李周平，王龍飛

(陜西國防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)控工程系，陜西 西安 710300)

0 引 言

柔性電子技術(shù)近些年來發(fā)展迅速，可應(yīng)用于環(huán)境監(jiān)測、顯示器以及人機(jī)交互性等方面[1]，也可應(yīng)用于碳納米管[2-4]、無機(jī)半導(dǎo)體材料[5]、光電工程等[6]。CHIOLERIO A[7]和YIN Z P[8]研究了柔性電子產(chǎn)品的噴墨打印技術(shù)，包括將柔性設(shè)備應(yīng)用于實(shí)際材料的問題；KHALEEL H R[9]和VYAS R[10]研究分析了柔性電子技術(shù)在天線方面的應(yīng)用；文獻(xiàn)[11-13]分析了在柔性聚合物基板上制造高性能低電壓石墨場效應(yīng)晶體管；LINZ T, KALLMAYER C等[14]在短袖上安裝了一個靈活的電子測試模塊來測量心電圖(EKG)信號。

MACDONALD W A, LOONEY M K等[15]討論了在電子應(yīng)用中如何選擇塑料材料，以及如何通過過程控制的例子增加最佳操作性能的關(guān)鍵問題；JAIN K, KLOSNER M等[16]介紹了一種新型的滾轉(zhuǎn)式光刻系統(tǒng)，該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是解決分辨率、面板尺寸、工藝吞吐量、襯底變形、材料處理和產(chǎn)量等問題；CHEN Ying[17]，MCALPINE M C[18]研究了納米材料在柔性電子技術(shù)發(fā)展中的應(yīng)用；JONG Y H, CHANG T H等[19]報(bào)告了一種高性能的柔性微波和數(shù)字電子產(chǎn)品，它消耗了在生物降解、可降解和可彎曲的纖維素納米纖維紙上潛在的有毒物質(zhì)；TOK J B H, BAO Zhe-nan等[20]總結(jié)了對柔性可伸縮電子、傳感器和電源領(lǐng)域產(chǎn)生重要影響的幾個重要結(jié)論；ZARDETTO V, BROWN T M等[21]在設(shè)備制造過程中通過一系列的測試來確定它們的光學(xué)、機(jī)械彈性、溫度穩(wěn)定性(電導(dǎo)率和變形)；CHAN B D, HSIEH K H等[22]提出了一種用于制備微型有機(jī)柔性電極的轉(zhuǎn)印沖壓工藝，該工藝還可用于在介電/離子薄膜上制備電極，從而獲得有機(jī)的柔性電容；CHEN X, HUTCHINSON J W[23]研究發(fā)現(xiàn)：在一系列柔性電子模型中，柔性基板上的人字形模型消耗了最小能量；文獻(xiàn)[24-26]通過構(gòu)建理論模型，來分析柔性電子結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變、剪應(yīng)力和開裂應(yīng)力等。

KIM S H, CHA H Y等[27]利用薄柔性印刷電路板作為一種電流收集器，以減少吸氣式單極堆的體積，而被動空氣呼吸作用下的定向效應(yīng)幾乎可以忽略不計(jì)；LI Shuang, LIU Xiao-li等[28]研究表明：剪切變形在柔性電子層和結(jié)構(gòu)粘接層中占據(jù)了重要位置，而通過提出準(zhǔn)確的分析模型，可以忽略正常的應(yīng)變誘導(dǎo)變形；LEE Y, BAE S等[29]生產(chǎn)圓片形、高質(zhì)量的石墨烯薄膜，通過金屬層的瞬間蝕刻，將其傳送到任意的基片上；HUANG Yong-an, YIN Zhou-ping等[30]通過熱機(jī)械分析研究了3種不同柔性電子模型基底上的溫度效應(yīng)；SONG J, HUANG Y等[31]研究了一種非共面網(wǎng)格設(shè)計(jì)，可使電子系統(tǒng)在理論上和實(shí)驗(yàn)中達(dá)到可逆、大水平的彈力能力，并建立了一個力學(xué)模型來分析未知的物理量；SONG J[32], KHANG D Y[33]研究了柔性電子中一維、棋盤格狀、有序人字形3種屈曲模型.

