徐志良，楊小東，彭定強，董明成

(1.重慶大學(xué)教育部深空探測聯(lián)合研究中心,重慶400044；2.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室,重慶400044)

1 引言

人類隨著對外太空探索的加快,需要在提高火箭運載能力之外,探究一種新的高效運輸方式［1］。與傳統(tǒng)太空運輸方式相比,地球天梯具有高效、可靠、單次運輸成本低等特點,受到國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注與研究［2］。

穩(wěn)定性研究一直是地球天梯研究的重點,建造環(huán)境、材料會影響天梯系統(tǒng)的靜力平衡,從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；同樣地,通過動力學(xué)建模與分析,選擇合適的爬升器爬升運動等降低系統(tǒng)振動水平也能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P.Swan［3］等從動力學(xué)分析開始,分析了地球天梯建造環(huán)境。Pearson［4］推導(dǎo)出滿足繩索張力要求的錐度方程,同時也指出為了維持天梯繩索的穩(wěn)定,天梯建造材料需要非常大的比強度。基于碳納米管優(yōu)異的力學(xué)性能,Cohen［5］等建立了天梯系統(tǒng)集中質(zhì)量簡化模型,并通過受力分析計算出天梯繩索質(zhì)量與橫截面積,研究了繩索橫向與縱向振動,為穩(wěn)定性分析提供合理的動力學(xué)建模方法。在該模型基礎(chǔ)上,他進一步分析了爬升器運動對繩索振動的影響［6］。 P.Williams［7］和 P.Woo［8］等基于動態(tài)優(yōu)化思想,推導(dǎo)天梯系統(tǒng)簡化動力學(xué)模型,研究了爬升器運動對系統(tǒng)振動的影響。P.Williams［7］發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整爬升器爬升運動,可使天梯繩索與平衡錘振動降低。

綜上所述,天梯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究主要包括地球天梯的建造環(huán)境、材料、動力學(xué)優(yōu)化等方面,其中動力學(xué)優(yōu)化主要局限于爬升器爬升運動優(yōu)化。但海上平臺偏移范圍會嚴(yán)重影響地球天梯的穩(wěn)定性與定位精度,而目前缺乏研究海上平臺質(zhì)量、繩索幾何參數(shù)等因素對海上平臺偏移范圍的影響。本文考慮海平面風(fēng)速、繩索幾何參數(shù)、海上平臺質(zhì)量的影響,計算海上平臺偏移范圍,研究上述參數(shù)的影響,為未來地球天梯的設(shè)計分析提供參考。

2 天梯系統(tǒng)模型

2.1 天梯系統(tǒng)簡化模型與動力學(xué)建模

地球天梯質(zhì)點位于地球同步軌道［5-6］,在頂端設(shè)置有平衡錘［5］,底端與海上平臺固連,由此可建立簡化模型如圖1所示。其中,mc是平衡錘質(zhì)量,me是天梯爬升器質(zhì)量,mb是海上平臺的質(zhì)量,A(s)是繩索微元橫截面積,de是爬升器爬升高度,db是海上平臺偏移的距離,α為繩索傾斜角度,FT是風(fēng)載荷。根據(jù)拉格朗日方程,可建立天梯系統(tǒng)動力學(xué)方程如式(1)：

式中,Qi為系統(tǒng)廣義力,qi為系統(tǒng)自由度,分別為de、db和α,K、P分別為系統(tǒng)的動能和勢能。

通過拉格朗日方程即可得到天梯系統(tǒng)動力學(xué)方程組［5-8］,然而該系統(tǒng)動力學(xué)方程組是一個非線性方程組,計算難度大,需要對其進行線性化。爬升器一般設(shè)計規(guī)格為 0.8 t［6］,當(dāng)繩索長度為1×105km、天梯繩索數(shù)目為100根時,根據(jù)文獻［5］天梯系統(tǒng)元件質(zhì)量求解公式可得天梯繩索與平衡錘的質(zhì)量分別為1×105t和3×104t,爬升器質(zhì)量遠小于天梯繩索與平衡錘的質(zhì)量,因此可忽略爬升器質(zhì)量對海上平臺和繩索振動的影響?？紤]天梯繩索微角度變形,系統(tǒng)動力學(xué)方程組可簡化為式(2) ～ (4)［5-6］：

