張宇菲，陳華友

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601）

0 引言

在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的預(yù)測(cè)具有模糊性，比如在進(jìn)行氣溫預(yù)測(cè)時(shí)，可以將一天中的最低和最高溫度分別作為左端點(diǎn)和右端點(diǎn)，將一天中的平均溫度作為中點(diǎn)，這樣用三角模糊數(shù)就可以較全面地概括一天溫度的變化。因此，探討模糊信息的組合預(yù)測(cè)方法具有重要的理論和實(shí)際意義。文獻(xiàn)[1-6]給出了三角模糊數(shù)的基本定義和一些單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，文獻(xiàn)[7]給出了兩種模糊組合預(yù)測(cè)方法。本文在此背景下，將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為面積指標(biāo)和重心指標(biāo)兩個(gè)指標(biāo)[8]，并將誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子和相關(guān)系數(shù)的概念引入三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)中，構(gòu)建了基于IOWA算子和相關(guān)系數(shù)的模糊變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型，并通過實(shí)例分析說明提出預(yù)測(cè)方法的有效性和合理性，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。

1 基本概念

定義1[1]：記 a=(aL，aM，aU)，其中 aL和 aU分別為 a 所支撐的上界和下界，aM為a的中值，并且有0≤aL≤aM≤aU，則稱a為一個(gè)三角模糊數(shù)。三角模糊數(shù)的隸屬函數(shù)可表示為：

關(guān)于三角模糊數(shù)，有如下一些運(yùn)算法則。設(shè) a=(aL，aM，aU)，b=(bL，bM，bU) ，則有：

其中L=(l1，l2…ln)T是與IOWAL有關(guān)的加權(quán)向量，滿足

（1）加法運(yùn)算：a⊕b=(aL+bL，aM+bM，aU+bU)

定義2[2]：設(shè)為 n 個(gè)二維數(shù)組，令：中按照從大到小的順序排列的第i大的數(shù)的下標(biāo)，則稱函數(shù)IOWAL是由u1，u2…un所產(chǎn)生的n維誘導(dǎo)有序加權(quán)算術(shù)平均算子，簡(jiǎn)稱為IOWA算子，ui稱為ai的誘導(dǎo)值。

2 基于IOWA算子和相關(guān)系數(shù)的模糊組合預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

2.1 序列的轉(zhuǎn)換

對(duì)三角模糊數(shù)進(jìn)行組合預(yù)測(cè)，若直接對(duì)三角模糊數(shù)的三個(gè)界值點(diǎn)分別建模進(jìn)行預(yù)測(cè)，這樣就違背了三角模糊數(shù)發(fā)展趨勢(shì)的一個(gè)整體性以及相對(duì)位置順序的錯(cuò)亂導(dǎo)致預(yù)測(cè)失效的現(xiàn)象[7]，本文按照三角模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)換的思想，通過引入隸屬函數(shù)的覆蓋面積和重心的概念，從整體性角度出發(fā)，將實(shí)際三角模糊數(shù)序列和各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的三角模糊預(yù)測(cè)序列轉(zhuǎn)換成為對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)的覆蓋面積序列和重心序列。為此引入如下概念：

三角模糊數(shù)的面積指標(biāo)可以衡量大部分單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差，但是當(dāng)?shù)趇種與第 j種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法三角模糊數(shù)預(yù)測(cè)值的面積相等時(shí)，其在面積指標(biāo)下與實(shí)際值之間的誤差相等，從而其基于面積指標(biāo)的預(yù)測(cè)精度也就相同，然而，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的三角模糊數(shù)預(yù)測(cè)值，如圖1所示。

圖1第t時(shí)刻的實(shí)際值與第i種方法和第 j種方法的預(yù)測(cè)值

從圖1可以看出，第i種與第 j種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)的三角模糊數(shù)預(yù)測(cè)值對(duì)應(yīng)的面積Sit和面積Sjt相等，但第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值明顯優(yōu)于第 j種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，因此，基于面積指標(biāo)的預(yù)測(cè)精度尚不能完全刻畫三角模糊數(shù)的預(yù)測(cè)精度，為此引入重心指標(biāo)的概念。

定義7：令：

2.2 利用轉(zhuǎn)化后的序列構(gòu)建模型

由定義5和定義8可以分別得到第t時(shí)刻的m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法基于面積指標(biāo)和重心指標(biāo)的預(yù)測(cè)精度序列面取在面積指標(biāo)下預(yù)測(cè)

定義10：令：精度和在重心指標(biāo)下預(yù)測(cè)精度的平均值。

由定義10可以得到組合預(yù)測(cè)的三角模糊序列，再將

基于IOWA算子的組合預(yù)測(cè)是根據(jù)各時(shí)刻各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)精度的大小不同而賦予不同的權(quán)系數(shù)，預(yù)測(cè)精度越大，則單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法賦予的權(quán)系數(shù)就越大，為了確定權(quán)系數(shù)，下面引入相關(guān)系數(shù)的概念。

定義11：設(shè)：

則稱Rs為組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列之間基于面積指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，Rg為組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列之間基于重心指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)。其中：

顯然Rs和Rg都屬于[0,1]區(qū)間，基于面積指標(biāo)和重心指標(biāo)的組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列之間的相關(guān)系數(shù)越大，則對(duì)應(yīng)的模糊組合預(yù)測(cè)值就越好。

