陳明建 龍國(guó)慶 黃中瑞

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院,安徽合肥 230037)

1 引言

陣列信號(hào)空間譜估計(jì)在雷達(dá)、聲納、移動(dòng)通信以及語(yǔ)音增強(qiáng)等領(lǐng)域研究有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。特別是基于子空間的多信號(hào)分類(lèi)法(MUSIC)[3-5]、旋轉(zhuǎn)子空間不變法(ESPRIT)[5]以及子空間擬合法[6]。子空間類(lèi)的DOA估計(jì)算法應(yīng)用前提是信源數(shù)準(zhǔn)確已知。因此信源數(shù)目估計(jì)是基于子空間類(lèi)超分辨DOA估計(jì)算法首要解決的問(wèn)題。

典型的信源數(shù)估計(jì)方法主要包括：基于A(yíng)IC準(zhǔn)則[7]和MDL準(zhǔn)則[8-10]的信息論方法、基于特征值一步預(yù)測(cè)法[11]、貝葉斯預(yù)測(cè)密度法[12]等。這些方法應(yīng)用的前提是假定陣元噪聲為高斯白噪聲,而實(shí)際的噪聲模型可能是空間非平穩(wěn),非均勻噪聲。近些年來(lái),學(xué)者們相繼提出了色噪聲背景下的信源數(shù)估計(jì)方法,如蓋氏圓盤(pán)法(GDE)[13]、正則相關(guān)法[14]、基于對(duì)角加載的特征值校正方法[15]等。GDE法同時(shí)利用了特征值和特征向量信息,因此在色噪聲條件下仍然可以正確估計(jì)信源數(shù),但在低信噪比時(shí)性能較差,且需要人工選擇調(diào)整因子。正則相關(guān)法對(duì)陣列幾何結(jié)構(gòu)是嚴(yán)格限制,因此實(shí)用性受到了極大的限制?；趯?duì)角加載的信源數(shù)估計(jì)方法一定程度上解決噪聲特征值發(fā)散引起信源數(shù)估計(jì)性能下降的問(wèn)題,但是需要人為設(shè)置對(duì)角加載量,最優(yōu)加載量無(wú)法準(zhǔn)確獲得。

針對(duì)非均勻噪聲背景下信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題,本文提出基于修正數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的SORTE信源數(shù)估計(jì)方法。該方法首先通過(guò)構(gòu)造特殊對(duì)角矩陣得到修正的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。該矩陣包含了信源所有信息,并剔除了非均勻噪聲影響；然后利用該矩陣對(duì)應(yīng)特征值二階統(tǒng)計(jì)量的方差信息,構(gòu)造SORTE判決函數(shù)實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。

2 信號(hào)模型

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)以角度θ=[θ1,θ2,…,θK]T入射到M元均勻線(xiàn)陣上,符號(hào)(·)T表示轉(zhuǎn)置。陣元間距為半波長(zhǎng)；假定陣列噪聲為時(shí)間平穩(wěn)、空間非平穩(wěn)的零均值復(fù)高斯噪聲,則陣列接收信號(hào)可表示為

(1)

其中a(θ)是陣列導(dǎo)向矢量,表示為

a(θ)=[1,e-jsin θ,…,e-j(M-1)sin θ]T

(2)

A(θ)=[a(θ1),…,a(θK)]為導(dǎo)向矢量矩陣。s(t)=[s1(t),…,sK(t)]T為入射信號(hào)源矢量；n(t)非均勻噪聲矢量。則x(t)的協(xié)方差矩陣可表示為

R=E{x(t)xH(t)}=ARsAH+Q

(3)

式中：為了行文的簡(jiǎn)潔,A(θ)簡(jiǎn)寫(xiě)為A。符號(hào)E{·}、(·)H分別表示統(tǒng)計(jì)期望值、共軛轉(zhuǎn)置,Rs=E{s(t)sH(t)}、Q=E{n(t)nH(t)}。若噪聲為空時(shí)均不相關(guān)的非均勻噪聲,則Q可表示為

(4)

3 信源數(shù)估計(jì)方法

3.1 基于對(duì)角加載的MDL法

(5)

在理想白噪聲背景下噪聲特征值近似相等,MDL準(zhǔn)則能有效實(shí)現(xiàn)信源數(shù)一致估計(jì),但在空間非均勻噪聲背景下噪聲特征值發(fā)散,此時(shí)基于MDL準(zhǔn)則估計(jì)方法將失效。針對(duì)該問(wèn)題,基于對(duì)角加載的修正采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為

(6)

3.2 蓋氏圓方法

蓋氏圓方法是對(duì)R進(jìn)行酉變換估計(jì)信源數(shù)。若對(duì)R進(jìn)行分塊

(7)

其中R′為R前M-1行和前M-1列組成的矩陣。利用R′特征分解得到特征向量矩陣V構(gòu)造酉變換矩陣T

(8)

