錢亞平,張 瑜,顧寄南

(1.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213001；2.江蘇大學(xué) 制造業(yè)信息化研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引 言

因具有傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比大等優(yōu)點(diǎn)，齒輪機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用機(jī)械手、汽車變速箱、自動(dòng)化生產(chǎn)線等傳動(dòng)系統(tǒng)中，齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也因而逐漸成為了研究熱點(diǎn)[1]。

齒輪傳動(dòng)各變量之間的關(guān)系復(fù)雜，與一般的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題相比，其難度較大[2]。遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進(jìn)化過程而形成的一種自適應(yīng)概率搜索算法[3]，在復(fù)雜非線性系統(tǒng)全局優(yōu)化問題中應(yīng)用廣泛。

目前，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者針對(duì)遺傳算法優(yōu)化齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了大量的理論分析和研究工作。羅賢海等[4]采用局部補(bǔ)差算子、基于模糊因子函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)和模擬退火對(duì)遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，與傳統(tǒng)遺傳算法相比優(yōu)化效果明顯改善；蒿麗萍等[5]以三級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器為研究對(duì)象，采用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，其結(jié)果表明：該優(yōu)化方法能提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率和設(shè)計(jì)質(zhì)量；CHEN等[6]利用混合遺傳算法求解齒輪最優(yōu)設(shè)計(jì)變量和系統(tǒng)質(zhì)量，結(jié)果表明：遺傳算法在齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)中具有高效性和可行性；ZHANG G等[7]用遺傳算法對(duì)球磨機(jī)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行體積和可靠性的全局優(yōu)化，通過建立克里格法模型提高了全局優(yōu)化運(yùn)算效率。遺傳算法在齒輪傳動(dòng)優(yōu)化領(lǐng)域已取得一定成就，但也存在自身的局限性，如編碼單一、容易過早收斂等，因此，基于不同的研究對(duì)象應(yīng)合理選擇編碼方式和參數(shù)設(shè)定。

本研究以某自動(dòng)化生產(chǎn)線中推料機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，針對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)平穩(wěn)性要求，建立以體積和重合度為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型；采用離散編碼與連續(xù)編碼相結(jié)合的混合編碼方式以及跨世代精英選擇策略，構(gòu)造帶罰函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)；并探討懲罰因子、加權(quán)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，選擇較優(yōu)參數(shù)組合；最后用改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化推料機(jī)齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)。

1 推料機(jī)工作原理和優(yōu)化目標(biāo)

本研究以某自動(dòng)化生產(chǎn)線的推料機(jī)為原型，按照1∶1比例對(duì)其進(jìn)行三維建模。

其三維模型如圖1所示。

圖1 推料機(jī)三維模型1-交流伺服電機(jī)；2-導(dǎo)柱；3-推爪；4-導(dǎo)條；5-齒輪座

該推料機(jī)以交流伺服電機(jī)1為動(dòng)力源，經(jīng)過一級(jí)齒輪減速后，通過齒輪齒條傳動(dòng)實(shí)現(xiàn)推爪4的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

其傳動(dòng)簡圖如圖2所示。

圖2 推料機(jī)齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)

其中，推爪末端與物料一端接觸，將其推至下一工位，導(dǎo)條4和導(dǎo)柱2用于控制推爪的運(yùn)動(dòng)路徑。圖1所示位置，推爪向左移動(dòng)為工作行程，返回則為空行程，由光纖傳感器對(duì)兩端極限位置進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

推料機(jī)作為生產(chǎn)線的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，對(duì)生產(chǎn)節(jié)拍和可靠運(yùn)行均起著重要作用。依據(jù)生產(chǎn)線實(shí)際情況，加工過程對(duì)物料運(yùn)行時(shí)間、姿態(tài)和位置精度都有著較高要求，因此，必須保證推料機(jī)的運(yùn)動(dòng)精度和平穩(wěn)性。

該推料機(jī)主要傳動(dòng)機(jī)構(gòu)為齒輪傳動(dòng)，影響齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的因素有很多，但幾乎都與重合度有關(guān)[8]，且重合度越大，平穩(wěn)性越高；但重合度的增加通常會(huì)導(dǎo)致體積增大，從而加大齒輪間的換向沖擊。因此，本研究選擇重合度和體積作為聯(lián)合優(yōu)化目標(biāo)，使得機(jī)構(gòu)在保證平穩(wěn)性要求的基礎(chǔ)上，體積也在合理的結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)。

