劉國情 袁俊泉 馬曉巖 陳阿磊 王力寶

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北武漢 430019)

1 引言

天基預(yù)警雷達(dá)是以衛(wèi)星為載荷平臺的雷達(dá),雷達(dá)觀測不受空域和地理條件的限制,能夠?qū)崿F(xiàn)對全球范圍內(nèi)全天時、全天候監(jiān)視,對現(xiàn)代軍事具有重要意義[1]。一方面,相對于傳統(tǒng)的地面和機載雷達(dá),天基預(yù)警雷達(dá)處于大氣層外,具有極大地探測范圍,可以比地面和機載雷達(dá)更早地發(fā)現(xiàn)目標(biāo),預(yù)警時間更早；另一方面,由于天基預(yù)警雷達(dá)的載體處于地球空間軌道,與地球不在同一個慣性系,而空中目標(biāo)和地球處于一個慣性系,這就造成了雷達(dá)和目標(biāo)處于不同的慣性系,并且兩者距離大,導(dǎo)致跟蹤的誤差大,對目標(biāo)跟蹤算法提出了更高的要求。

對于天基預(yù)警雷達(dá)系統(tǒng)而言,雷達(dá)和目標(biāo)處于不同的慣性系,狀態(tài)方程和觀測方程不在同一個坐標(biāo)系中,轉(zhuǎn)換的過程為非線性[2]。轉(zhuǎn)換測量卡爾曼濾波算法[3- 4]利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實現(xiàn)了線性化,文獻[5]在三維空間中推導(dǎo)了轉(zhuǎn)換坐標(biāo)卡爾曼濾波算法,得到了測量值已知條件下的測量誤差協(xié)方差表達(dá)式, 但是,這種去偏轉(zhuǎn)換的方法引入了額外的誤差,結(jié)果不夠精確。文獻[6]針對傳統(tǒng)的量測轉(zhuǎn)換方法在互距離測量誤差增大時性能下降的問題,提出一種基于卡爾曼濾波預(yù)測的無偏量測轉(zhuǎn)換方法,并結(jié)合無跡變換估計轉(zhuǎn)換量測方差,取得了較好的跟蹤效果。文獻[7]提出了一種目標(biāo)勻速運動時,均方意義下的最優(yōu)估計卡爾曼濾波算法,并且給出了無偏轉(zhuǎn)換測量誤差協(xié)方差的簡化方法。

本文從天基預(yù)警雷達(dá)特殊體制出發(fā),建立了天基預(yù)警雷達(dá)模型,一方面,采用了UCM無偏變換[8]將雷達(dá)的東北天極坐標(biāo)[9]的測量值轉(zhuǎn)換到ECEF直角坐標(biāo)系[10]中,并應(yīng)用文獻[11]中的求容積法的思想,代替?zhèn)鹘y(tǒng)的UT變換[12],將ENZ極坐標(biāo)系下測量誤差的協(xié)方差轉(zhuǎn)換到ECEF極坐標(biāo)系中,另一方面,引入了一個噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù),自適應(yīng)調(diào)整協(xié)方差Q和R的大小,最后通過蒙特卡羅仿真實驗驗證了本文提出的算法跟蹤效果優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

2 天基預(yù)警雷達(dá)跟蹤模型

2.1 幾何運動模型

假設(shè)地球是一個規(guī)則的均勻球體,半徑Re=6378.14 km,雷達(dá)載體衛(wèi)星平臺處于圓形近地軌道,軌道高度800 km,軌道傾角37° 如圖1所示,目標(biāo)狀態(tài)方程建立在地心固連(Earth-Centered and Earth-Fixed,ECEF)直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)原點O位于地心,XOY平面位于赤道面,X軸指向格林尼治子午圈,Z軸指向北極點。雷達(dá)觀測方程建立在東北天(East-North-Zenith,ENZ)極坐標(biāo)系下,坐標(biāo)原點為天基雷達(dá)平臺O′,EO′N平面為基準(zhǔn)面,東向軸(E軸)為極軸。雷達(dá)的載體平臺繞地球做圓周運動,衛(wèi)星星下點為P,軌道高度H,雷達(dá)與目標(biāo)的距離為r。

