錢文華

摘要：本文主要考慮從另一學(xué)科角度考慮某個(gè)學(xué)科內(nèi)問(wèn)題的時(shí)候?qū)λ紤]的對(duì)象可以得到不同的描述，很多時(shí)候使得結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)潔，也更容易被理解。

關(guān)鍵詞：代數(shù)；冪集；交換群；Sylow定理、

一、引言

我們將通過(guò)具體例題的方式來(lái)說(shuō)明，在解決某個(gè)學(xué)科內(nèi)問(wèn)題時(shí)候，如果我們從另一個(gè)角度出發(fā)，將能對(duì)所研究的對(duì)象的結(jié)構(gòu)得到一個(gè)更簡(jiǎn)潔與清晰的認(rèn)識(shí)。

假設(shè) 為一個(gè)集合，我們記 為 的冪集，亦即 所有子集所組成的集類。我們回顧 代數(shù)的概念[1]：假設(shè) 滿足以下條件： ；

如果 ，則 ；其中 為 的補(bǔ)集；

如果一列集合 ，則 ；

則稱 為一個(gè) 代數(shù)。

二、多角度考慮問(wèn)題的一些技巧

我們考慮以下問(wèn)題：

例題：假設(shè) 為一個(gè)集合， 是一個(gè) 代數(shù)。已知 中僅有有限個(gè)集合，求證存在正整數(shù) 使得 中集合個(gè)數(shù)為 。

從概念上來(lái)看，我們很自然地覺(jué)得這是一個(gè)實(shí)變函數(shù)課程中出現(xiàn)的問(wèn)題，我們先看一個(gè)常規(guī)做法。

證明1：我們首先在 中定義極小元概念：假設(shè) 。我們稱 是 中的極小元，如果 且 蘊(yùn)含著 或者 ；亦即 中不存在 的非空真子集。

因 中僅有有限個(gè)元素，故 中顯然有極小元存在。假設(shè) 是 中的極小元且 。因 為一個(gè) 代數(shù)，我們有 。而又有 。故而 或者 ，亦即 中任一集合都包含 或者與 不交。進(jìn)而可得 中任意兩個(gè)極小元都不交且 中任一集合都是其中有限個(gè)極小元的非交并。反之因 為一個(gè) 代數(shù)，故 中任意有限個(gè)極小元的非交并仍然在 中。不妨假設(shè) 中有 個(gè)極小元，則可得 中集合個(gè)數(shù)為 。證畢。

以下我們給出一個(gè)代數(shù)中群論角度的證明。

證明2：我們?cè)?中定義如下計(jì)算：

因 為一個(gè) 代數(shù)，可得該運(yùn)算是封閉的。且易見(jiàn)對(duì)任意 ， 以及 。因此可得 是一個(gè)群，其中 為群的單位元且對(duì)任意 ， 的逆元為它自身。顯然，我們還可以得到 是一個(gè)交換群。因?yàn)?是一個(gè)有限群，故根據(jù)Sylow定理[2]，我們可得 同構(gòu)于一些有限循環(huán)群的直和。而又有對(duì)任意 ， 的逆元為它自身，即 中每個(gè)非單位元的階數(shù)都為2，因此 同構(gòu)于一些 的直和。故存在正整數(shù) 使得 中集合個(gè)數(shù)為 。證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐森林，薛春華；實(shí)變函數(shù)論；清華大學(xué)出版社；2009。

[2]杜奕秋，程曉亮；近世代數(shù)；北京大學(xué)出版社；2013。