酉變換矩陣T對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行如下變換

(9)

則GDE準(zhǔn)則可描述為

(10)

式中,D(N)是與快拍數(shù)有關(guān)的調(diào)整因子。當(dāng)k由小到大進(jìn)行取值時(shí),假設(shè)當(dāng)k=kGDE時(shí),GDE(k)第一次出現(xiàn)負(fù)數(shù),則信源數(shù)為kGDE-1。

3.3 本文方法

(1)修正的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

(11)

符號(hào)D(R)表示對(duì)角矩陣,其對(duì)角線(xiàn)元素為矩陣R的主對(duì)角線(xiàn)元素。式(11)可以等價(jià)表示為

(12)

(13)

證明假定A的第m行向量表示為bm[am(θ1),…,am(θK)],則ARsAH主對(duì)角線(xiàn)上的第m個(gè)元素表示為

(14)

式中：Pk為第k信源的功率,且利用了|am(θk)|=1的關(guān)系。

(15)

對(duì)ARsAH進(jìn)行特征分解,可得

(16)

將式(16)代入到式(15)可得

(17)

(2)SORTE法信源估計(jì)

(18)

(19)

利用特征值方差信息構(gòu)造判決函數(shù)為[17]

(20)

由式(18)、(19)、(20)可知

(21)

則可得信源估計(jì)的判決函數(shù)為

(22)

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)1白噪聲背景下正確檢測(cè)概率與信噪比、快拍數(shù)關(guān)系

假定噪聲為空時(shí)高斯白噪聲。圖1是快拍數(shù)為200時(shí)正確檢測(cè)概率與SNR關(guān)系曲線(xiàn)。圖2是SNR為0 dB時(shí)正確檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系曲線(xiàn)。

圖1 白噪聲背景下正確檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

圖2 白噪聲背景下正確檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系

由圖1可知,在高斯白噪聲條件下,所有信源數(shù)估法在一定SNR條件下均能實(shí)現(xiàn)100%成功估計(jì),但本文方法和SORTE法在低SNR條件性能更優(yōu),兩者性能接近；MDL法性能次之,而基LMDL法在白噪聲背景下反而性能更差。這是由于特征值校正是以犧牲SNR為代價(jià),對(duì)角加載相當(dāng)于向陣列注入白噪聲。

由圖2可知：當(dāng)SNR為0 dB時(shí)GDE法在短快拍時(shí)正確檢測(cè)概率達(dá)到了40%以上,但收斂速度較慢,由于GDE法調(diào)整參數(shù)D(N)與快拍數(shù)相關(guān),若采用固定的調(diào)整參數(shù),則在不同快拍數(shù)時(shí)算法性能穩(wěn)定性較差；MDL法、SORTE法以及本文算法在短快拍時(shí)性能接近,收斂速度較快。LMDL法由于人為注入白噪聲,等價(jià)于降低SNR,因此其性能最差。

實(shí)驗(yàn)2色噪聲背景下正確檢測(cè)概率與信噪比、快拍數(shù)關(guān)系

假設(shè)噪聲為非均勻空間色噪聲,圖3為采樣快拍數(shù)為200時(shí)正確檢測(cè)概率與SNR的關(guān)系曲線(xiàn)。圖4為SNR為0 dB時(shí)正確檢測(cè)概率與快拍數(shù)的關(guān)系曲線(xiàn)。

圖3 色噪聲背景下正確檢測(cè)概率與SNR關(guān)系

圖4 色噪聲背景下正確檢測(cè)概率與快拍數(shù)關(guān)系

由圖3可知,在非均勻噪聲條件下,MDL算法失效,LMDL、GDE法在色噪聲背景下均能實(shí)現(xiàn)信源數(shù)有效估計(jì),但兩種算法性能受限于算法調(diào)整參數(shù),至今沒(méi)有合適的準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的算法調(diào)整參數(shù)；SORTE法性能介于MDL與GDE之間,由于非均勻噪聲的影響,其實(shí)現(xiàn)100%正確檢測(cè)的信噪比門(mén)限大于4 dB,而本文算法在SNR大于-5 dB時(shí)即可實(shí)現(xiàn)100%正確檢測(cè),且在低信噪比時(shí)其正確檢測(cè)性能最優(yōu)。這主要是因?yàn)楸疚乃惴ɡ脭?shù)據(jù)協(xié)方差矩陣與其對(duì)角元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣相減,消除了非均勻噪聲的影響,改善了算法在低信噪比時(shí)性能。

從圖4可以看出,在SNR等于0 dB時(shí)MDL算法在色噪聲條件下性能急劇惡化,無(wú)法估計(jì)信源數(shù)。而SORTE法和GDE法正確檢測(cè)概率較低,只有本文方法和LMDL法能夠?qū)崿F(xiàn)一致估計(jì),但本文算法收斂速度要優(yōu)于LMDL法,即本文方法在短快拍條件信源數(shù)估計(jì)性能更優(yōu)。