圖1 天基預(yù)警雷達(dá)幾何模型

2.2 跟蹤系統(tǒng)模型

目標(biāo)的狀態(tài)方程和轉(zhuǎn)換后的觀測方程建立在地球的地心固連直角坐標(biāo)系中,可以表示為：

(1)

式中,X(k)代表系統(tǒng)的狀態(tài)量,Z(k+1)代表系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的觀測量,F(k)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,H(k)為量測矩陣,W(k)、V(k)為零均值高斯白噪聲,協(xié)方差矩陣分別為Q(k)和Rm(k)。

第一步：通過UCM無偏轉(zhuǎn)換將量測值Z(k)從雷達(dá)的東北天極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到東北天直角坐標(biāo)系下為Zen(k)

(2)

(3)

第二步：將天基雷達(dá)量測值Zen(k)從東北天直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到Zec(k)地心固連直角坐標(biāo)系下。

(4)

式中：

Tcn=

(5)

式中,C=Ea/(1-e2sin2B(k))1/ 2,Ea=6378137.0表示赤道半徑,e代表地球偏心率,e2=0.0066943799013。

第三步：求轉(zhuǎn)換后的測量誤差協(xié)方差矩陣。

采用觀測量求解轉(zhuǎn)換后的測量誤差協(xié)方差會帶來較大的誤差[14],文獻[15]提出了一種利用UT變換求解轉(zhuǎn)換后的測量誤差協(xié)方差矩陣的方法,該方法的思想是通過對非線性函數(shù)的概率密度分布進行近似,將狀態(tài)量近似為高斯隨機變量,通過一系列的確定的樣本來逼近狀態(tài)的后驗概率密度,與傳統(tǒng)的線性化轉(zhuǎn)換方法相比,UT變換的隨機線性化包含了狀態(tài)空間中的多點信息,具有比傳統(tǒng)的線性化方法更高的精度。但是,一方面,UT變換容易出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)難”,導(dǎo)致計算量隨著維度的增加呈現(xiàn)幾何指數(shù)增長,引起計算量問題；另一方面,UT變換存在著權(quán)值參數(shù)初始化的問題,并且權(quán)值的初始化也會直接影響最終的結(jié)果。對此問題,本文引入了求容積法的思想,與傳統(tǒng)的UT變換相比,不僅采樣點數(shù)更少,而且也沒有權(quán)值參數(shù)的初始化問題,計算的過程更簡單快速,具體方法步驟如下：

步驟1在東北天極坐標(biāo)系下求解Z(k)的容積點ξi以及其對應(yīng)的權(quán)值ωi

(6)

(7)

式中,m=2n,n為Z(k)的維數(shù),R代表雷達(dá)東北天極坐標(biāo)系下的測量協(xié)方差矩陣,其中[1]=[In×n,-In×n],I表示n維單位矩陣,[1]i是其中的第i列向量。

步驟3求解地心固連直角坐標(biāo)系下的測量值容積點的均值Zm(k)和協(xié)方差Rm(k)。

(8)

2.3 噪聲協(xié)方差矩陣Q和R的自適應(yīng)調(diào)整

在卡爾曼濾波器中,卡爾曼增益K對濾波結(jié)果的好壞起到了十分重要的作用,當(dāng)目標(biāo)處于非機動狀態(tài)時,較小的卡爾曼增益能夠起到良好的降噪效果,而較大的卡爾曼濾波增益能夠?qū)δ繕?biāo)的機動作出快速反應(yīng)[16]。計算K的過程也是卡爾曼濾波算法中至關(guān)重要的一步,其取值受到協(xié)方差矩陣Q和R的影響,特別是Q的取值：較大的Q值會減小觀測值對濾波結(jié)果的影響,較小的Q值會使濾波結(jié)果過分依賴觀測值,引入模型噪聲,導(dǎo)致濾波發(fā)散。通常來說,K的取值與Q正比,與R成反比。

