吳彥華 馬慶力

(國防科技大學電子對抗學院，安徽合肥 230037)

1 引言

BPSK(Binary Phase Shift Keying)信號是數(shù)字通信中經(jīng)常采用的調(diào)制信號。它具有較高的頻帶利用率、較強的抗噪聲干擾能力和具備展寬信號帶寬的優(yōu)勢，難于探測[1]。因此，相移鍵控經(jīng)常應用于軍事通信、低截獲概率雷達信號，并且它也是和擴頻技術(shù)結(jié)合最成熟的調(diào)制技術(shù)。

對于作為非合作方的第三方無線電監(jiān)測，由于接收到的信號往往都比較弱，因此對微弱BPSK信號的盲檢測是一個重要課題。當前，相移鍵控信號的盲檢測有很多方法，如文獻[2-3]采用高階累積量和循環(huán)譜的檢測方法，文獻[4]采用聯(lián)合頻譜估計與循環(huán)矩的檢測方法，文獻[5]采用最大自然準則估計方法，文獻[6]采用基于星座圖的檢測方法，文獻[7]采用隨機共振相移鍵控信號參數(shù)估計方法，以及早期采用的各種時頻分析檢測方法等。這些方法大部分需要在信噪比大于0 dB才能取得良好效果，對于信噪比低于-10 dB的微弱相移鍵控信號檢測，很多方法效果不明顯。

自混沌理論應用于微弱信號檢測以來，由于其可在較低信噪比下檢測出微弱信號的存在，受到了越來越多研究者的重視。在實際應用中，常常采用Duffing系統(tǒng)作為產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)。Duffing振子對與系統(tǒng)策動力同頻率的小信號具有敏感性，而對高斯噪聲信號具有極強免疫力，因此，利用Duffing振子在混沌態(tài)到周期態(tài)的分岔行為，可以判斷出強噪聲中是否存在微弱周期信號。

在Duffing振子檢測微弱信號理論和方法的研究方面，文獻[8]提出變尺度微弱信號檢測方法，解決不同頻率下的參數(shù)確定問題。文獻[9-10]提出從周期態(tài)向混沌態(tài)的逆向相變檢測方法，減少相變過渡帶的影響。文獻[11]提出策動力移相法用于消除檢測盲區(qū)，構(gòu)造基于類Halmiton系統(tǒng)的檢測統(tǒng)計量作為系統(tǒng)狀態(tài)量化判斷標準。文獻[12]提出了利用哈密頓量構(gòu)造統(tǒng)計量的定量判別方法，有利于在短時間內(nèi)進行判決。文獻[13]將小波變換與Duffing振子結(jié)合檢測微弱信號，達到了一定效果。文獻[14]基于van der Pol-Duffing振子進行微弱信號檢測，在-45 dB信噪比下仍可以檢測出信號。文獻[15]可以實現(xiàn)對多頻率信號的檢測。文獻[16]提出適應步長型檢測方法，提高弱信號檢測性能。這些文獻資料主要是針對周期弱信號檢測的。

在Duffing振子檢測相移鍵控信號的研究方面，文獻資料比較少，主要原因在于信號與Duffing系統(tǒng)的頻差以及信號本身相位的變化會導致Duffing系統(tǒng)相圖呈現(xiàn)復雜的狀態(tài)。文獻[17]對采用Duffing振子檢測相移鍵控信號進行了研究，可以在-28 dB信噪比下取得較好效果，但不能應用于盲檢測。文獻[18]建立了識別相移鍵控信號識別模型，但它們只針對信號頻率與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號頻率同頻的情況。文獻[19]建立了基于Duffing振子的相移鍵控信號調(diào)制識別算法，但同樣需要知道載頻頻率的先驗知識，并且信噪比要求較高(-5 dB以上)。

本文在研究Duffing振子周期信號檢測基礎(chǔ)上，指出Duffing系統(tǒng)策動力(內(nèi)置信號)之間與輸入信號之間的頻差和相差將使系統(tǒng)將進入周期性混沌狀態(tài)，而對BPSK信號，系統(tǒng)將進入間歇性混沌狀態(tài)。本文采用時序圖法表征間歇性混沌狀態(tài)，并利用改進的S變換算法提取時序輸出包絡以提高系統(tǒng)狀態(tài)判斷準確性，分析了方程控守頻帶范圍，最后通過正相振子和反相振子檢測方程建立了微弱BPSK信號盲檢測模型并進行了仿真實驗。