定義12：令：

系：

由式（10）和式（14），則有：

L=(l1，l2， …，lm)T，則有：

將式（16）代入到式（15）中，并考慮到雙重求和符號(hào)的可交換性，則有：

同理，由式（9）和式（13），有

則式（11）可改寫為如下形式：

顯然，Rs和Rg都是關(guān)于權(quán)向量L=(l1， l2，…，lm)T的函數(shù)，要使三角模糊組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間更為接近，則需要分別極大化基于面積指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)Rs和基于重心指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)Rg，這實(shí)際上是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問題：

為此，本文引入?yún)?shù)α∈[0，1]，將Rs與Rg進(jìn)行凸組合，使其變成一個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題。則可以建立如下模型：

其中 IT=(1，1，…，1)T為元素全為1的m維向量，參數(shù)α體現(xiàn)基于面積指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)的重要性權(quán)重。式（22）的最優(yōu)化模型可以通過MATLAB的優(yōu)化工具箱或LINGO軟件進(jìn)行求解。

3 實(shí)例分析

為了證明基于IOWA算子和相關(guān)系數(shù)的模糊組合預(yù)測(cè)模型的可行性，下面分別應(yīng)用三角模糊數(shù)基于面積指標(biāo)的預(yù)測(cè)誤差平方和（SSSE）、均方誤差（SMSE）和均方百分比誤差（SMSPE）以及基于重心指標(biāo)的預(yù)測(cè)誤差平方和（GSSE）、均方誤差（GMSE）和均方百分比誤差（GMSPE）作為衡量其預(yù)測(cè)結(jié)果的指標(biāo),其中：

表1 實(shí)際三角模糊數(shù)序列xt和各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)的三角模糊數(shù)序列x1t,x2t,x3t

利用文獻(xiàn)[7]的數(shù)據(jù)對(duì)本文提出的模型進(jìn)行實(shí)例分析，表1給出了實(shí)際三角模糊數(shù)序列和三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)的三角模糊數(shù)序列的信息。

由式（2）和式（5）將三角模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)化為基于面積指標(biāo)序列和基于重心指標(biāo)序列后，再分別代入到式（4）、式（7）、式（8）中，得到三角模糊數(shù)的預(yù)測(cè)精度序列，再根據(jù)IOWA算子的定義，得到基于預(yù)測(cè)精度序列誘導(dǎo)的x-index(1t)，x-index(2t)，x-index(3t) ，然后將所得的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為

面積序列和重心序列后代入模型（22）中，并取α=0.5，則可求得最優(yōu)權(quán)重為：

則三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)值如表2所示。

表2 三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)值

由式（23）至式（28）計(jì)算出三角模糊數(shù)基于面積指標(biāo)和基于重心指標(biāo)的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)，從而說明本文所提出的組合預(yù)測(cè)方法的可行性。為了方便與單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行比較，同時(shí)給出各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)，如表3和表4所示。

表3 各預(yù)測(cè)方法基于面積指標(biāo)的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)

表4 各預(yù)測(cè)方法基于重心指標(biāo)的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)

由表3和表4可以看出，無論是在面積指標(biāo)下，還是在重心指標(biāo)下，本文所提出的三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)方法各項(xiàng)誤差指標(biāo)都低于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)，這說明本文所提出的三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)方法優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，即本文提出的三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)方法是可行的。

4 模型參數(shù)α的靈敏度分析

下面對(duì)模型中的參數(shù)α進(jìn)行靈敏度分析，參數(shù)α表示三角模糊數(shù)基于面積指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)的重要程度，α越大表明三角模糊數(shù)的面積指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)與重心指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)相比更加重要，即決策者認(rèn)為面積指標(biāo)比重心指標(biāo)更能衡量三角模糊數(shù)的實(shí)際值與組合預(yù)測(cè)值之間的相關(guān)系數(shù)。由式（22）可知最優(yōu)權(quán)重隨著α的變化而變化，為了驗(yàn)證不同的α對(duì)所建立的模型是否都具有可行性，下面取α∈[0，1]，分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重 l1，l2，l3以及各衡量指標(biāo)，并繪制成圖。

圖2α與最優(yōu)權(quán)重之間的關(guān)系

圖3α與預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)之間的關(guān)系

由圖2可以看出隨著α的增加，最優(yōu)權(quán)重呈線性變化，l1隨著α的增加而增加，l2隨著α的增加而減少，l3保持不變始終為0。由圖3可以看出，各項(xiàng)預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)隨著α的變化沒有大的變化，因此本文中α可以取(0，1)中的任意值。

5 結(jié)束語

本文的預(yù)測(cè)序列是三角模糊數(shù)，首先將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為面積序列和重心序列，然后分別對(duì)面積序列和重心序列建立基于IOWA算子和相關(guān)系數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型，再將兩者進(jìn)行凸組合，得到最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證模型的可行性。通過三角模糊數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建，有效地規(guī)避了各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)出來的三角模糊數(shù)序列所帶來的信息偏差，使得預(yù)測(cè)值更加精確，有利于決策者更加準(zhǔn)確地對(duì)問題作出判斷。但本文中是將三角模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)化為面積序列和重心序列來進(jìn)行建模的，在這一過程中是否會(huì)導(dǎo)致一些信息的流失還需進(jìn)一步的探討。