天基預(yù)警雷達(dá)跟蹤的空中目標(biāo)往往存在著機動,例如戰(zhàn)斗機為了規(guī)避雷達(dá)的跟蹤,往往會進行一系列機動,這些目標(biāo)機動影響著濾波器的性能,甚至引起濾波發(fā)散,導(dǎo)致濾波的新息急劇發(fā)生變化,因此,可以利用新息序列來對目標(biāo)的機動進行檢測。

在卡爾曼濾波器中,狀態(tài)量X和過程噪聲協(xié)方差P的一步預(yù)測量可以表示為：

(9)

P(k+1|k)=F(k)P(k|k)FT(k)+Q

(10)

新息序列可以表示為υ(k),新息協(xié)方差矩陣表示為S(k)：

(11)

S(k)=E[υ(k)υT(k)]=HP(k+1|k)HT+R

(12)

那么新息的平方和定義為ε(k)：

ε(k)=υT(k)υ(k)

(13)

其中,新息的平方和ε(k)的數(shù)學(xué)期望等于新息的協(xié)方差矩陣S(k)的對角線元素和。由于目標(biāo)機動會導(dǎo)致新息的實際值大于理論值,定義噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù)為α

α(k)=ε(k)(trace(S(k))-1

(14)

式中,trace(?)代表求矩陣的對角線元素之和。

調(diào)整之后的噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為

(15)

3 自適應(yīng)轉(zhuǎn)換測量卡爾曼濾波

天基預(yù)警雷達(dá)的目標(biāo)狀態(tài)方程建立在地球的地心直角坐標(biāo)系下,觀測方程建立在衛(wèi)星的東北天極坐標(biāo)系下,使天基預(yù)警雷達(dá)的跟蹤問題變成了一個非線性的跟蹤問題,轉(zhuǎn)換測量卡爾曼濾波算法通過將雷達(dá)的極坐標(biāo)觀測值轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下,使該問題變成了一個線性估計的問題。但是,一方面,天基預(yù)警雷達(dá)的目標(biāo)與雷達(dá)的距離較大,遠(yuǎn)距離跟蹤的情況下誤差也隨之變大；另一方面,目標(biāo)的機動以及不良的觀測信息都會導(dǎo)致濾波結(jié)果變壞,甚至發(fā)散。

本文針對上述問題,首先,采用了無偏轉(zhuǎn)換的方法,降低了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換帶來的轉(zhuǎn)換誤差；其次,針對濾波發(fā)散的問題,引入一個噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù),實時調(diào)整噪聲協(xié)方差Q和R的大小,提高了濾波的精度,算法的流程如下：

1)初始化。

首先建立狀態(tài)方程和觀測方程

(16)

在k時刻,在利用第一步、第二步,將雷達(dá)東北天極坐標(biāo)系下的觀測量Z(k)轉(zhuǎn)換到地球大地直角坐標(biāo)系下,得到轉(zhuǎn)換觀測量Zm(k)和其轉(zhuǎn)換測量協(xié)方差矩陣Rm(k)。

2)狀態(tài)量和觀測量的一步預(yù)測。

(17)

3)生成一步預(yù)測協(xié)方差矩陣P和新息的協(xié)方差矩陣S。

P(k+1|k)=F(k)P(k|k)FT(k)+Q′(k)

(18)

S(k+1)=E[υ(k+1)υT(k+1)]=

(19)

4)更新卡爾曼濾波增益。

K(k+1)=P(k+1|k)HT(S(k+1))-1

(20)

5)更新狀態(tài)量X和協(xié)方差矩陣P。

X(k+1)=X(k+1|k)+K(k+1)υ(k+1)