其中,FT是風(fēng)載荷,詳細求解流程如2.2.1節(jié)所述,De為爬升器爬升運動,詳見2.2.2節(jié)。其他參數(shù)詳見文獻［5-6］。

2.2 風(fēng)載建模與爬升器爬升運動設(shè)定

2.2.1 海上平臺周邊風(fēng)速與風(fēng)載模型

天梯系統(tǒng)雖然一般建在風(fēng)浪少、雷暴少的平靜海域,但由于天梯繩索長度過長,海上平臺附近風(fēng)速與風(fēng)向會導(dǎo)致海上平臺偏移,從而影響海上平臺的穩(wěn)定與定位。風(fēng)速分布模型主要分為瑞利模型與威布爾模型［9］,對于有著穩(wěn)定風(fēng)速的較平靜海域,威布爾模型更接近實際［11］。本文采用威布爾模型來模擬海上平臺附近海域整體風(fēng)速統(tǒng)計規(guī)律［11］,模型分布函數(shù)如式(5)：

其中,k為形狀參數(shù)；c為尺度參數(shù)；v為風(fēng)速,與海平面相切,m/s。如果已知該海域風(fēng)速均值與方差,可由式(6)～(7)估算威布爾模型的形狀參數(shù)與尺度參數(shù)［10-11］：

其中,ρ為空氣密度,kg/m3；r為葉片半徑,m；Cp為風(fēng)能利用系數(shù)；w為風(fēng)機轉(zhuǎn)速,rad/s。風(fēng)載荷Fb為外載直接作用于海上平臺。

2.2.2 爬升器爬升運動設(shè)定

文獻［5-6］的研究表明,爬升器運動對海上平臺和天梯繩索的彈性振動存在影響。一般地,爬升器上升運動主要分為加速段、勻速段和減速段［3］,最后在地球同步軌道停止爬升?？紤]地球同步軌道高度,本文設(shè)爬升器高度De與時間存在式(9)所示關(guān)系：

其中,E(v)為風(fēng)速均值,m/s；D(v)為風(fēng)速方差,m2/s2；Γ為伽馬函數(shù)。通過Matlab的威布爾分布隨機數(shù)生成器wblrnd生成隨機風(fēng)速數(shù)據(jù),對應(yīng)采樣時間點,即可得到風(fēng)速的周期變化趨勢［11］。

天梯系統(tǒng)多采用風(fēng)力發(fā)電機吸收風(fēng)能來維持海上平臺的穩(wěn)定,并降低風(fēng)級對天梯系統(tǒng)的穩(wěn)定與定位的影響［3］。本文基于威布爾分布的隨機風(fēng)速模型模擬時變載荷作為海上平臺風(fēng)力發(fā)電機的動力,風(fēng)速轉(zhuǎn)化的風(fēng)載荷直接作用在風(fēng)力發(fā)電機的葉片上,采用空氣動力學(xué)理論［11-12］,則作用在單位葉片上的風(fēng)載荷FT如式(8)：

其中,T1、T2、T3分別為爬升器加速段、勻速段、減速段周期時長。爬升器從地球表面爬到地球同步軌道耗時3天以上,時間太長,不利于計算分析,并且仿真時長對海上平臺偏移范圍影響微乎其微,為了簡化運算,本文設(shè)定T1為93 s,T2為1000 s,T3為2000 s。

3 繩索幾何參數(shù)、海上平臺質(zhì)量與風(fēng)級的影響分析

將海上平臺周邊風(fēng)速與風(fēng)載模型、爬升器運動及文獻［5］中的參數(shù)代入式(2)～式(4)并在Matlab中編程計算,即可獲得海上平臺偏移范圍。本章主要研究繩索幾何參數(shù)、海上平臺質(zhì)量與風(fēng)級對平臺偏移范圍的影響。

