凌必祥 解培中 李 汀

(南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，江蘇南京 210003)

1 引言

目前干擾對(duì)齊預(yù)編碼矩陣的求解，大多還是基于傳統(tǒng)的最優(yōu)化理論，雖然它們?cè)谇蠼鈺r(shí)利用了不同的方法，但是這些方法都是基于傳統(tǒng)的優(yōu)化理論，這樣設(shè)計(jì)出的干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法無(wú)論在性能還是在復(fù)雜度上都很難令人滿意，不能發(fā)揮出干擾對(duì)齊的優(yōu)勢(shì)。在文獻(xiàn)[13]中，將流形應(yīng)用到預(yù)測(cè)量化中，它利用源信號(hào)的相關(guān)性，與傳統(tǒng)無(wú)記憶預(yù)測(cè)量化方案相比可以顯著的降低量化碼本的大小。在文獻(xiàn)[14-15]中，分別將流形應(yīng)用到預(yù)編碼預(yù)測(cè)和信道預(yù)測(cè)，雖然文獻(xiàn)[13-15]都應(yīng)用到流形，但是都是將流形應(yīng)用于預(yù)測(cè)中。文獻(xiàn)[16]中提出了一種針對(duì)多個(gè)主用戶和多個(gè)次用戶的多輸入多輸出認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，先利用編碼的方法消除主次用戶之間的干擾，在此基礎(chǔ)上建立等效模型，在等效模型的基礎(chǔ)上以總?cè)萘孔畲蠡癁槟繕?biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)預(yù)編碼矩陣，對(duì)于預(yù)編碼矩陣的求解利用了Grassmann流形上的梯度法。然而，在利用Grassmann流形上的梯度法時(shí)要使得目標(biāo)表達(dá)式滿足酉不變性，本文將Stiefel流形應(yīng)用到多用戶MIMO系統(tǒng)的干擾對(duì)齊預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)中，它不僅不需要滿足酉不變性，能夠簡(jiǎn)化約束條件將有約束的預(yù)編碼矩陣優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的預(yù)編碼矩陣優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，同時(shí)也繼承了單邊干擾對(duì)齊技術(shù)上的優(yōu)勢(shì)。本文利用文獻(xiàn)[17]給出的Stiefel流形上的一階偏導(dǎo)，梯度方向表達(dá)式，流形測(cè)地線軌跡曲線和平行傳輸切矢量，最終設(shè)計(jì)出Stiefel流形上的單邊干擾對(duì)齊最速下降預(yù)編碼算法和Stiefel流形上的單邊干擾對(duì)齊共軛梯度預(yù)編碼算法，通過(guò)設(shè)計(jì)出的算法求出干擾對(duì)齊預(yù)編碼矩陣。仿真結(jié)果表明，相比最優(yōu)化方法[12]優(yōu)化的單邊干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法，本文設(shè)計(jì)出的Stiefel流形上的單邊干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法的收斂速度更快、系統(tǒng)容量更高。

本文的符號(hào)說(shuō)明：大寫(xiě)和小寫(xiě)粗體分別表示矩陣和列向量。對(duì)于任意一般矩陣X,XT、X*、XH分別代表轉(zhuǎn)置，共軛，共軛轉(zhuǎn)置。span(X)代表矩陣X的列空間。IN代表N×N單位陣。Cm×n代表m×n復(fù)矩陣?！?‖和tr(.)分別代表Frobenius范數(shù)和矩陣的跡。

2 系統(tǒng)模型

(1)

Hk,l∈CNl×Ml為發(fā)射器l到接收器k的復(fù)信道增益矩陣，Hk,l獨(dú)立同分布。wk∈CMk×1是均值為0，方差為1的加性高斯白噪聲。

圖1 K用戶MIMO干擾信道模型

經(jīng)過(guò)干擾消除矩陣Uk∈CMk×dk處理以后，得到的接收信號(hào)yk如下所示：

(2)

(3)

(4)

接下來(lái)，每個(gè)接收器對(duì)準(zhǔn)不同的干擾子空間距離，那么不同干擾子空間的總和距離為：

(5)

