朱春艷，陳必發(fā)，張美艷，唐國(guó)安*

(1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海201109；2.復(fù)旦大學(xué)航空航天系,上海200433)

1 引言

航天器在軌展開后在結(jié)構(gòu)上可看作一個(gè)航天器本體帶有一個(gè)柔性附件,如撓性天線、太陽(yáng)電池翼以及大型桁架結(jié)構(gòu)。展開后的柔性體結(jié)構(gòu)具有跨度大、剛度低、弱阻尼等特點(diǎn),在動(dòng)力學(xué)特性上表現(xiàn)為固有頻率較低、振動(dòng)被激發(fā)后較難衰減,可能引起結(jié)構(gòu)破壞,或降低航天器姿態(tài)穩(wěn)定性等不好的后果。

眾多學(xué)者探求了多種方法降低柔性航天器在軌過(guò)程中被激發(fā)的彈性振動(dòng)。其中,輸入整形(Input Shaping)技術(shù)是將原輸入指令信號(hào)與一系列的脈沖序列卷積生成新的整形指令作為控制信號(hào),以消除系統(tǒng)彈性振動(dòng)的控制方法［1-2］。Singhose等［3］針對(duì)一個(gè)二自由度系統(tǒng),分別采用一階零位移整形器、二階零位移整形器、極不靈敏度整形器整形輸入信號(hào),將仿真結(jié)果與地面試驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比,取得了很好的減振效果。NASA與MIT曾經(jīng)合作了一個(gè)項(xiàng)目,基于Matlab數(shù)學(xué)模型,采用輸入整形降低一個(gè)處于微重力環(huán)境下的彈性系統(tǒng)的振動(dòng),結(jié)果也同樣證明了這種方法的有效性［4］。 劉瑋等［5］針對(duì)柔性航天器艙體搬運(yùn)時(shí)的輸入整形振動(dòng)抑制方法進(jìn)行研究并開展了原理試驗(yàn)。上述研究均表明,輸入整形技術(shù)可有效降低系統(tǒng)彈性振動(dòng)。

航天器的姿態(tài)調(diào)整可能激發(fā)柔性結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)。針對(duì)電池翼姿態(tài)調(diào)整過(guò)程,采用輸入振型技術(shù)可達(dá)到同樣的調(diào)姿過(guò)程,并有效抑制彈性振動(dòng)。NASA以一個(gè)Lewis小衛(wèi)星為研究對(duì)象,采用零位移整形方法消除了衛(wèi)星電池陣的殘余振動(dòng),但整形階次較多時(shí)輸入整形方法會(huì)引入不可忽略的輸入延時(shí),文中沒(méi)有針對(duì)此種現(xiàn)象進(jìn)行額外的處理［6］。 朱春艷、那帥等［7-9］針對(duì)帶柔性附件的航天器變軌、調(diào)姿過(guò)程中的振動(dòng)抑制問(wèn)題進(jìn)行研究,并輔以地面原理性試驗(yàn)加以驗(yàn)證,但文中的原理性試驗(yàn)對(duì)航天器變軌、調(diào)姿的過(guò)程模擬較為簡(jiǎn)單。胡軍等［10］以降低航天器軌控過(guò)程中太陽(yáng)翼與星體之間的作用力和作用力矩為控制目標(biāo)實(shí)施整形控制,仿真結(jié)果表明文中方法具有很好的減振效果和魯棒性,但缺乏試驗(yàn)驗(yàn)證。

本文針對(duì)我國(guó)空間站的太陽(yáng)電池翼利用驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)調(diào)整過(guò)程所激發(fā)出來(lái)的彈性振動(dòng)進(jìn)行抑振研究,在不改變調(diào)姿運(yùn)動(dòng)路徑的前提下,利用α機(jī)構(gòu)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)達(dá)到整形輸入角速度的目的,實(shí)現(xiàn)對(duì)太陽(yáng)電池翼彈性振動(dòng)的抑制。