2 Duffing振子微弱周期信號檢測

2.1 頻率相位匹配時檢測原理

考慮Holmes型Duffing方程[20]：

(1)

式中，k為阻尼率；-x+x3為非線性恢復力，由于Duffing方程中具有此非線性項，使得方程具有豐富的非線性動力學特性[21]；Fcos(ωt)為系統(tǒng)內(nèi)置信號也即系統(tǒng)策動力，F(xiàn)表示內(nèi)置信號幅值，ω表示內(nèi)置信號角頻率也即振子的固有頻率。方程(1)也可寫為：

(2)

研究Duffing方程動力學過程，Duffing振子相軌跡具有如下特性：固定k值，1)當F=0時，相軌跡從任意初始值開始的演化軌道收斂到焦點(±1,0)中的一個；2)當F≠0時，F(xiàn)較小，相軌跡逐漸收斂到兩個焦點之一。隨著F的增大，相軌跡由周期逐漸演化為混沌運動，并在較大范圍內(nèi)保持混沌運動。當F大于某一個閾值Fr(Fr稱為臨界值)時，系統(tǒng)相軌跡由混沌態(tài)躍遷為大尺度周期態(tài)。

在方程(2)中取參數(shù)k=0.5，初始值x(0)=0，y(0)=x′(0)=0，采樣速率fs=40 MHz，采樣點數(shù)10000點，內(nèi)置信號頻率f=ω/(2π)=1 MHz，采用四階Runge-Kutta算法對微分方程進行求解，去除暫態(tài)后得到系統(tǒng)的相軌跡。當F=0.825時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)，如圖1(a)所示；當F=0.826時，系統(tǒng)處于大尺度周期態(tài)，如圖1(b)所示。從圖形可以看出，系統(tǒng)參數(shù)F的微小變化將引起系統(tǒng)狀態(tài)從混沌態(tài)到周期態(tài)的躍遷。因此，F(xiàn)=0.825認為是系統(tǒng)狀態(tài)改變的臨界值Fr。

圖1 Duffing振子混沌態(tài)和周期態(tài)相軌跡分布

在對弱信號檢測時，系統(tǒng)內(nèi)置信號幅值設定為臨界值Fr，將含有高斯白噪聲n(t)的待測信號s(t)作為周期驅(qū)動力的攝動輸入到系統(tǒng)中，則弱信號檢測模型為：

Frcos(ωt)+s(t)+n(t)

(3)

當待測信號中包含同頻的微弱周期小信號且與參考信號相位一致時，疊加后的策動力幅值將超過臨界值，系統(tǒng)發(fā)生正向相變，進而判斷待測信號中微弱周期信號的存在。

取s(t)=0.01cos(2πfct)，fc=1 MHz，噪聲為高斯白噪聲，SNR=-30 dB。Duffing系統(tǒng)實驗參數(shù)同圖1，可以得到Duffing系統(tǒng)在Fr=0.825處的相軌跡輸出如圖2所示，系統(tǒng)處于周期態(tài)，判斷存在微弱信號。

圖2 匹配輸入信號的Duffing系統(tǒng)相圖

2.2 頻率相位不匹配對Duffing系統(tǒng)相圖影響分析

考慮一般情況，輸入信號Input為：

Input=s(t)+n(t)=Acos((ω+Δω)t+φ)+n(t)

(4)

即待檢信號s(t)與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號存在頻差Δω和相位差φ，A為待檢信號幅度。此時，在臨界門限下，Duffing系統(tǒng)周期驅(qū)動力r(t)可以寫為：

r(t)=Frcos(ωt)+Acos((ω+Δω)t+φ)=

B(t)cos(ωt+θ(t))

(5)

其中，

(6)

(7)

現(xiàn)在，只考慮微弱信號情況，即A?Fr，A/Fr→0，則有：

(8)

(9)

對于未知頻率相位信號，大部分存在頻差1Δω1≠0和相差φ≠0。由式(9)可以得出：

(10)