2 遺傳算法求解優(yōu)化問題

在實(shí)際機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通常需考慮到多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，且問題被約束在一定的條件范圍內(nèi)，故可將機(jī)械多目標(biāo)優(yōu)化問題描述為：

f(x) minf(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x),]T
s.t.x∈X
gi(x)≤0,u=1,2,…,m
hj(x)=0,v=1,2,…,l

(1)

式中：x—優(yōu)化變量；f(x)—優(yōu)化函數(shù)；X—變量范圍；gi(x)，hj(x)—約束條件。

基本遺傳算法本身不具有約束函數(shù)的處理能力，可引入新的目標(biāo)函數(shù)：

(2)

式中：G[gi(x)]，H[hj(x)]—懲罰項(xiàng)；r(k)—懲罰因子。

于是，新的目標(biāo)函數(shù)即為原優(yōu)化問題的無約束形式：F(x)(x,rk),k=1,2,3,…,x∈X。

式(2)中，當(dāng)解x不滿足約束條件時(shí)，懲罰函數(shù)的值會(huì)變大，從而導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的值增大，在尋優(yōu)過程中被淘汰。隨著進(jìn)化代數(shù)增加，不在約束范圍內(nèi)的個(gè)體將逐漸被淘汰，最后趨近于零，函數(shù)F(x)的收斂解x(rk)即為式(1)的優(yōu)化解。

針對(duì)上述優(yōu)化形式，采用了帶懲罰函數(shù)的遺傳算法，其求解步驟為：

(1)建立帶懲罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)：

(3)

懲罰因子r(k)既可以是常數(shù)，也可是隨著進(jìn)化代數(shù)逐漸變化的序列；

(2)標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法采用二進(jìn)制編碼，其編碼方式單一，局限性較大；實(shí)際優(yōu)化問題中需根據(jù)變量的特點(diǎn)，對(duì)不同類型的變量采用不同的編碼方式，在該優(yōu)化中采用離散與連續(xù)混合編碼的方式。

針對(duì)離散變量，本研究利用一個(gè)數(shù)組表示其可選值的集合，在Matlab中，通過M文件xVariable.m來實(shí)現(xiàn)：

functionxt=xVariable(x)
allxt=[x1,x2,x3,…];
x(1)=allxt[x(1)];%t=1,2,…,ζ

(4)

(3)在ζ維解空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群P0，種群大小為N，給定搜索精度ε；

(4)對(duì)種群Ps進(jìn)行交叉、變異操作，產(chǎn)生新的子代種群Qs；

(5)基于目標(biāo)函數(shù)，對(duì)父代Ps與子代Qs中的所有個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度值計(jì)算，從而獲取最優(yōu)個(gè)體X*(s)，若滿足搜索條件|X*(s)-X*(s-1)|≤ε，則輸出最優(yōu)解X*(s)；若不滿足，執(zhí)行步驟(6)；

(6)基于擁擠度比較算子將父代種群Ps與子代種群Qs排序，并按照精英選擇策略進(jìn)行修剪，得到種群Ps+1，種群大小保持為N；返回步驟(4)。

3 推料機(jī)齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 數(shù)學(xué)模型的建立

機(jī)構(gòu)采用MSMA082A1H型交流伺服電機(jī)，電機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，輸入功率為0.75 kW，減速比為1∶3。

系統(tǒng)工作時(shí)載荷穩(wěn)定，壽命為10年(每年工作300天)。

小齒輪材料為40Cr調(diào)質(zhì)，硬度260 HBS。

大齒輪材料為45鋼調(diào)質(zhì)，硬度為230 HBS。

許用應(yīng)力[σH1]=700 MPa，[σF1]=590 MPa，[σH2]=585 MPa，[σF2]=445 MPa，7級(jí)精度。

根據(jù)以上工作要求，本研究建立齒輪傳動(dòng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

3.1.1 目標(biāo)函數(shù)

(1)第一目標(biāo)函數(shù)

齒條的運(yùn)動(dòng)速度決定推爪的推料速度，物料傳輸間隔為2 s，因此，機(jī)構(gòu)每兩秒完成一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)。推進(jìn)距離為600 mm，即齒輪3的線速度為600 mm/s，轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，則有mz3=36 mm為確定值，因此，只需以齒輪1和齒輪2的體積和作為體積目標(biāo)函數(shù)，即：

(5)

其中：小齒輪齒寬b1比大齒輪齒寬b2寬5 mm。

(2)第二目標(biāo)函數(shù)