2 基本原理

參考文獻(xiàn)［1］～［4］,結(jié)構(gòu)受到給定的外部載荷激勵(lì)后將產(chǎn)生特定的振動(dòng)響應(yīng),若結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣分別記為K、M、C,那么響應(yīng)x(t)與激勵(lì)f(t)應(yīng)滿足式(1)所示控制方程：

根據(jù)常微分方程理論,方程(1)的解由齊次通解x0(t)和特解xf(t)兩部分構(gòu)成。通解對(duì)應(yīng)于自由振動(dòng)響應(yīng),形式如式(2)：

式中n是結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型自由度,c1、ˉc1、…、cn、ˉcn是與初始條件x(0)、(0)以及特解在初始時(shí)刻狀態(tài)xf(0)、(0)有關(guān)的、并且以成對(duì)共軛形式出現(xiàn)的常數(shù)向量,也是以成對(duì)共軛形式出現(xiàn)的特征值。對(duì)式(1)作Laplace變換,得到式(3)：

式中X(s) ＝ L［x(t)］和F(s) ＝ L［f(t)］分別是函數(shù)x(t)和f(t)的Laplace變換,也稱為輸出函數(shù)和輸入函數(shù)。若將輸入函數(shù)F(s)調(diào)整為式(4)：

式中函數(shù)H(s)稱為整形器,定義為式(5)：

被評(píng)為一、二等級(jí)的野生鐘花櫻見圖1～圖12。受野生鐘花櫻生長(zhǎng)的地理位置及地形的影響，使得圖片拍攝效果與實(shí)際存在一定差異。從圖片上看，一級(jí)單株，樹形優(yōu)美，花量大，顏色鮮艷，觀賞效果好；二級(jí)單株樹形較好，花量較大，顏色鮮艷，觀賞效果較好；三級(jí)單株觀賞效果次之，四級(jí)觀賞效果最差，從整體上看，各級(jí)單株觀賞效果過(guò)渡明顯，實(shí)際觀賞效果與以上分級(jí)結(jié)果基本一致。說(shuō)明在Delphi法權(quán)重基礎(chǔ)上采用灰色關(guān)聯(lián)分析法得出的野生鐘花櫻觀賞性評(píng)價(jià)結(jié)果準(zhǔn)確客觀。

那么對(duì)應(yīng)于關(guān)系式(6),新的輸出函數(shù)將變成式(6)的形式：在公式(11)最后一個(gè)等式右邊的第一項(xiàng)中,

分子和分母包含有相同的、可以約去的零點(diǎn)λ1、。 因此,對(duì)應(yīng)于整形后的輸入函數(shù)輸出函數(shù)(s)將不再含有非零極點(diǎn),那么經(jīng)過(guò)Laplace反變換之后就不再含有(2)所表示的通解,即整形器的作用在于抑制結(jié)構(gòu)在外力激勵(lì)下的自由振動(dòng)響應(yīng)。

3 航天器調(diào)姿過(guò)程振動(dòng)抑制的實(shí)現(xiàn)

3.1 驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

航天器的姿態(tài)調(diào)整對(duì)于太陽(yáng)電池翼、薄膜天線等柔性結(jié)構(gòu)是一種振動(dòng)激勵(lì)。由于調(diào)姿的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是根據(jù)任務(wù)設(shè)定的,不可能直接對(duì)其用輸入整形方法進(jìn)行修改。然而,對(duì)于類似于通過(guò)α機(jī)構(gòu)安裝在空間站上的柔性太陽(yáng)電池翼,若將空間站本體已經(jīng)設(shè)定好的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Ω0(t)視為牽連運(yùn)動(dòng),將可以操控的α機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Ωr(t)視為相對(duì)運(yùn)動(dòng),那么牽連運(yùn)動(dòng)Ω0(t)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)Ωr(t)合成后的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)角速度Ω0(t)+Ωr(t)就可以作為經(jīng)過(guò)整形的輸入Ω～(t)用于抑制調(diào)姿過(guò)程的振動(dòng)響應(yīng),見圖1。于是,用輸入整形方法抑制航天器調(diào)姿過(guò)程振動(dòng)響應(yīng)的實(shí)現(xiàn)途徑可以概括為：

