于愛文 盛建武

鑒于中考數(shù)學壓軸題的綜合性、階梯性與難突破性，初中數(shù)學專題復(fù)習至關(guān)重要，例題的選擇與講解的效果直接影響學生應(yīng)用數(shù)學知識的能力。因此，初中數(shù)學專題復(fù)習的例題選擇與講解更應(yīng)該注意相應(yīng)的技巧和策略，讓學生能夠充分地吸收例題中蘊含的解題思路和方法，實現(xiàn)從教知識向教方法、思想的轉(zhuǎn)變，讓學生通過專題復(fù)習優(yōu)化自己在該專題的知識結(jié)構(gòu)。那么，在數(shù)學專題復(fù)習中，如何真正做到舉一反三，實現(xiàn)學生在知識、能力、情感態(tài)度、經(jīng)驗積累的全面提升？我們以“二次函數(shù)的面積問題”為例，從數(shù)學核心素養(yǎng)角度出發(fā)，創(chuàng)新教學設(shè)計，探究了有效的數(shù)學專題復(fù)習教學策略。

一、原教學設(shè)計簡述

環(huán)節(jié)1.自主研學

如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線P的頂點M（1，4），且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，3）。

問題1：求出拋物線P及直線BC的解析式；

問題2：設(shè)拋物線P的對稱軸與BC相交于點D，求出線段BC與線段 MD的長度；

問題3：連接MC，MB，求出吟MCB的面積。

環(huán)節(jié)2.合作探學

問題4：設(shè)E點是拋物線P上第一象限的動點，連接EB，EC，當吟ECB的面積最大時，求出E點的坐標及面積的最大值。

變式1：設(shè)E點是拋物線P上第一象限的動點，連接EB，EC，當四邊形OBEC的面積最大時，求出E點的坐標。

環(huán)節(jié)3.拓展研學

環(huán)節(jié)4.總結(jié)思學

請從數(shù)學解題思想與應(yīng)用到的數(shù)學方法方面小結(jié)。

點評：1.在教學目標的設(shè)計上，力求通過學生的探究，將二次函數(shù)與三角形、四邊形、相似等知識融合在一起，構(gòu)建它們之間的聯(lián)系，形成關(guān)于二次函數(shù)的面積問題的新的認知結(jié)構(gòu)，從而優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu)。但在實際教學過程中，一次拋出三個問題，對于學生來說難度較大，環(huán)節(jié)1花的時間比較多，且效果不佳，大多數(shù)學生無從下手，學習積極性不高，思維未被激活。這主要是教師過高地估計了學生的認知和思維發(fā)展水平，教學脫離了學生的實際。

2.本節(jié)復(fù)習課的重點是學生在解決二次函數(shù)的面積問題的過程中，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想可以化難為易、化隱為顯、化繁為簡、化曲為直，從而讓學生較容易地建立未知與已知之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學模型，解決數(shù)學問題。本次復(fù)習的具體轉(zhuǎn)化的策略是水平分割與豎直分割，化隱為顯，建立二次函數(shù)與三角形、四邊形面積之間的聯(lián)系。但在教學過程中，呈現(xiàn)的方式與呈現(xiàn)的層次性不夠，導(dǎo)致學生盡管能掌握這一問題的解答，但對于轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想體驗不夠，經(jīng)驗積累不足，目標達成大打折扣。

二、改進后的教學設(shè)計

基于以上思考，為了突破難點，有效地實現(xiàn)本專題的復(fù)習目標，我們對本節(jié)數(shù)學專題復(fù)習課重新進行了設(shè)計，修改如下：

如圖2，在平面直角坐標系中，拋物線P的頂點M（1，4），且與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中B（3，0）。

問題1：求出拋物線P的解析式。

點評：在初中數(shù)學學業(yè)水平考試中，求解拋物線解析式是經(jīng)?？疾榈膯栴}，大部分學生僅局限于用拋物線的一般式進行計算求解，而一般式涉及解三元一次方程組，不僅式子復(fù)雜，運算量也大；不但容易出錯，而且浪費時間，因而選擇一種簡便的解析式和計算途徑至關(guān)重要。本題的設(shè)計，出于優(yōu)化學生解題策略的考慮，讓學生根據(jù)解析式的問題特征，選擇用頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k進行求解。因為使用頂點式求解，代入頂點坐標后，僅需解一個一元一次方程，大大簡化了計算。這樣，學生解決問題的思維方式更合理。

將題目的原設(shè)計C（0，3）改為B（3，0），原設(shè)計僅讓學生體會頂點式的應(yīng)用，二次函數(shù)的交點式則沒有覆蓋到位，而修改后不僅可以使用頂點式，也可使用交點式求解。

追問：除了使用頂點式求解，還能使用其他方法嗎？

點評：學生除了可以用頂點式和交點式求解外，在得到A（-1，0），B（3，0），M（1，4）之后，也可以使用一般式，使得解題策略多樣化，不僅激發(fā)了學生學習積極性，也激活了學生思維。