3 單邊干擾對(duì)齊預(yù)編碼

為了方便討論，假設(shè)(Mk,Nk,dk)=(M,N,d),1≤k≤K，干擾信道是對(duì)稱信道。干擾對(duì)齊是在接收端對(duì)齊多用戶干擾，假設(shè)有用信號(hào)占據(jù)d維空間，那么干擾信號(hào)占據(jù)(N-d)維空間。為實(shí)現(xiàn)干擾對(duì)齊，最重要的是要找到一個(gè)合適的指標(biāo)，用以指示不同干擾子空間的相對(duì)位置。在文獻(xiàn)[12]中，將不同干擾子空間的總和距離作為干擾對(duì)齊的指標(biāo)，當(dāng)不同的干擾子空間相互重疊時(shí)，這時(shí)可以認(rèn)為它們之間的空間距離近似為零，也就可以認(rèn)為實(shí)現(xiàn)了干擾對(duì)齊。

S1和S2是維度相同的兩個(gè)空間，定義S1和S2之間的弦距離為：

(6)

假設(shè)S1和S2是接收端干擾信號(hào)子空間，如果d(S1,S2)=0，這兩個(gè)干擾信號(hào)對(duì)齊。其中Pi是空間Si的正交投影，有：

(7)

(8)

接下來(lái)為方便描述，我們假設(shè)在干擾信道中存在三個(gè)收發(fā)器，即k=3。在三用戶干擾信道中，接收器1將發(fā)射器2和發(fā)射器3發(fā)射的信號(hào)視為干擾，接收器2將發(fā)射器1和發(fā)射器3發(fā)射的信號(hào)視為干擾，接收器3將發(fā)射器1和發(fā)射器2發(fā)射的信號(hào)視為干擾，因此，由以上可知每個(gè)接收器的干擾子空間弦距離可以表示為:

接收端1干擾子空間的弦距離為：

P1=‖P12-P13‖

(9)

接收端2干擾子空間的弦距離為：

P2=‖P21-P23‖

(10)

接收端3干擾子空間的弦距離為：

P3=‖P31-P32‖

(11)

(12)

在需要優(yōu)化的干擾子空間弦距離給出之前，先給出一些正交投影矩陣的知識(shí)，設(shè)X的列向量所張成空間的正交投影為A，由文獻(xiàn)[18]知，A具有如下的一些性質(zhì)：

AH=A

(13)

A×A=A

(14)

tr(In)=n

(15)

T=tr{(P12-P13)(P12-P13)H}+tr{(P21-P23)

(P21-P23)H}+tr{(P31-P32)(P31-P32)H}=

(16)

又因?yàn)閠r(Pi, j)=d，1≤i,j≤3，d為發(fā)射端發(fā)射的空間數(shù)據(jù)流，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換后，T可表示為：

T=6d-2tr(P12P13)-2tr(P21P23)-2tr(P31P32)

(17)

假設(shè)f=tr(P12P13)+tr(P21P23)+tr(P31P32)，則干擾子空間弦距離之和T最小化等價(jià)于f最大化，即：

maxf=tr(P12P13)+tr(P21P23)+tr(P31P32)

(18)

4 Stiefel流形上的單邊干擾對(duì)齊方案

4.1 Stiefel流形的基本概念

Stiefel流形[19]是嵌入在歐氏空間里的微分流形，它是一個(gè)緊湊流形，可定義為滿足以下條件的矩陣集合：

St(n,p)={X∈Cm×p;XHX=Ip}

(19)

Stiefel流形的維度為：

(20)

Zj=Gj-YjGjYj

(21)

其中，Gj為目標(biāo)表達(dá)式在Yj處的梯度即一階導(dǎo)數(shù)。要使得代價(jià)函數(shù)的自變量始終在流形內(nèi)沿著最陡下降沿方向移動(dòng)，那么它必須遵循某種軌跡曲線運(yùn)動(dòng)，這種軌跡曲線就是流形的測(cè)地線[20]。它表示在局部范圍內(nèi)長(zhǎng)度最短的曲線，對(duì)于Stiefel流形，可以將(21)做SVD分解：

(22)

其中Uj和Vj分別為左右酉矩陣，Σj為對(duì)角陣，假設(shè)每次迭代的步長(zhǎng)為t，由文獻(xiàn)[17]可得出自變量Yj沿測(cè)地線的迭代軌跡為：

(23)

4.2 Stiefel流形上的最速下降干擾對(duì)齊算法

令HH21=(H21V1)HH21V1；HH31=(H31V1)HH31V1

(24)

令HH12=(H12V2)HH12V2；HH32=(H32V2)HH32V2

(25)

令HH13=(H13V3)HH13V3；HH23=(H23V3)HH23V3

(26)

假設(shè)在對(duì)稱3用戶MIMO干擾信道中，發(fā)射端和接收端分別配備M根天線，每個(gè)發(fā)射端發(fā)射d個(gè)數(shù)據(jù)流，可以設(shè)計(jì)出Stiefel流形上的最速下降干擾對(duì)齊算法，Stiefel流形上的最速下降干擾對(duì)齊算法的具體設(shè)計(jì)步驟如表1所示。