1)獲得航天器本體調(diào)姿的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃,即轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度時(shí)間函數(shù)Ω0(t)；

2)確定柔性電池翼的固有振動(dòng)特性,根據(jù)輸入函數(shù)Ω0(t)設(shè)計(jì)出整形后的時(shí)間函數(shù)Ω～(t)；

3)在啟動(dòng)調(diào)姿時(shí),當(dāng)本體以時(shí)間函數(shù)Ω0(t)描述的角速度開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),α機(jī)構(gòu)以時(shí)間函數(shù)Ωr(t)＝Ω～(t)－Ω0(t)描述的角速度作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.2 整形器參數(shù)的設(shè)計(jì)

在整形器設(shè)計(jì)時(shí),用z變換代替Laplace變換更加方便。記Laplace變換和z變換的參數(shù)分別是s和z,兩者之間的關(guān)系如式(7)［11］：

式中T是具有時(shí)間量綱的參數(shù),由隨后給出的方法確定。由式(7)可知,s平面內(nèi)的特征值在z平面的對(duì)應(yīng)位置分別如式(8)：

利用 L’Hospital法則,對(duì)于 q＝1、…、n,可求得0／0型的極限如式(9)：

q)與(z－ˉpq)也同樣成立。據(jù)以上分析可知,由(5)表示的整形器H(s)變換到z平面后H(z)的零點(diǎn)分別是p1、ˉp1、…、pn、ˉpn。公式(6)表明,整形器H(s)的關(guān)鍵作用在于其零點(diǎn)可以與多項(xiàng)式det(s2M+sC+K)中的零點(diǎn)相互約去。因此,在設(shè)計(jì)具有2n個(gè)特征值的線性結(jié)構(gòu)模型整形器時(shí),不妨在z平面上直接將H(z)的表達(dá)式設(shè)成式(10)：

式中參數(shù)C與T一樣是待定常數(shù)。在數(shù)學(xué)上表達(dá)式(10)可以等價(jià)地改寫成式(11)：

式中a1、…、a2n可以根據(jù)p1、ˉp1、…、pn、ˉpn確定。因?yàn)閜1、ˉp1、…、pn、ˉpn與T有關(guān),所以a1、…、a2n也將依賴T值。根據(jù)z變換的含義,z－1是時(shí)間延遲T,…,z－2n是時(shí)間延遲2nT。那么在時(shí)間域上,用整形器(11)對(duì)輸入函數(shù)Ω0(t)進(jìn)行整形,得到的結(jié)果為式(12)：

即經(jīng)過(guò)整形后總的時(shí)間延遲是2nT。在常值輸入的情況下,即Ω0(t)＝Ω0＝const時(shí),輸出也應(yīng)當(dāng)是相同的常值Ω～(t)＝Ω0。要使得這個(gè)條件也滿足,參考(12)式即可確定常數(shù)C如式 (13)：

表達(dá)式(12)表明整形后的函數(shù)Ω～(t)是函數(shù)Ω(t)、…、Ω(t－T)和Ω(t－2nT)的線性組合。這種線性組合應(yīng)當(dāng)具有保凸性,即單調(diào)的輸入函數(shù)必然能夠產(chǎn)生單調(diào)的輸出函數(shù),式中的系數(shù)a1、…、a2n應(yīng)不小于零。因此,就有了選擇T值的兩條原則：一是使得系數(shù)a1、…、a2n非負(fù)；二是使得總時(shí)間延遲2nT盡可能小。最終確定整形器系數(shù)的過(guò)程可概括為：