問題2：連接MC，MB，求出吟BOC與吟MCB的面積。

點評：有關(guān)求解三角形面積類型的題，極少出現(xiàn)特別直觀的面積求解問題，很多時候需要進行轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化采用得最多的方法是分割（即水平分割與豎直分割），而△MCB的面積求解很好地展示了這一數(shù)學思想方法。

問題3：在原問題4的基礎(chǔ)上，增加一步變式。

追問：在拋物線P上第一象限內(nèi)求點E，使點E到線段BC的距離最大，求出最大值。

點評：本問題設(shè)計的核心思想是轉(zhuǎn)化思想，將△EBC的面積最值問題轉(zhuǎn)化為求線段EG的最值問題，以及在問題2的基礎(chǔ)上對三角形的面積求法做具體的應(yīng)用。

問題4：在原問題5的基礎(chǔ)上增加2問變式。

點評：本問題設(shè)計涉及取值問題，進而引發(fā)更深層次問題，求k的取值范圍。學生不僅思維能更上一個臺階，解決問題的能力也會得到提高。

總評：本教學設(shè)計對專題復(fù)習課的教學作了整體設(shè)計，已經(jīng)實現(xiàn)了由教知識向教方法、思想過渡。一是從學生整體發(fā)展出發(fā)設(shè)計教學目標，而不是只考慮中考的近期目標，特別注意學生在解題過程中對數(shù)學思想與方法的掌握。數(shù)學思想與方法是數(shù)學大廈的基石，是數(shù)學解題的靈魂。它來源于數(shù)學基礎(chǔ)知識，又反過來指導(dǎo)學生運用數(shù)學知識和方法解決問題。所以在平時的訓(xùn)練與例題講解中，要結(jié)合具體問題理解和掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、數(shù)學建模等常見的數(shù)學思想與方法。二是根據(jù)學生的特點進行內(nèi)容的整體安排，內(nèi)容選擇要精，教師通過多個問題，將二次函數(shù)的面積問題逐層分解，步步緊逼，直達問題的核心，讓不同的學生在學習中都有所收獲，有所體驗，每位學生都有發(fā)展。三是教學方法上既充分發(fā)揮學生的主體作用，又發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓學生運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的過程，重視解題方法和解題規(guī)律的總結(jié)和提高。

本專題復(fù)習教學設(shè)計，提高了學生的各種數(shù)學能力?？v觀《數(shù)學課程標準》中對能力的考查，大致可分成兩個階段、兩個層次。一個階段是以考查運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力以及分析和解決純數(shù)學問題的能力為特點的階段。在此基礎(chǔ)上，近年來又強化了閱讀理解能力、探索創(chuàng)新能力和數(shù)學應(yīng)用能力，以及建立在此基礎(chǔ)上的作為數(shù)學核心能力的思維能力。特別是把數(shù)學作為文化和培養(yǎng)人的一個不可分割的整體中的一個部分時，對學生的情感、意志、毅力、價值觀等非智力因素的考查，就必然會進入一個新的階段。初中數(shù)學學業(yè)水平考試，突出對學生思維能力與數(shù)學意識的考查，進而落實《數(shù)學課程標準》中關(guān)注學生思維能力和數(shù)學意識的培養(yǎng)目標，激發(fā)學生的發(fā)展?jié)撃堋１緦ｎ}的設(shè)計將二次函數(shù)融入面積計算之中，將二次函數(shù)、三角形、四邊形和相似等知識有機結(jié)合，提升學生的認知能力，并將轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想滲透其中，讓學生在數(shù)學思維、數(shù)學感悟、數(shù)學情感、數(shù)學積累上有較大的發(fā)展。

本專題復(fù)習教學設(shè)計還為我們提供了以下經(jīng)驗和方法：變更數(shù)學題目的表達形式和背景，培養(yǎng)思維的深刻性。尋求不同解題途徑與思維方式，培養(yǎng)思維的廣闊性。對問題解答的思維方式不同，產(chǎn)生解題方法各異。這樣的訓(xùn)練將有益于打破思維定式，優(yōu)化解題方法，從而培養(yǎng)發(fā)散思維能力。變換幾何圖形的位置、形狀和大小，培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性。注意把課本中的例習題多層次變換，這樣既加強了知識間的聯(lián)系，又激發(fā)了學生學習的興趣，達到了鞏固知識又培養(yǎng)能力的目的。改變題目的條件和結(jié)論，培養(yǎng)思維的批判性。這樣的訓(xùn)練可以克服我們靜止地、孤立地看問題的習慣，促進我們對數(shù)學思想與方法的再認識，培養(yǎng)研究和探索問題的能力。

（作者單位：長沙市北雅中學長沙市開福區(qū)教育科研培訓(xùn)中心）