(21)

P(k+1)=[I-K(k+1)H]P(k+1|k)

(22)

6)更新噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù)為α。

α(k+1)=ε(k+1)(trace(S(k+1))-1

(23)

算法的主要流程如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)轉(zhuǎn)換測量卡爾曼濾波算法流程

4 仿真分析

為了檢驗本文所提算法的有效性,運用蒙特卡羅仿真實驗來對算法的性能進行檢驗,設(shè)置了幾種典型的機動運動場景。

目標(biāo)的運動形式采用戰(zhàn)斗機的兩種典型機動形式：蛇形機動和俯沖機動[17]。蛇形機動是戰(zhàn)斗機的一種比較常用的機動方式,它一般發(fā)生在戰(zhàn)斗機被敵方雷達(dá)跟蹤的情況下,用來脫離雷達(dá)跟蹤；俯沖機動包含一系列的復(fù)雜的高強度機動方式,通常在戰(zhàn)斗機進行末端攻擊時采用這種機動方式。文獻[18]指出第三代戰(zhàn)斗機最大升限一般為15000～20000 m,本文中飛機最高飛行高度為12000 m。

天基預(yù)警雷達(dá)運動的圓形軌道高度800 km,軌道傾角37°,衛(wèi)星在軌運行速度7446 m/s,飛行方向自西向東,衛(wèi)星初始位置(68.59°,16.78°,800 km),雷達(dá)的東北天極坐標(biāo)系測量協(xié)方差為R(k)=diag(502,10-8,10-8),采樣周期0.5 s。仿真中目標(biāo)的運動模型采用Singer模型,機動頻率的初始值設(shè)定為αs=1/ 20,初始設(shè)定的最大機動加速度為amax=35 m/s2,最大概率為Pmax=0.75,最小概率為P0=0.25。目標(biāo)的初始協(xié)方差矩陣為P=diag(50,1,0.01,50,1,0.01,50,1,0.01)。在給定的初始條件下,分別采用傳統(tǒng)的UT-UCMKF算法、混合坐標(biāo)系下的非線性濾波UKF算法、以及本文給出的算法進行蒙特卡羅仿真,次數(shù)為500次,定義仿真中的位置均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)為：

RMSE=

場景1弱機動條件下算法性能

本文設(shè)定的蛇形機動發(fā)生在水平面內(nèi),目標(biāo)運動方式主要表現(xiàn)為一系列的加速運動,目標(biāo)在地心固連直角坐標(biāo)系下的初始狀態(tài)：

(1397.89 km,358.97 m/s,0 m/s2,5349.92 km,0 m/s,0 m/s2,3173.86 km,0 m/s,0 m/s2)

仿真的總時長為105 s,目標(biāo)在0～25 s內(nèi)做勻速直線運動；在25～40 s做勻加速機動,加速度矢量為(0 m/s2,10 m/s2,0 m/s2)；在41～55 s做勻加速機動,加速度矢量為(0 m/s2,-30 m/s2,0 m/s2)；在55～75 s做勻加速機動,加速度矢量為(0 m/s2,30 m/s2,0 m/s2)；在75～85 s做勻加速機動,加速度矢量為(-20 m/s2,26.2 m/s2,0 m/s2)；在85～105 s做勻速直線運動。仿真結(jié)果如圖3、圖5所示。

從仿真結(jié)果可知,在目標(biāo)的機動性不強的情況下,本文所提出的算法性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的算法UT-UCMKF以及非線性濾波算法UKF。圖4中,未調(diào)整噪聲協(xié)方差,濾波開始階段,由于初始化誤差,三種算法都出現(xiàn)了比較嚴(yán)重的發(fā)散情況,本文所提算法的誤差與UKF算法的誤差接近,但明顯優(yōu)于UT-UCMKF；圖5中,加入噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù)之后,本文算法和UT-UCMKF算法的濾波發(fā)散的情況得到了明顯的改善,收斂速度更快,算法的性能明顯更優(yōu)。