1)設(shè)結(jié)構(gòu)的n個(gè)固有頻率和阻尼比分別是ω1、…、 ωn和ζ1、…、 ζn,計(jì)算2n個(gè)特征值 λ1、λ－1＝ ω1(－ ζ1± i) 、…、 λn、λ－n＝ ωn(－ ζn±i)。 設(shè)置一個(gè)整數(shù)N和時(shí)間步長(zhǎng)Δt。

2)對(duì)于k＝0、…、N,依次記T＝kΔt。根據(jù)公式(7)分別計(jì)算z平面內(nèi)各個(gè)極點(diǎn)為式(14)：

3)已知極點(diǎn)表達(dá)式(14),式(10)、(11)可寫成轉(zhuǎn)換式(15),得到系數(shù)如式(16)。式(16)表明,系數(shù)可直接由極點(diǎn)計(jì)算得到。

4)在以上的計(jì)算結(jié)果中,若a1、…、a2n全部非負(fù),則T＝kΔt就是待求的值,此時(shí)可以結(jié)束循環(huán),否則令k＝k+1繼續(xù)下一輪循環(huán)。

5)當(dāng)確定T值以后,可根據(jù)(12)、(13)計(jì)算出常數(shù)C。

4 縮比模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

用于驗(yàn)證輸入整形方法抑制柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的縮比模型如圖2所示,縮比模型基本尺寸如圖3所示。試驗(yàn)裝置由大轉(zhuǎn)臺(tái)、小轉(zhuǎn)臺(tái)、連接部件和柔性翼縮比模型四個(gè)主要部分組成；大轉(zhuǎn)臺(tái)上的圓盤可以按照預(yù)設(shè)行程旋轉(zhuǎn),模擬空間站的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；小轉(zhuǎn)臺(tái)上的圓盤也可以按照預(yù)設(shè)行程旋轉(zhuǎn),模擬α機(jī)構(gòu)的繞軸線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)；連接部件將大轉(zhuǎn)臺(tái)和小轉(zhuǎn)臺(tái)連接成組合體,模擬空間站的資源艙結(jié)構(gòu)；柔性翼縮比模型的基板是彈簧鋼片,再加上若干配重用于調(diào)節(jié)頻率,基頻ωn＝2π×0.91 rad/s。在接近中軸附近的基板上貼了四片電阻式應(yīng)變片,構(gòu)成全橋電路用于測(cè)量柔性翼縮比模型的振動(dòng)。

試驗(yàn)行程如圖4所示,控制兩個(gè)轉(zhuǎn)臺(tái)的MCU上位機(jī)需要時(shí)間同步,以實(shí)現(xiàn)在同一時(shí)刻啟動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)臺(tái),兩個(gè)轉(zhuǎn)臺(tái)分別按照?qǐng)D5圖6中的曲線轉(zhuǎn)動(dòng)。試驗(yàn)開始時(shí),負(fù)責(zé)流程控制的MCU收到指令,首先觸發(fā)用于同步視頻剪輯的閃光燈(繼電器),延時(shí)2秒再向兩個(gè)控制轉(zhuǎn)臺(tái)MCU上位機(jī)同時(shí)發(fā)出電機(jī)啟動(dòng)指令。上位機(jī)按照各自的角速度函數(shù)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)電機(jī)完成試驗(yàn)。期間,若關(guān)閉小轉(zhuǎn)臺(tái)的驅(qū)動(dòng)電機(jī),利用轉(zhuǎn)臺(tái)渦輪蝸桿自鎖作用,可實(shí)現(xiàn)不加整形控制的試驗(yàn)過(guò)程。

大轉(zhuǎn)臺(tái)預(yù)設(shè)的轉(zhuǎn)動(dòng)歷程由勻加速-勻速-勻減速三個(gè)階段構(gòu)成,持續(xù)時(shí)間分別為1.5Tn、Tn和1.5Tn,其中Tn為柔性翼縮比模型自由振動(dòng)的周期,Tn＝2π/ωn≈1.0989 s。

