直角三角形與正方形的大小有關(guān)系→研究有什么樣的關(guān)系→發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯樹上某一組圍成直角三角形的三個(gè)正方形具有S甲+S乙=S丙的關(guān)系→研究是不是所有能圍成直角三角形的三個(gè)正方形面積之間都存在這種關(guān)系→猜想怎樣的三個(gè)正方形邊長(zhǎng)首尾順次連接一定能圍成一個(gè)直角三角形→研究這種三邊關(guān)系是否是直角三角形獨(dú)有的。孩子們通過觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證、遷移、質(zhì)疑、反思，緊扣直角三角形三邊關(guān)系這一核心內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，如數(shù)學(xué)家般親身經(jīng)歷了定理的發(fā)生發(fā)展全過程，感受了數(shù)學(xué)思想的魅力，增長(zhǎng)了智慧，讓整個(gè)課堂充滿了濃濃的思維味。

全課以畢達(dá)哥拉斯樹開場(chǎng)，又以畢達(dá)哥拉斯樹結(jié)束，前后照應(yīng)，形成了課堂結(jié)構(gòu)之美。尤其是多姿多彩的畢達(dá)哥拉斯樹的欣賞，以及畢達(dá)哥拉斯定理、勾股定理的介紹，讓孩子們拓寬了視野，增長(zhǎng)了見識(shí)，數(shù)學(xué)文化在孩子們的心田悄悄地扎根。

（此文系湖南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃一般資助課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘三味課堂研究”課題階段性成果，課題批準(zhǔn)號(hào)：XJK016BZXX034）

（執(zhí)筆人：譚念君、張新玨、徐旺、李闖）