可見，頻差1Δω1的存在，將使得Duffing系統(tǒng)相軌跡處于一個不穩(wěn)定的狀態(tài)中，系統(tǒng)相圖一會處于周期態(tài)，一會處于混沌態(tài)。隨著頻差1Δω1的增大，相軌跡狀態(tài)變化周期減小，在周期態(tài)和混沌態(tài)之間切換的頻率加快。

仿真實驗如下。取頻差Δf=Δω/(2π)=5 kHz，為簡化討論，令相差φ=0，其他實驗條件同上。得到Duffing系統(tǒng)相圖如圖3所示。

圖3 Δω≠0，φ=0時Duffing系統(tǒng)相圖

圖4 Δω≠0，φ=0時Duffing系統(tǒng)分段相圖

綜合以上兩點，可以看出，對于任意的待檢信號s(t)=Acos((ω+Δω)t+φ)，當信號s(t)與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號存在頻差Δω和相位差φ時，相差φ只會影響系統(tǒng)是處于周期態(tài)還是混沌態(tài)，但系統(tǒng)相圖的狀態(tài)是穩(wěn)定的；而頻差Δf將使系統(tǒng)相圖處于周期性混沌的不穩(wěn)定狀態(tài)當中，相軌跡演化一會兒處于混沌態(tài)，一會兒處于周期態(tài)，并以周期1/1Δf1交替出現(xiàn)，周期態(tài)和混沌態(tài)持續(xù)時間相同，為tspan=1/(21Δf1)。

3 Duffing振子微弱BPSK信號盲檢測模型

3.1 BPSK信號

相移鍵控是利用載波的相位變化來傳遞數(shù)字信息，而振幅和頻率保持不變。雙極性BPSK信號的時域表達式可以表示為[1]：

(11)

若BPSK信號“1”碼和“-1”碼等概率出現(xiàn)，可以得到BPSK信號的功率譜密度為：

(12)

式中，Td為基帶信號碼元周期。

從式(12)可以看出，BPSK信號的功率譜中無載波分量，實際上是抑制載波的調(diào)制信號，從頻譜上直接分析是否存在微弱BPSK信號是比較困難的。

3.2 基于S變換時序圖法混沌狀態(tài)判別

對微弱BPSK信號的盲檢測，由于不知道BPSK信號的頻率，并且其相位在不斷變化當中，在頻偏和相位的雙重影響下，此時Duffing系統(tǒng)相圖處于不具有周期性的間歇性混沌狀態(tài)。因此，對微弱BPSK信號Duffing系統(tǒng)狀態(tài)的判別，需要密切和時間關(guān)聯(lián)，這樣才能準確判斷系統(tǒng)在某一時刻是處于周期態(tài)還是混沌態(tài)，進而判斷微弱信號的存在。

對混沌特性的判定，目前通常采用的方法主要包括相平面法、Lyaponov指數(shù)法和時序圖法[18]。

相平面法就是得到混沌系統(tǒng)運動軌跡圖像，如上面分析所采用，然后對相圖進行圖像識別，判斷系統(tǒng)是處于周期態(tài)還是混沌態(tài)。系統(tǒng)是一段時間內(nèi)的整體軌跡。

Lyaponov指數(shù)法是采用Lyaponov指數(shù)來表征系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對一維映射xn=f(xn)，Lyaponov指數(shù)定義為[22]：

(13)

可見，Lyaponov指數(shù)是沿軌道長期平均的結(jié)果，是一種整體特征。

時序圖法是指混沌系統(tǒng)在混沌態(tài)和周期態(tài)具有不同的輸出時對應的不同時序圖，其反應了在不同時間Duffing系統(tǒng)輸出。因此，這種方法更適合反映間歇性混沌在各個時間的狀態(tài)。

可以得到在混沌態(tài)和周期態(tài)下Duffing系統(tǒng)輸出x的時序圖如圖5所示，實驗條件同圖1。

圖5 Duffing振子混沌態(tài)和周期態(tài)時序圖

從圖5看出，當系統(tǒng)處于混濁臨界狀態(tài)時，系統(tǒng)并沒有固定的周期。當系統(tǒng)躍變到大尺度周期狀態(tài)時，系統(tǒng)擁有了固定的周期。這些差別，直接在頻率域上分析很難區(qū)分，但混沌態(tài)和周期態(tài)對Duffing系統(tǒng)輸出的包絡產(chǎn)生了比較明顯的影響，在混沌態(tài)下，Duffing系統(tǒng)輸出包絡起伏較大，而在周期態(tài)下，包絡恒定。為了更清晰反應時序輸出包絡的變化，本文采用S變換來直接提取Duffing系統(tǒng)輸出時序包絡。