實(shí)驗(yàn)3色噪聲背景下算法正確檢測(cè)概率與WNPR關(guān)系

圖5 不同WNPR時(shí)正確檢測(cè)概率

由圖5可知,不同WNPR對(duì)GDE法、LMDL法以及SORTE法性能影響較大。MDL、GDE法基本失效,SORTE、LMDL算法的正確檢測(cè)概率均隨著WNPR增大逐漸降低。只有本文方法對(duì)WNPR變化不敏感,即使在低SNR、高WNPR時(shí)其正確檢測(cè)概率接近1,因此本文方法在非均勻噪聲背景下信源數(shù)估計(jì)具有穩(wěn)健性。

5 結(jié)論

針對(duì)非均勻空間色噪聲背景下的信源數(shù)估計(jì)問(wèn)題,本文提出了基于修正協(xié)方差矩陣的SORTE信源數(shù)估計(jì)方法。該方法通過(guò)構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣,剔除了非均勻噪聲影響,然后利用構(gòu)造協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)特征值的方差信息實(shí)現(xiàn)信源數(shù)估計(jì)。仿真結(jié)果表明：該方法在非均勻噪聲背景下能夠?qū)崿F(xiàn)信源數(shù)的一致估計(jì),尤其是在低信噪比、短快拍條件下信源數(shù)估計(jì)性能要優(yōu)于其他類(lèi)方法。

[1] Krim H, Viberg M. Two decades of array signal processing research: the parametric approach[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 1996, 13(4):67-94.

[2] Tuncer T E, Friedlander B. Classical and modern direction-of-arrival estimation [M]. Elsevier, Burlington, MA,2009.

[3] Liu G, Chen H, Sun X, et al. Modified music algorithm for DOA estimation with nystr?m approximation[J]. IEEE Sensors Journal, 2016, 16(12):4673- 4674.

[4] Basikolo T, Arai H. Aprd-music algorithm DOA estimation for reactance based uniform circular array[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2016, 64(10):4415- 4422.

[5] Chen F J, Kwong S, Kok C W. ESPRIT-like two-dimensional DOA estimation for coherent signals[J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems, 2010, 46(3):1477-1484.

[6] Zhang X, Li Y, Yang X, et al. Sub-array weighting un-music: a unified framework and optimal weighting strategy[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2014, 21(7):871- 874.

[7] Lu Z, Zoubir A M. Generalized bayesian information criterion for source enumeration in array processing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(6):1470-1480.

[8] 許佳奇, 王川川, 曾勇虎,等. 蓋爾圓定理和最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則相結(jié)合的信源數(shù)目估計(jì)方法研究[J]. 信號(hào)處理, 2017,33(3A):53-57.

Xu Jiaqi,Wang Chuanchuan,Zeng Yonghu.Research on source number estimation based on Geschgorin disk estimator theorem and minimum description length criterion[J].Journal of Signal Processing,2017,33(3A):53-57.(in Chinese)

[9] Huang L, Xiao Y, Liu K, et al. Bayesian information criterion for source enumeration in large-scale adaptive antenna array[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2016,65(5):3018-3032.

[10]艾健健, 劉成城, 趙擁軍. 利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗DL信源數(shù)估計(jì)算法[J]. 信號(hào)處理, 2015,31(2):186-193.

Ai Jianjian,Liu Chengcheng,Zhao Yongjun.MDL algorithm for source enumeration using random matrix theory[J].Journal of Signal Processing,2015,31(2):186-193.(in Chinese)

[11]Han K, Nehorai A. Improved source number detection and direction estimation with nested arrays and ULAs using jackknifing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(23):6118- 6128.

[12]Cho C M, Djuric P M. Detection and estimation of DOA's of signals via Bayesian predictive densities[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(11):3051-3060.

[13]Huang L, Long T, Wu S. Source enumeration for high-resolution array processing using improved Gerschgorin radii without eigendecomposition[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(12):5916-5925.

[14]Stoica P, Wong K M, Wu Q. On a nonparametric detection method for array signal processing in correlated noise fields[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 44(4):1030-1032.

[15]張杰, 廖桂生, 王玨. 對(duì)角加載對(duì)信號(hào)源數(shù)檢測(cè)性能的改善[J].電子學(xué)報(bào), 2004, 32(12):2094-2097.

Zhang Jie,Liao Guisheng,Wang Yu.Performance improvement of source number detection using diagonal loading[J]. Acta Electronica Sinica, 2004, 32(12): 2094-2097.(in Chinese)

[16]Liao B, Huang L, Guo C, et al. New approaches to direction of arrival estimation with sensor arrays in unknown nonuniform noise[J]. IEEE Sensors Journal, 2016, 16(99):8982- 8989.

[17]He Z, Cichocki A, Xie S, et al.Detecting the number of clusters in n-way probabilistic clustering[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2010, 32(11):2006-2021.