針對傳統(tǒng)的柔性電子結(jié)構(gòu)多是層和結(jié)構(gòu)問題，本文將提出一種新型回形包裹線柔性電子結(jié)構(gòu)。

1 模型與分析

柔性單晶硅材料在構(gòu)建柔性硅基光電器件方面有著重要的基礎(chǔ)作用，目前柔性單晶硅的制備方法主要有兩種：薄化單晶硅材料和低維化硅材料方法[34]。

回形包裹線結(jié)構(gòu)三維實(shí)體示意圖如圖1所示。

圖1 柔性電子回形結(jié)構(gòu)三維示意圖

聚合物層將單晶硅區(qū)域包圍在中間位置，以保證在受到外力沖擊時，聚合物層保護(hù)單晶硅區(qū)域，使其不受干擾。包裹線一般承受橫向剪切和彎曲負(fù)載。

柔性電子回形包裹線結(jié)構(gòu)截面二維圖如圖2所示。

圖2 柔性電子回形結(jié)構(gòu)二維平面圖

結(jié)構(gòu)的幾何中心設(shè)計(jì)在原點(diǎn)，因?yàn)榛匦谓Y(jié)構(gòu)是一個對稱結(jié)構(gòu)，因此本文只分析模型的上半部分。模型的幾何尺寸為：h1=20 μm,h=40 μm,L1=25 μm,L2=50 μm,L=75 μm。PDMS系統(tǒng)的材料特性為：EPDMS=2 MPa,νPDMS=0.48。

根據(jù)經(jīng)典力學(xué)建立各區(qū)域線性方程：

0u=u11=θ11(x)z,0u=u12=θ11(x)z+θ12(x)(z-h1),h1w=w1(x)

(1)

L1u=u21=θ21(x)z,0u=u22=θ21(x)z+θ22(x)(z-h1),h1w=w2(x)

(2)

L2u=u31=θ31(x)z,0u=u32=θ31(x)z+θ32(x)(z-h1),h1w=w3(x)

(3)

式中：x—橫向坐標(biāo)；z—橫向坐標(biāo)；u—x方向位移；w—z方向位移；θ—旋轉(zhuǎn)角度；L—x方向長度；h—z方向高度；u，w，θ的第一個下標(biāo)1、2、3—x方向的區(qū)域，0

在本文的后面部分，下標(biāo)1、2、3具有相同的含義。

通過求導(dǎo)得到結(jié)構(gòu)的軸向應(yīng)變和剪切應(yīng)變：

0

h1

(4)

L1

h1

(5)

L2

h1

(6)

式中：εx—軸向應(yīng)變；γxz—剪切應(yīng)變。

正應(yīng)力和剪應(yīng)力可以從梁變形理論的基本平衡方程推導(dǎo)，即：

L1

h1

(8)

L2

h1

(9)

式中:σx—正應(yīng)力；τxz—剪應(yīng)力；E1—單晶硅彈性模量；G1—單晶硅剪切模量；E2—聚合物彈性模量；G2—聚合物剪切模量。

根據(jù)虛功原理，可以得到：

(10)

式中：δεx—結(jié)構(gòu)的虛軸向應(yīng)變；δγxz—結(jié)構(gòu)的虛剪切應(yīng)變；δw—結(jié)構(gòu)z方向虛位移；q(x)—結(jié)構(gòu)的外部載荷；b—結(jié)構(gòu)的寬度。

將式(4，7)代入式(10)，并進(jìn)行分部積分，可以得到：

(11)

式(11)中的力和力矩定義如下：

(12)

(13)

(14)

式中：Mij(x)—結(jié)構(gòu)不同區(qū)域受到的力；Qij(x)—結(jié)構(gòu)不同區(qū)域受到的力矩；δθij(x)—虛旋轉(zhuǎn)角度。(i,j=1,2,3)

令系數(shù)δθ11，δθ12，δw1，δθ21，δθ22，δw2，δθ31，δθ32，δw3為零，可以得到如下微分方程：

(15)

(16)

(17)

將式(4～9)和式(12～14)代入式(15～17)，可以得到：

(18)

(19)

(20)

式(18～20)相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式如下：

(21)

(22)

(23)

2 邊界條件與解析

為了便于求解計(jì)算，應(yīng)對式(18～20)中的平衡方程進(jìn)行積分計(jì)算。將邊界條件代入式(21～23)，求解其方程根，將得到的方程根代入式(4～6)，就可以得到回形結(jié)構(gòu)的應(yīng)力/應(yīng)變分布。