齒輪重合度表示在同一時(shí)刻進(jìn)入嚙合的齒數(shù)，輪齒在進(jìn)入嚙合和退出嚙合的瞬間都會(huì)產(chǎn)生一定的沖擊，若在前一對(duì)輪齒退出嚙合前就有下一對(duì)輪齒已進(jìn)入嚙合，會(huì)使傳動(dòng)相對(duì)平穩(wěn)，因此，重合度越大，機(jī)構(gòu)平穩(wěn)性越好。

重合度函數(shù)為：

(6)

式中：z1，z2—兩嚙合齒輪齒數(shù)。

3.1.2 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量由影響目標(biāo)函數(shù)的主要因素確定，一般選取能用來描述結(jié)構(gòu)特征且易獨(dú)立控制的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量。

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)確定的設(shè)計(jì)變量有：

小齒輪齒數(shù)z，模數(shù)m，齒寬系數(shù)φd。

因此，設(shè)計(jì)變量為：X=[x1,x2,x3]=[m,z,φd]。

3.1.3 約束條件

在閉式齒輪傳動(dòng)中，齒輪的主要失效形式是齒面接觸疲勞點(diǎn)蝕和輪齒彎曲疲勞折斷，兩種失效形式分別與齒面接觸應(yīng)力大小和輪齒彎曲應(yīng)力大小有關(guān)。因此，以滿足小齒輪承載能力的性能約束包括：

齒輪接觸應(yīng)力約束：g1(x)=σH1-[σH1]≤0；

輪齒彎曲應(yīng)力約束：g2(x)=σF1-[σF1]≤0。

齒輪模數(shù)m是輪齒抗彎能力的重要標(biāo)志，而且是一系列標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，取常用模數(shù)系列：1.5≤x1≤20；

為防止根切，齒數(shù)約束為：x2≥17；

根據(jù)齒輪相對(duì)于軸承的非對(duì)稱布置，齒寬系數(shù)約束：0.2≤x3≤1.2。

通過選擇相應(yīng)參數(shù)，機(jī)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)如下式所示：

(7)

性能約束條件如下式所示：

(8)

3.1.4 適應(yīng)度函數(shù)

推料機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為體積函數(shù)和重合度函數(shù)，二者數(shù)量級(jí)差異較大，體積值數(shù)量級(jí)平均為104，而重合度為1～2之間，為了避免優(yōu)化過程中重合度被忽略，需對(duì)重合度函數(shù)施加級(jí)差因子λ=104，并將重合度函數(shù)變換為：λ(5-f2)，以保證適應(yīng)度函數(shù)始終為正值。

針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化求解方法，常用的有權(quán)重系數(shù)法、排列選擇法、共享函數(shù)法等。權(quán)重系數(shù)法可將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題，可行性強(qiáng)，通過探討權(quán)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果和收斂性能的影響，選擇合適的權(quán)系數(shù)組合W1、W2。

綜上所述，目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

3.2 算法參數(shù)分析

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法具有自身的局限性，根據(jù)不同的優(yōu)化實(shí)例需做適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)才能更好地發(fā)揮算法的優(yōu)越性。算法改進(jìn)中最重要的方向是針對(duì)參數(shù)的調(diào)整[9-11]。

本節(jié)主要對(duì)懲罰因子、權(quán)系數(shù)進(jìn)行分析調(diào)整。

(1)懲罰因子

懲罰函數(shù)是對(duì)約束條件的處理，懲罰因子僅表示對(duì)超出約束范圍變量的懲罰情況，為了避免干擾，本研究選用體積單目標(biāo)函數(shù)分析懲罰因子的變化對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果隨k值變化情況

當(dāng)k=0時(shí)，表示算法不使用罰函數(shù)的情況，此時(shí)優(yōu)化問題屬于無約束優(yōu)化，體積值遠(yuǎn)小于k不為零的情況。

經(jīng)驗(yàn)證，該組變量值并不能滿足約束。隨著懲罰力度的加大，各變量值變化幅度減小，優(yōu)化結(jié)果接近目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；反之，若懲罰因子過大，將排除掉幾乎所有不在約束范圍內(nèi)的個(gè)體，減少了新個(gè)體的引入，容易使函數(shù)陷入局部最優(yōu)解。

為了分析懲罰因子對(duì)收斂效果的影響，筆者選取不同懲罰因子在100次優(yōu)化中收斂到最優(yōu)解的次數(shù)，繪制其關(guān)系曲線圖，如圖3所示。