按照減速比180換算成驅(qū)動(dòng)大轉(zhuǎn)臺(tái)的步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速的時(shí)間函數(shù)Ω0(t)如圖5所示。在大轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)激勵(lì)下柔性翼縮比模型的振動(dòng)以一階振型為主,取ω1＝ ωn＝ 2π ×0.91 rad/s,ζ1＝0.01,算得整形器參數(shù)如表1。根據(jù)這組參數(shù),由公式(12)可得經(jīng)過(guò)整形后的轉(zhuǎn)速時(shí)間函數(shù)Ω～(t)。整形前后的時(shí)間函數(shù)Ω～(t)與Ω0(t)對(duì)比如圖6中所示,虛線是未整形的函數(shù),實(shí)線是整形后的函數(shù)。

表1 整形器參數(shù)Table 1 Parameters of input shaper

由于大轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速是根據(jù)姿態(tài)調(diào)整任務(wù)預(yù)設(shè)的、不可更改的。為了使得柔性翼受到的轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)具有等效的整形效果,小轉(zhuǎn)臺(tái)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速的時(shí)間函數(shù)應(yīng)當(dāng)設(shè)置為Ωr(t)＝Ω～(t)－Ω0(t)。

為了驗(yàn)證輸入整形對(duì)柔性翼振動(dòng)抑制的效果,分別進(jìn)行兩組試驗(yàn)：

1)大轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)以轉(zhuǎn)速Ω0(t)旋轉(zhuǎn)、小轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)保持不動(dòng),模擬未作整形處理的情形；

2)大轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)以轉(zhuǎn)速Ω0(t)旋轉(zhuǎn)、小轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)以轉(zhuǎn)速Ωr(t)同步啟動(dòng)旋轉(zhuǎn),模擬施加了整形處理的情形。

圖7顯示了從全橋應(yīng)變片電路測(cè)得的兩條電壓關(guān)于時(shí)間的變化曲線,電壓信號(hào)經(jīng)過(guò)了增益為1000的線性放大,單位是V。細(xì)虛線是未作整形處理情況下的振動(dòng)響應(yīng),粗實(shí)線是施加了整形處理后的振動(dòng)響應(yīng)。由圖可見,輸入整形能夠?qū)?dāng)激勵(lì)結(jié)束后的響應(yīng)峰值從0.53 V降低到0.044 V,即整形后的響應(yīng)峰值只有整形前的8.3%,說(shuō)明輸入整形方法對(duì)抑制柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)有效。

5 結(jié)論

利用彈簧鋼片制作的柔性翼縮比模型試驗(yàn),證實(shí)了類似于太陽(yáng)翼對(duì)日定向的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)在一定情況下可用于實(shí)施輸入整形,能有效抑制航天器本體運(yùn)動(dòng)對(duì)柔性附件的振動(dòng)激勵(lì)。當(dāng)然,這種驗(yàn)證還是很初步的,應(yīng)用到具體型號(hào)還有很多實(shí)際問(wèn)題需要考慮和完善。此外,試驗(yàn)中假設(shè)了大轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速是預(yù)設(shè)的,但實(shí)際情況并不如此,本體的滾轉(zhuǎn)是一種根據(jù)控制要求、帶有反饋的運(yùn)動(dòng)。因此,應(yīng)當(dāng)在線測(cè)量大轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速、再結(jié)合輸入整形算法實(shí)時(shí)調(diào)整小轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速。鑒于輸入整形算法的特點(diǎn),這種在線測(cè)量、實(shí)時(shí)調(diào)整的方法應(yīng)當(dāng)具有可行性,值得在后續(xù)的試驗(yàn)中進(jìn)一步驗(yàn)證。