S變換是在連續(xù)小波變換和短時傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時頻分析方法，同其他時頻方法相比，具有多分辨特性、無交叉項、計算速度快等特點[23-25]。

信號h(t)的S變換定義為：

(14)

式中，a為常數(shù)。S變換對應的窗函數(shù)為：

(15)

S變換離散變換形式為：

(16)

其中k=0,1,…,N-1；n=1,…,N-1。N為采樣點數(shù)。為了進一步提高運算速度，采用文獻[25]提出的改進離散S變換算法提取Duffing系統(tǒng)輸出時序包絡。

仿真實驗如下。

(1)無頻差

BPSK信號仿真在式(11)中取A=0.01，fc=1 MHz，碼元速率fd=1/Td=40 kHz，采樣速率fs=40 MHz，采樣點數(shù)N=10000，噪聲為高斯白噪聲，SNR=-30 dB，Duffing系統(tǒng)參數(shù)設置同圖2。S變換中，為了更好提取f=1 MHz的Duffing系統(tǒng)時序輸出包絡和反映包絡變化，窗函數(shù)w(t)在f=1 MHz處的時窗寬度取為4.68 μs。此時，BPSK信號與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率同頻，可以得到Duffing系統(tǒng)時序輸出和在f=1 MHz處S變換包絡提取結(jié)果如圖6所示。

圖6 無頻差BPSK信號Duffing振子輸出時序圖及包絡

從圖6可以看出，當輸入信號與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號頻差Δf=0時，Duffing系統(tǒng)狀態(tài)在輸入信號調(diào)制碼元為“1”時，呈周期態(tài)；為“-1”時，呈混沌態(tài)。值得注意的是，此時，Duffing系統(tǒng)輸出狀態(tài)不具有周期性，是間歇性混沌狀態(tài)。而系統(tǒng)狀態(tài)在Duffing系統(tǒng)輸出時域波形包絡上進行了體現(xiàn)，周期態(tài)時，包絡恒定，混沌態(tài)時，包絡起伏較大。據(jù)此可以判斷系統(tǒng)的狀態(tài)。

對比圖6(a)和(c)，系統(tǒng)在周期態(tài)和混沌態(tài)之間進行狀態(tài)轉(zhuǎn)換時，存在過渡帶。文獻[9-10]對于減少過渡帶影響進行了論證。

(2)有頻差

圖7給出了在BPSK信號頻率fc=1.005 MHz，其他實驗條件同上情況下，Duffing系統(tǒng)時序輸出和在f=1 MHz處S變換包絡提取結(jié)果?？梢钥闯?，雖然由于頻差的影響，BPSK信號Duffing系統(tǒng)輸出狀態(tài)變復雜，但仍然可以分辨出系統(tǒng)的間歇性混沌狀態(tài)。

B

(17)

由以上討論，相較于相平面法和Lyaponov指數(shù)法反應的是一段時間內(nèi)的整體特征，時序圖法來表示BPSK信號的Duffing系統(tǒng)狀態(tài)并利用S變換提取輸出時序包絡，可以較好反映出Duffing系統(tǒng)在每個時刻的狀態(tài)，對于分析間歇性混沌狀態(tài)是一個很好的工具。而且，時序圖法的運算速度比另外兩種方法較快，具有較高的效率。

圖7 有頻差BPSK信號Duffing振子輸出時序圖及包絡

3.3 微弱BPSK信號盲檢測模型

對于方程(3)，在有微弱周期信號輸入但與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率相位相反時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。對這類信號建立檢測方程如下：

Frcos(ωt+π)+s(t)+n(t)

(18)

對比方程(3)和方程(18)，兩者區(qū)別在于將Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號反相，稱方程(3)為正相振子檢測方程，方程(18)為反相振子檢測方程。