表1 Stiefel流形上的最速下降干擾對(duì)齊算法

4.3 Stiefel流形上的共軛梯度干擾對(duì)齊算法

表2 Stiefel流形上的共軛梯度干擾對(duì)齊算法

5 數(shù)值仿真和收斂性及復(fù)雜度分析

5.1 數(shù)值仿真

這一部分我們給出仿真結(jié)果，通過(guò)仿真結(jié)果比較了本文提出的Stiefel流形上的共軛梯度算法、Stiefel流形上的最速下降算法與最速下降算法的和速率與收斂性。和速率的計(jì)算公式可以表示為:

(27)

我們考慮系統(tǒng)(M,N,d)K，發(fā)射端和接收端分別配備K個(gè)發(fā)射器和接收器，每個(gè)發(fā)射器和接收器分別配備M根天線和N根天線，每個(gè)用戶期望發(fā)送d個(gè)數(shù)據(jù)流。每個(gè)用戶對(duì)有完全相同的發(fā)射功率，即Pk=P,k=1,…,K。在接收端對(duì)噪聲進(jìn)行歸一化處理后，功率P就代表SNR，所有信道之間相互獨(dú)立，在本文提供的所有算法中，設(shè)置步長(zhǎng)t為0.05。

在圖2和圖3中， 我們畫(huà)出了在(4×4,2)3和(6×8,2)4干擾信道中三種算法的代價(jià)函數(shù)和迭代次數(shù)的收斂曲線，式(20)中的f為代價(jià)函數(shù)，從仿真結(jié)果可以看出，Stiefel流形上的共軛梯度算法收斂速度最快，Stiefel流形上的最速下降算法次之，普通的最速下降算法的收斂速度最慢，在Stiefel流形上建模求最優(yōu)化問(wèn)題的收斂性比普通優(yōu)化算法的收斂性更好。

圖2 在(4×4,2)3干擾信道中的收斂曲線

圖3 在(6×8,2)4干擾信道中的收斂曲線

在圖4和圖5中，我們分別畫(huà)出了在(4×4,2)3和(6×6,2)4干擾信道中四種算法的和速率曲線，從圖4和圖5中可以看出，在相同SNR條件下，Stiefel流形上的共軛梯度算法的和速率最大，同時(shí)，隨著用戶數(shù)的增加和速率也在不斷的增加。

圖4 在(4×4,2)3干擾信道中的和速率曲線

圖5 在(6×6,2)4干擾信道中四種算法的和速率曲線

5.2 收斂性及復(fù)雜度分析

迭代算法總的復(fù)雜度是由迭代次數(shù)和每次迭代復(fù)雜度的乘積共同決定的，由文獻(xiàn)[21]可知，Stiefel流形上的復(fù)雜度和一般優(yōu)化理論的算法復(fù)雜度，都和矩陣的維度M成漸進(jìn)3次方關(guān)系。由以上的分析可知，Stiefel流形上的干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法的迭代復(fù)雜度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般優(yōu)化理論的干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法且Stiefel流形上的干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法的迭代次數(shù)要小于或者近似等于一般優(yōu)化理論的干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法，所以Stiefel流形上的干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法的復(fù)雜度要低。

6 結(jié)論

本文由單邊干擾對(duì)齊技術(shù)設(shè)計(jì)出了Stiefel流形上的單邊干擾對(duì)齊預(yù)編碼算法，利用了干擾子空間的弦距離，將干擾子空間的弦距離之和是否為零作為接收端干擾子空間是否對(duì)齊的度量標(biāo)準(zhǔn)，并將子空間弦距離用函數(shù)表達(dá)式的形式給出，該函數(shù)表達(dá)式一階可導(dǎo)，這樣干擾對(duì)齊條件下的預(yù)編碼矩陣求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為如何利用最優(yōu)化的方法求解預(yù)編碼矩陣問(wèn)題。一般求最優(yōu)化問(wèn)題都是利用最優(yōu)化知識(shí)進(jìn)行求解，然而本文將Stiefel流形模型應(yīng)用于預(yù)編碼矩陣的求解，這樣可以將有約束的預(yù)編碼矩陣求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的預(yù)編碼矩陣求解。從仿真結(jié)果可以看出，Stiefel流形上的共軛梯度算法與Stiefel流形上的最速下降算法和最速下降算法相比和速率提高了且收斂速度加快了。

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