3.1 風(fēng)速與風(fēng)向?qū)ζ品秶挠绊?/h3>

中國氣象臺于2001年下發(fā)《臺風(fēng)業(yè)務(wù)和服務(wù)規(guī)定》,將風(fēng)力等級分為17級［13］。由于天梯系統(tǒng)海上平臺一般設(shè)置在風(fēng)浪小的海域,本文仿真的風(fēng)力主要是第3、4、6級,平行于海平面,且方向分別為j坐標(biāo)軸的正半軸方向(簡稱正向)與負(fù)半軸方向(簡稱負(fù)向)。海上平臺偏移范圍是系統(tǒng)動力學(xué)的重要指標(biāo),本節(jié)主要研究風(fēng)速與風(fēng)向?qū)Ｉ掀脚_偏移范圍的影響。

選取文獻［11］的風(fēng)力發(fā)電機設(shè)計參數(shù),葉片半徑為33 m,風(fēng)力發(fā)電機轉(zhuǎn)速為14.8 r/min,風(fēng)密度為1.21 kg/m3,風(fēng)能利用系數(shù)為0.55,海上平臺質(zhì)量為1×108kg,仿真結(jié)果如圖2、表1所示。

表1顯示,風(fēng)速對海上平臺偏移范圍存在影響,風(fēng)速增加會導(dǎo)致海上平臺向原點移動,但不改變偏移范圍幅值；風(fēng)向改變會導(dǎo)致海上平臺遠離原點,但不改變偏移幅值；與下文3.2節(jié)不考慮風(fēng)向與風(fēng)速影響的仿真結(jié)果相比,可看出考慮風(fēng)速與風(fēng)向的影響會增大海上平臺的偏移范圍與幅值。

表1 風(fēng)向與風(fēng)速對海上平臺偏移范圍的影響Table 1 The influence of the wind speed and direction on the deviation range of offshore platform

3.2 繩索幾何參數(shù)與海上平臺質(zhì)量對偏移范圍的影響

本節(jié)研究不考慮風(fēng)速與風(fēng)向影響時系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)對偏移范圍的影響。將表2的參數(shù)代入式(2)～式(4)并經(jīng)Matlab編程仿真可得海上平臺偏移范圍,結(jié)果如圖3、圖4和表3所示。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Parameters of simulation

圖3顯示,海上平臺質(zhì)量對其偏移范圍振蕩期的影響較?。粓D4(b)表明,當(dāng) L0為8×107m時,振蕩期0～376.7 s；當(dāng)L0為1×108m時,繩索偏移范圍較大,振蕩期0～596.1 s；當(dāng)L0為1.2×108m時,振蕩期0～93 s。

表3 系統(tǒng)主要參數(shù)對海上平臺偏移范圍的影響Table 3 The influence of main parameters on the deviation range of offshore platform

表3顯示,海上平臺質(zhì)量mb對海上平臺偏移幅值存在影響,mb變化,偏移值的變化分別是0.59 km、0.53 km和0.55 km；繩索最大橫截面積Am對海上平臺偏移范圍幅值存在影響,分別是0.72 km、0.48 km和0.56 km；繩索長度L0對海上平臺偏移范圍幅值存在影響,偏移范圍分別是［－46.22 km,－46.61 km］、［－72.25 km,－72.80 km］和［－104.10 km,－104.80 km］,幅值是0.39 km、0.55 km和0.70 km。同時,通過對比表3的仿真結(jié)果,可進一步發(fā)現(xiàn),合理選取繩索幾何參數(shù)和海上平臺質(zhì)量有利于地球天梯穩(wěn)定。

4 結(jié)論

1)基于以往天梯系統(tǒng)動力學(xué)模型,仿真發(fā)現(xiàn)風(fēng)速與風(fēng)向會增大海上平臺的偏移范圍與幅值。

2)繩索長度越長時,海上平臺偏移越遠,且偏移范圍越寬；當(dāng)Am＝20 mm2和mb＝1×108kg時,海上平臺偏移范圍最窄。