與對方程(3)的分析類似，我們同樣可以得出反相振子檢測方程在頻差和相差影響下的Duffing系統(tǒng)相軌跡演化與正相振子檢測方程相同。區(qū)別在于，當Duffing系統(tǒng)有攝動信號輸入時，如果正相方程處于周期態(tài)，則對應時段反相方程處于混沌態(tài)；反之亦反。

在檢測存在相位反相變化的微弱BPSK信號時，將方程(3)和方程(18)系統(tǒng)輸出狀態(tài)結(jié)合，更加有利于判斷Duffing系統(tǒng)輸出狀態(tài)，從而判斷系統(tǒng)輸入中是否有待檢信號。建立單通道微弱PSK信號盲檢測模型如圖8所示。

圖8 單通道微弱BPSK信號盲檢測模型

在檢測時，根據(jù)式(17)確定檢測模型控守頻段，取其中心頻率作為Duffing系統(tǒng)正相和反相振子內(nèi)置頻率，S變換對正相和反相振子輸出時序在內(nèi)置頻率上提取包絡，包絡識別算法根據(jù)幅度離散情況，判斷是否有周期態(tài)存在，存在周期態(tài)，輸出“1”，否則輸出“0”，最后對正相和反相兩路輸出進行“或”運算。系統(tǒng)輸出“1”，則判斷控守帶寬內(nèi)有微弱BPSK信號存在，否則判斷為無。

為進一步驗證模型盲檢測效果，仿真接收機中頻信號頻率為1 MHz，控守帶寬為80 kHz，BPSK信號采樣速率40 MHz，采樣點數(shù)10000點，信道噪聲為高斯白噪聲。采用圖8模型對BPSK信號進行盲檢測，Duffing系統(tǒng)參數(shù)設定同上。仿真實驗以信噪比進行分組，信噪比在-15 dB到-35 dB范圍內(nèi)取步進為5 dB，在-35 dB至-45 dB范圍內(nèi)取步進為1 dB，共15組實驗。每組進行100次仿真實驗，每次實驗時BPSK信號幅度在0.001～0.020之間(確保信號微弱性)、碼元速率在5～40 kHz之間以及載頻在0.960～1.040 MHz隨機選取。在圖8所示模型中輸入含有高斯白噪聲的微弱BPSK信號，Duffing系統(tǒng)輸出“1”為正確識別，輸出“0”為錯誤識別，統(tǒng)計每組實驗中的正確識別次數(shù)和錯誤識別次數(shù)，并計算檢測概率和錯誤概率，得到隨輸入信號信噪比變化的檢測概率和錯誤概率如圖9所示。可以看出，在信噪比大于-41 dB時，檢測概率大于錯誤概率，系統(tǒng)在信噪比大于-40 dB時，可以穩(wěn)定實現(xiàn)對微弱BPSK信號的盲檢測。

在接收機接收到的整個頻段范圍內(nèi)判斷是否有微弱BPSK信號存在時，可以將處理頻段分為n個通道，每個通道控守的帶寬為B，采用每個通道分段控守，實現(xiàn)對整個頻段的全覆蓋。Duffing振子盲檢測微弱BPSK信號模型如圖10所示。任一通道內(nèi)有相圖狀態(tài)輸出“1”，則判斷在對應通道內(nèi)有微弱信號存在。

圖9 檢測概率和錯誤概率隨信噪比變化圖

圖10 基于Duffing系統(tǒng)和S變換微弱BPSK信號盲檢測模型

4 結(jié)論

本文從Duffing振子微弱信號檢測基本原理出發(fā)，分析了周期信號與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號存在頻差和相差時，對Duffing系統(tǒng)相軌跡演化的影響。針對微弱BPSK信號盲檢測問題，指出由于沒有BPSK信號先驗載波知識和信號本身相位變化，將引起Duffing系統(tǒng)間歇性混沌發(fā)生。為了更好反應間歇性混沌狀態(tài)變化，采用時序圖法并引入S變換提取時序輸出包絡來判別混沌狀態(tài)，并分析了檢測方程確定的控守頻帶范圍。通過建立正相振子和反相振子檢測方程，提出了基于Duffing振子和S變換的微弱BPSK信號盲檢測模型，并通過仿真實驗，驗證了模型的有效性和可行性。基于Duffing振子和S變換微弱BPSK信號盲檢測模型的建立，對于搜索和探測強噪聲中的未知微弱BPSK信號，具有重要的理論和應用價值，拓展了Duffing振子在信號檢測領(lǐng)域的應用范圍。

[1] 樊昌信, 曹麗娜. 通信原理[M]. 第6版. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2010: 188-212.