設(shè)定系統(tǒng)的邊界條件如下：

x=0:θ11(x)=0,θ12(x)=0,ω1(x)=0

x=L1:θ11=θ21,θ12=θ22,w1=w2,M11=M21,

M12=M22,Q11=Q21

x=L2:θ21=θ31,θ22=θ32,w2=w3,M21=M31,

M22=M32,Q21=Q31

(24)

因?yàn)閝i(x)(i=1,2,3)等于零，因此式(18～20)中的平衡方程通過簡化可以得到最終的精確解：

α4x2+α5x+α6

θ12(x)=α1exp(λ1x)+α2exp(λ2x)+α3

(25)

β4x2+β5x+β6

θ22(x)=β1exp(κ1x)+β2exp(κ2x)+β3

(26)

φ4x2+φ5x+φ6

θ32(x)=φ1exp(η1x)+φ2exp(η2x)+φ3

(27)

Aij,Bij,Cij可以從式(21～23)中得到，同時，αi,βi,φi(i=1～8)可以從式(24)的邊界條件中得到。將式(25～27)代入式(4～9)，便可得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變。

3 結(jié)果分析

通過計(jì)算本文得到了回形包裹線結(jié)構(gòu)應(yīng)變分布的數(shù)值解，將其與有限元仿真得到的結(jié)果進(jìn)行對比。

回形包裹線結(jié)構(gòu)理論模型與有限元模型對比得到的應(yīng)變曲線如圖3所示(十字點(diǎn)圖代表有限元模型得到的應(yīng)變曲線，菱形線圖代表理論模型得到的應(yīng)變曲線)。

圖3 PDMS系統(tǒng)不同位置處應(yīng)變分布圖

圖3(a)顯示：在x=16 μm處理論模型得到的應(yīng)變曲線是一條依次增大的折線圖，而有限元模型得到的結(jié)果是一條曲線圖，接近于理論結(jié)果。在x=16 μm處材料均為PDMS聚合物，故有限元模型結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果契合度較高。

圖3(b)顯示：在x=36 μm處有限元模型和理論模型得到的結(jié)果圖，在-20

圖3(c)的結(jié)果與圖3(b)的結(jié)果很接近，因?yàn)閮烧叩奈恢眯畔⒉杉c(diǎn)較近，一個信息采集點(diǎn)是x=36 μm，另一個信息采集點(diǎn)點(diǎn)是x=40 μm。

圖3(d)顯示：在x=63 μm處有限元模型和理論模型得到的結(jié)果圖，在-40

通過圖3的分析得知：中間區(qū)域的單晶硅區(qū)域，在外力作用下受到的應(yīng)變最小，越靠近結(jié)構(gòu)邊緣，受到的應(yīng)變越大。理論模型結(jié)果與有限元模型結(jié)果契合良好，且有相同的走向，因此證明了理論模型的正確性。

4 結(jié)束語

本研究建立了新型柔性電子回形包裹線結(jié)構(gòu)的各個區(qū)域的線性方程，通過虛功原理得到了回形結(jié)構(gòu)最終的應(yīng)變解析解，再通過有限元軟件建模分析，得到了結(jié)構(gòu)應(yīng)變的有限元解，通過二者的比較，驗(yàn)證了理論模型結(jié)構(gòu)的正確性和合理性。結(jié)論如下：

(1)基于材料力學(xué)知識建立了柔性電子回形包裹線結(jié)構(gòu)的理論模型和基本方程；

(2)柔性電子回形包裹線結(jié)構(gòu)有限元模型結(jié)果與理論模型結(jié)果相比較，契合性好，有相同一致性和趨勢；

(3)提出了一種新的柔性電子回形包裹線結(jié)構(gòu)理論模型，為柔性電子產(chǎn)品的生產(chǎn)、加工和設(shè)計(jì)提供了新的思路，這種新的回形包裹線結(jié)構(gòu)可用于柔性電子結(jié)構(gòu)的機(jī)械性能和穩(wěn)定性的分析。

新的柔性電子回形包裹線結(jié)構(gòu)為人們分析柔性電子結(jié)構(gòu)的機(jī)械性能和材料性能提供了一個新的方向和視角，使得柔性電子技術(shù)的應(yīng)用，由平面產(chǎn)品應(yīng)用轉(zhuǎn)向直線產(chǎn)品應(yīng)用，并且使得微米級柔性電子線纜應(yīng)用于電子產(chǎn)業(yè)成為可能。