程毛林，韓 云

（蘇州科技大學(xué)a.數(shù)理學(xué)院；b.商學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

0 引言

一直以來，人們十分重視對生產(chǎn)函數(shù)的研究，普遍應(yīng)用生產(chǎn)函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具來分析經(jīng)濟(jì)增長過程，展望未來發(fā)展趨勢，為編制計(jì)劃、制定政策提供依據(jù)。在農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長中，影響因素很多，如何利用生產(chǎn)函數(shù)研究農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率是一個(gè)重要課題。生產(chǎn)函數(shù)的一般形式為：

其中 X1，X2，···，Xm為 m 種不同的投入要素，Y 為產(chǎn)出量。常用的生產(chǎn)函數(shù)形式有多種，其中Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是廣泛使用的形式，Cobb-Douglas（柯布－道格拉斯）生產(chǎn)函數(shù)形式為：

其中，Xi(i=1，2，···，m)為第 i個(gè)要素投入量，Y 為產(chǎn)出量，βi(i=1，2，···，m)為要素 Xi的產(chǎn)出彈性，A表示技術(shù)進(jìn)步水平。

Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)以它簡潔的數(shù)學(xué)形式描述了生產(chǎn)技術(shù)過程中生產(chǎn)成果與生產(chǎn)因素之間的關(guān)系，為了更好地反映這種投入產(chǎn)出的關(guān)系，本文做了修正。在測算農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率中，多數(shù)利用索洛給出的測算公式，通常用差分式代替微分式進(jìn)行測算，偏差較大，導(dǎo)致不準(zhǔn)確。為此給出了科學(xué)測算技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率的方法。本文最后對我國農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率進(jìn)行了測算。

1 農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長生產(chǎn)函數(shù)模型的修正與參數(shù)估計(jì)

本文提出農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，其修正模型為：

式中，A(t)為技術(shù)水平，λ為技術(shù)進(jìn)步率，αi為彈性系數(shù)，新增加的λi為第i個(gè)農(nóng)業(yè)投入要素的增益因子。

記 η =

這樣Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的修正模型寫成：

式中，ε為實(shí)際觀測值與模型理論值的隨機(jī)誤差。

2 農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率測算方法

記農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長生產(chǎn)函數(shù) Y=F(X1，X2，···，Xm)。設(shè)各因素Xi隨時(shí)間而變動，同時(shí)每個(gè)因素在n個(gè)點(diǎn)中的值都已知，也就是說，在m維空間中第i個(gè)點(diǎn)可以表示為：

記ΔYij為第 j因素對i時(shí)期產(chǎn)出量變動的影響。這樣：

ΔYij說明第 j因素對第i時(shí)期總量變動的影響值。計(jì)算ΔYij的值，得到下列行式：

ΔYj說明 j因素對總量指標(biāo)ΔY變動的影響值。所有ΔYj(j=1，2，···，m)的總數(shù)構(gòu)成總量指標(biāo)的全部總量。

這樣第 j因素對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率為：

這里給出一個(gè)具體情況。設(shè)農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長生產(chǎn)函數(shù)為：

式中，Y為農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值（億元）；A(t)=A0eλt為技術(shù)進(jìn)步水平;X1為農(nóng)村農(nóng)戶固定資產(chǎn)投資額(億元);X2為農(nóng)用化肥施用量（萬千克）；X3為糧食播種面積（千公頃）；X4為農(nóng)業(yè)機(jī)械勞動力（萬千瓦）；X5為鄉(xiāng)村從業(yè)人員(萬人)。

設(shè) L(i)是連接 Mi到 Mi+1(i=1，2，···，n-1)兩點(diǎn)曲線。曲線方程為：

記第 i期 X1，X2，X3，X4，X5的增長率分別為 x1i，x2i，x3i，x4i， x5i， yi。

這樣因素A對i時(shí)期總量指標(biāo)變動的影響為：

因素X1對i時(shí)期總量指標(biāo)變動的影響為：

類似地，因素X2對i時(shí)期總量指標(biāo)變動的影響為：

因素X3對i時(shí)期總量指標(biāo)變動的影響為：

因素X4對i時(shí)期總量指標(biāo)變動的影響為：

因素X5對i時(shí)期總量指標(biāo)變動的影響為：

于是技術(shù)進(jìn)步A從第1期到第n期對農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)率為：

3 農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率測算實(shí)例

為深入研究我國農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)增長的情況，探討其增長方式，測定農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率。選取我國農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值（Y，億元）作為農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的綜合代表指標(biāo)，以X1為農(nóng)村農(nóng)戶固定資產(chǎn)投資額（億元）；X2為農(nóng)用化肥施用量（萬千克）；X3為糧食播種面積（千公頃）；X4為農(nóng)業(yè)機(jī)械勞動力（萬千瓦）；X5為鄉(xiāng)村從業(yè)人員（萬人）作為投入因素進(jìn)行分析，見表1。

表1 1996—2015年我國農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)

設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為：

由非線性最小二乘法，讓：

利用MATLAB軟件計(jì)算得：

即：

模型可決系數(shù)

可以看出模型擬合精度高。

由本文給出的方法，可得1996—2015年農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率為：

4 結(jié)束語

本文利用Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型的一種修正形式，給出了一種科學(xué)測算農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率的方法。本文給出的方法對Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型的廣泛使用，以及科學(xué)測算經(jīng)濟(jì)增長影響因素貢獻(xiàn)率有著重大意義。本文對我國農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率進(jìn)行了測算，對了解我國農(nóng)業(yè)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)率的狀況，為決策管理部門提供參考有一定價(jià)值。