Fan Changxin, Cao Lina. Communication Theory[M]. Sixth Edition. Beijing: National Defense Industry Press, 2010: 188-212. (in Chinese)

[2] 趙雄文, 郭春霞, 李景春. 基于高階累積量和循環(huán)譜的信號調(diào)制方式混合識別算法[J]. 電子與信息學報, 2016, 38(3): 674- 680.

Zhao X W, Guo C X, Li J C. Mixed Recognition Algorithm for Signal Modulation Schemes by High-order Cumulants and Cyclic Spectrum[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2016, 38(3): 674- 680. (in Chinese)

[3] 鄭鵬, 張鑫, 劉鋒, 等. 基于循環(huán)譜的MPSK信號盲檢測[J]. 計算機仿真, 2012, 29(4): 130-133.

Zheng P, Zhang X, Liu F, et al. Blind detection of MPSK Signals Based on Cyclic Spectrum[J]. Computer Simulation, 2012, 29(4): 130-133. (in Chinese)

[4] 吳濤, 狄旻珉, 黃國策. 聯(lián)合頻偏估計與循環(huán)矩的MPSK信號調(diào)制識別算法[J]. 儀表技術(shù)與傳感器, 2014, 12: 102-104.

Wu T, Di M M, Huang G C. Joint Frequency Offset Estimation and Cyclic Moments MPSK Signal Modulation Recognition Algorithm[J]. Instrument Technique and Sensor, 2014, 12: 102-104. (in Chinese)

[5] Antonio A. Efficient Maximum-Likelihood Based Clock and Phase Estimators for OQPSK Signals[J]. IEEE Trans. on Comm., 2015, 63(7): 2647-2657.

[6] 王婷婷, 龔曉峰. 基于星座圖的PSK、QAM信號聯(lián)合識別算法應用[J]. 計算機應用研究, 2015, 32(7): 2116-2118.

Wang T T, Gong X F. Application of joint signal recognition on PSK and QAM based on constellation[J]. Application Research of Computers, 2015, 32(7): 2116-2118. (in Chinese)

[7] Zhen Yafeng, Duan Chaowei. The Application of Stochastic Resonance in Parameter Estimation for PSK Signals[C]∥2015 IEEE International Conference on Communication Software and Networks (ICCSN), Chengdu,China,2015:166-172.

[8] 賴志慧, 冷永剛, 孫建橋, 等. 基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號檢測方法研究[J]. 物理學報, 2012, 61(5): 050503.

Lai Z H, Leng Y G, Sun J Q, et al. Weak characteristic signal detection based on scale transformation of Duffing oscillator[J]. Acta Phys. Sin., 2012, 61(5): 050503. (in Chinese)

[9] 劉海波, 吳德偉, 戴傳金, 等. 基于Duffing振子的弱正弦信號檢測方法研究[J]. 電子學報, 2013, 41(1): 8-12.

Liu H B, Wu D W, Dai C J, et al. A new weak sinusoidal signal detection method based on Duffing oscillators[J]. Acta Electronica Sinca, 2013, 41(1): 8-12. (in Chinese)

[10] 劉海波, 吳德偉, 金偉, 等. Duffing振子微弱信號檢測方法研究[J]. 物理學報, 2013, 62(5): 050501.

Liu H B, Wu D W, Jin W, et al. Study on weak signal detection method with Duffing oscillators[J]. Acta Phys. Sin., 2013, 62(5): 050501. (in Chinese)

[11] 牛德智, 陳長興, 班斐, 等. Duffing振子微弱信號檢測盲區(qū)消除即檢測統(tǒng)計量構(gòu)造[J]. 物理學報, 2015, 64(6): 060503.

Niu D Z, Chen C X, Ban F, et al. Blind angle elimination in weak signal detection with Duffing oscillator and construction of detection statistics[J]. Acta Phys. Sin., 2015, 64(6): 060503. (in Chinese)

[12] 魏恒東, 甘露, 李立萍. 基于哈密頓量的Duffing振子微弱信號檢測[J]. 電子科技大學學報, 2012, 41(2): 203-207.