圖3 場景1跟蹤濾波軌跡

圖4 未加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場景1)

圖5 加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場景1)

場景2強機動條件下算法性能

本文設(shè)定的俯沖機動的主要運動方式為急轉(zhuǎn)彎機動和俯沖加速機動。目標(biāo)在地心固連直角坐標(biāo)系下的初始狀態(tài)：

(1433.51 km,-150 m/s,0 m/s2,5349.92 km,0 m/s,0 m/s2,3176.37 km,0 m/s,0 m/s2)

在0～50 s,目標(biāo)做勻速直線運動；在50～60 s,目標(biāo)做急轉(zhuǎn)彎機動,轉(zhuǎn)彎角速度ω1=0.12 rad/s；在60～90 s,目標(biāo)做加速運動,加速度矢量為(-10 m/s2,0 m/s2,-10 m/s2)；在90～94 s,目標(biāo)做強轉(zhuǎn)彎機動,轉(zhuǎn)彎角速度ω2=-0.4 rad/s,在94～120 s,目標(biāo)做減速運動,加速度矢量為(-3.33 m/s2,0 m/s2,-10 m/s2),仿真結(jié)果如圖6、圖8所示。

從仿真結(jié)果可知,在目標(biāo)的機動性較強的情況下,本文所提算法的性能提升雖然沒有弱機動情況下明顯,但是總體依舊優(yōu)于UT-UCMKF和UKF濾波算法。在勻速運動和加速運動階段,本文算法的性能與非線性UKF算法的性能接近,優(yōu)于傳統(tǒng)的UT-UCMKF算法；在目標(biāo)的機動性變強的階段,例如采樣時刻100～120的急轉(zhuǎn)彎階段、以及采樣時刻180～188的強轉(zhuǎn)彎階段,本文所提算法的性能不及非線性UKF算法,但是依舊優(yōu)于UT-UCMKF算法。

圖6 場景2跟蹤濾波軌跡

圖7 未加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場景2)

圖8 加入噪聲調(diào)整系數(shù)(場景2)

場景3算法的性能對比

為了定量比較三種算法的綜合性能,在場景1和場景2的基礎(chǔ)上,引入均方根誤差的均值和平均耗時指標(biāo),在相同的初始化條件下,比較三種算法的性能。仿真所用電腦的CPU為3.6 GHz,內(nèi)存大小為4 GB,軟件為Matlab R2008b,仿真結(jié)果如表1、表2所示,分析可知：

1)算法的誤差更小。由表1、表2可知,本文算法的位置RMSE均值比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換測量算法UT-UCMKF減少了31.7%,相比于非線性UKF算法減少了40.3%；本文算法的速度RMSE均值比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換測量算法UT-UCMKF減少了17.3%,相比于非線性UKF算法減少了13.9%。

2)算法的運行耗時更少。由于求容積法的采樣點相比于傳統(tǒng)的UT變換更少,計算方式簡單,算法運行耗時也更短,由表1、表2可知,本文算法運行的平均耗時比傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換測量UT-UCMKF算法減少了7.4%,相比于非線性UKF算法減少了42.1%。

表1 仿真結(jié)果性能對比(場景1)

表2 仿真結(jié)果性能對比(場景2)

5 結(jié)論

本文從天基預(yù)警雷達(dá)的特殊背景出發(fā),建立了天基預(yù)警雷達(dá)的跟蹤模型,提出了一種改進的去偏轉(zhuǎn)換濾波算法,一方面,引入了求容積法的思想,提高了算法的濾波精度和運算速度,另一方面,引入噪聲協(xié)方差調(diào)整系數(shù),改善了濾波發(fā)散的情況,并通過蒙特卡羅仿真實驗,檢驗了算法在弱機動和強機動兩種條件下的性能,驗證了所提算法的有效性。

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