圖3 k為不同值時(shí)收斂次數(shù)

分析曲線可知：k越大收斂次數(shù)越少，當(dāng)k>=7時(shí)，這種變化趨勢(shì)尤為明顯。為了在使用約束優(yōu)化的同時(shí)保證算法的收斂性，選用k=6。

(2)權(quán)系數(shù)分配

為清楚觀察到各參數(shù)的變化規(guī)律，此處將各參數(shù)統(tǒng)一選用實(shí)數(shù)編碼。分析加權(quán)系數(shù)W1、W2選用不同值時(shí)優(yōu)化結(jié)果的變化情況，如表2所示。

對(duì)于推料機(jī)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，較高的平穩(wěn)性不僅能保證物料在推進(jìn)過程中不受損傷，準(zhǔn)確進(jìn)入到加工位置；還能減小系統(tǒng)震動(dòng)，延長零部件使用壽命。分析表2可知：隨著平穩(wěn)性權(quán)系數(shù)的不斷增加，重合度數(shù)值不斷增大，與此同時(shí)體積也不斷增大；當(dāng)W2>0.7后，重合度數(shù)值的增大反而會(huì)增大適應(yīng)度函數(shù)值，因此優(yōu)化結(jié)果后期變化不大。

結(jié)合數(shù)據(jù)分析和機(jī)構(gòu)實(shí)際需求，本研究選用W1=0.3、W2=0.7的權(quán)系數(shù)組合。

3.3 優(yōu)化結(jié)果分析

Fmincon函數(shù)為Matlab最常用優(yōu)化函數(shù)之一，能對(duì)非線性等式或不等式約束優(yōu)化問題的最值進(jìn)行求解。

Fmincon函數(shù)與改進(jìn)的遺傳算法對(duì)推料機(jī)齒輪傳動(dòng)的結(jié)果對(duì)比如表3所示。

表2 不同權(quán)系數(shù)時(shí)優(yōu)化結(jié)果

表3 fmincon函數(shù)與改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

在兩種優(yōu)化方法中，多目標(biāo)優(yōu)化和單目標(biāo)優(yōu)化相比，重合度有顯著增加，而體積也在允許的增長范圍內(nèi)，表明了多目標(biāo)優(yōu)化能避免單目標(biāo)優(yōu)化顧此失彼的缺點(diǎn)。

對(duì)比兩種優(yōu)化方法，改進(jìn)的遺傳算法較fmincon函數(shù)優(yōu)化效果更明顯，體現(xiàn)了其在多維非線性復(fù)雜優(yōu)化問題上的優(yōu)越性。針對(duì)遺傳算法對(duì)單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行分析可得，重合度增加了3.03%，能有效提高推料機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

綜上所述，當(dāng)懲罰因子指數(shù)k=6，體積加權(quán)系數(shù)W1=0.3，重合度加權(quán)系數(shù)W2=0.7時(shí)，用遺傳算法對(duì)推料機(jī)齒輪參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果為：x=[2.0,26.0,0.22]，體積V=1.473 9×105mm2，重合度ε=1.715 9。

推料機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果為：z1=26，z2=78，z3=18，m1=m2=m3=2，b1=17，b2=12，b3=18。

與優(yōu)化前對(duì)比，該設(shè)計(jì)方案提高了傳動(dòng)的平穩(wěn)性，且體積在合理的結(jié)構(gòu)范圍內(nèi)。

4 結(jié)束語

(1)本研究以推料機(jī)為研究對(duì)象，同時(shí)考慮到傳動(dòng)平穩(wěn)性和體積兩方面，建立了其多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；采用離散編碼和連續(xù)變量編碼相結(jié)合的編碼方式，選取跨世代精英選擇策略，用加權(quán)系數(shù)法構(gòu)建帶罰函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)，并探討了懲罰因子、加權(quán)系數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，結(jié)果表明：當(dāng)懲罰因子指數(shù)k=6，體積加權(quán)系數(shù)W1=0.3，重合度加權(quán)系數(shù)W2=0.7時(shí)，算法易收斂且優(yōu)化效果好；

(2)本研究利用遺傳算法對(duì)推料機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果為：齒輪齒數(shù)值為z1=26，z2=78，z3=18，模數(shù)值為m1=m2=m3=2，齒寬值為b1=17，b2=12，b3=18。

經(jīng)對(duì)比分析，齒輪傳動(dòng)重合度增加了3.03%，有效提高了推料機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性。