Wei H D, Gan L, Li L P. Weak signal detection by Duffing oscillator based on Hamiltonian[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2012, 41(2): 203-207. (in Chinese)

[13] Jiang Yu, Zhu Hua, Li Z. A new compound faults detection method for rolling bearings based on empirical wavelet transform and chaotic oscillator[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2016, 89: 8-19.

[14] Zhao Zhihong, Yang Shaopu. Application of van der Pol-Duffing oscillator in weak signal detection[J]. Computers and Electrical Engineering, 2015, 41: 1- 8.

[15] Zhao Wenli, Zhao Jingxiao, Huang Zhenqiang, et al. Weak signal detection technology based on Holmes Duffing oscillator[J]. Procedia Engineering, 2012, 29: 1796-1802.

[16] 叢超, 李秀坤, 宋揚. 一種基于新型間歇混沌振子的艦船線譜檢測方法[J]. 物理學報, 2014, 63(6): 064301.

Cong C, Li X K, Song Y. A method of detecting line spectrum of ship-radiated noise using a new intermittent chaotic oscillator[J]. Acta Phys. Sin., 2014, 63(6): 064301. (in Chinese)

[17] 畢紅博, 尹成群, 黃怡然, 等. 基于Duffing振子檢測PSK信號方法的研究[J]. 信息技術(shù), 2008, 4: 121-123.

Bi H B, Yin C Q, Huang Y R, et al. Study on detection method of PSK signal based on Duffing oscillator[J]. Information Technology, 2008, 4: 121-123. (in Chinese)

[18] 馬騰躍. 多節(jié)點監(jiān)測系統(tǒng)微弱信號檢測算法研究[D]. 北京: 北京郵電大學, 2015.

Ma T Y. Research on detection method of weak signal in spectrum monitoring system[D]. Beijing: Beijing University of Post and Telecommunications, 2015. (in Chinese)

[19] 靳曉艷, 周希元. 一種基于特定Duffing振子的MPSK信號調(diào)制識別算法[J]. 電子與信息學報, 2013, 35(8): 1882-1887.

Jin X Y, Zhou X Y. A Modulation Classification Algorithm for MPSK Signals Based on Special Duffing Oscillator[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2013, 35(8): 1882-1887. (in Chinese)

[20] 李月, 楊寶俊. 混沌振子系統(tǒng)(L-Y)與檢測[M]. 北京: 科學出版社, 2007: 20.

Li Y, Yang B J. Chaotic oscillator (L-Y) and detection[M]. Beijing: Science Press, 2007: 20. (in Chinese)

[21] 劉秉正, 彭建華. 非線性動力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 132-135.

Liu B Z, Peng J H. Nonlinear Dynamics[M]. Beijing: High Education Press, 2004: 132-135. (in Chinese)

[22] Peitgen H, Jurgens H, Saupe D. Chaos and Fractals-New Frontiers of Science[M].Second Edition.Springer, 2004: 660.

[23] Huang Zhonglai, Zhang Jianzhong, Zhao Tiehu, et al. Synchrosqueezing S-Transform and Its Application in Seismic Spectral Decomposition[J]. IEEE Trans. on Geoscience and Remote Sensing, 2016, 54(2): 817- 825.

[24] Hamed Hasanvand, Amir Parastar, Behrooz Arshadi, et al. A comparison between S-transform and CWT for fault location in combined overhead line and cable distribution networks[C]∥21stIEEE Electrical Power Distribution Conference, 2016: 70-74.

[25] 吳彥華. 改進的離散S變換快速算法與連續(xù)小波變換算法性能分析[J]. 信號處理, 2012, 28(7): 973-979.

Wu Yanhua. Compare of the performance between the improved discrete S transform fast algorithm and CWT[J]. Signal Processing, 2012, 28(7): 973-979. (in Chinese)

[26] 徐艷春. 基于混沌振子的微弱光電信號檢測技術(shù)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學, 2010.

Xu Yanchun. Study of weak photo-electric signal detection based on chaotic oscillator[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2010. (in Chinese)