趙明慧 陳騮

（中國電子工程設(shè)計院有限公司 北京100086）

引言

環(huán)境振動問題是工業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常遇到的實(shí)際問題，若處理不當(dāng)會導(dǎo)致機(jī)器設(shè)備工作精度下降，使用壽命縮短，給正常生產(chǎn)工作帶來嚴(yán)重的影響。隨著我國電子行業(yè)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代設(shè)備的生產(chǎn)工藝日益增進(jìn)，對環(huán)境振動要求也越來越高，因此隔振減振技術(shù)對電子行業(yè)的發(fā)展顯得尤為重要，如何達(dá)到設(shè)備要求的振動水平成為當(dāng)前迫切需要解決的實(shí)際工程問題。為達(dá)到隔振要求，精密儀器設(shè)備底部一般安裝有隔振臺座。在實(shí)際工程中，隔振臺座大小各異，主要是根據(jù)承載的設(shè)備體積及重力確定的。大型精密儀器的體積和質(zhì)量都偏大，這對其下部的隔振臺座的承載能力和體積都有較大要求，需要使用超長型隔振臺座進(jìn)行隔振。

隔振臺座可應(yīng)用于光學(xué)制造、精密實(shí)驗(yàn)儀器等高精尖技術(shù)領(lǐng)域，關(guān)于隔振臺座隔振技術(shù)的研究在國外開展的較早。例如20世紀(jì)60年代，麻省理工學(xué)院設(shè)計的抵抗傾翻激勵的隔振平臺，其精度為每晝夜不超過2″～3″。20世紀(jì)70年代，美國空軍的實(shí)驗(yàn)室完成了對三向平動和兩項(xiàng)轉(zhuǎn)動全頻段隔振的大型隔振平臺的設(shè)計。多家國外隔振平臺生產(chǎn)廠家研制的產(chǎn)品隔振性能逐漸提升，例如日本明立精機(jī)公司生產(chǎn)的隔振平臺的振幅衰減可達(dá)1/30～1/100，且起始頻率低于2Hz以下。國內(nèi)多所科研院校也對隔振平臺的控制技術(shù)進(jìn)行了豐富的研究。例如哈爾濱工業(yè)大學(xué)對超精密車床進(jìn)行整體隔振，隔振效果良好。浙江大學(xué)胡強(qiáng)等人采用主動控制技術(shù)設(shè)計了高精度隔振平臺，對地面振動、臺面儀器運(yùn)動產(chǎn)生的擾動等振源進(jìn)行有效隔離［1］。國防科技大學(xué)龍志強(qiáng)等人設(shè)計的磁懸浮控制平臺可對20Hz的振動隔振非常明顯，衰減比高達(dá)1/40，對100Hz 的振動衰減比高達(dá)1/160［2］。目前國內(nèi)也涌現(xiàn)出許多隔振平臺生產(chǎn)廠家，其產(chǎn)品性能指標(biāo)也有大幅提升。

目前多數(shù)關(guān)于隔振臺座的研究一般采用單自由度方法，即將隔振臺座看作一個剛體，研究臺座在各項(xiàng)控制參數(shù)作用下的運(yùn)動形態(tài)。這種研究方法可以從理論層面給出各參數(shù)對隔振系統(tǒng)的影響作用，但對于大型隔振臺座而言，特別是超長型隔振基礎(chǔ)，此種方法不能考慮臺座自身的振動特性問題，易造成分析誤差。針對這一問題，本文考慮超長型隔振臺座本身的振動特性，將其簡化為彈性支撐梁模型進(jìn)行研究。目前國內(nèi)對彈性支撐梁模型的研究較為豐富［3-5］，其工程應(yīng)用背景覆蓋土木工程、車輛懸掛系統(tǒng)等領(lǐng)域。本文通過借鑒彈性支撐梁模型的研究方法，建立超長型隔振臺座的理論模型，討論隔振臺座系統(tǒng)的物理參數(shù)對其隔振性能的影響。

1 系統(tǒng)控制方程的建立

根據(jù)超長型隔振臺座的結(jié)構(gòu)形式，本文建立了如圖1所示的理論模型。在該模型中，隔振基礎(chǔ)簡化為梁結(jié)構(gòu)，跨度為L，兩端為彈簧支撐，梁截面抗彎剛度為EI，面積為A，密度為ρ，兩端彈簧剛度分別為k1和k2。此彈性支撐簡支梁的橫向位移為y，梁的振動方程為［6］：

圖1 彈性支撐梁模型Fig.1 Elastically supported beam model

取式（3）的解的形式為y=X（αcospt+βsinpt），帶入式（3）可得：

令X=enx，式（4）可表示為：

由式（5）可求解出振型函數(shù)的通解：

其等效形式為：

為求解振型函數(shù)中的未知量系數(shù)，給出彈性支撐梁的邊界條件如下：

將振型函數(shù)帶入邊界條件可得到如下方程組：

若要方程組（8）有非零解，其系數(shù)行列式為0，即：

通過求解式（9）可求得到系統(tǒng)的各階固有頻率。

2 隔振系統(tǒng)固有頻率

利用matlab軟件對式（9）進(jìn)行數(shù)值計算，可以得到系統(tǒng)固有頻率與梁高度、長度和彈簧剛度的關(guān)系。為簡化計算，假設(shè)梁兩端支撐彈簧剛度系數(shù)相同，即k1=k2，單位為N/m。

圖2給出了不同梁高的情況下隨著彈簧支撐剛度變化，彈性支撐梁固有頻率的變化趨勢。數(shù)值計算中采用的計算參數(shù)如下：取梁彈性模量為E=3.25E10Pa，梁寬度2m，長度L=60m，密度為3350kg/m3。由圖2可以看出，當(dāng)梁高介于0～2m時，系統(tǒng)固有頻率的增長率會出現(xiàn)一個拐點(diǎn)，固有頻率階數(shù)越高，拐點(diǎn)出現(xiàn)越早。此外，隨著支撐彈簧剛度增大，系統(tǒng)高階固有頻率的增長會呈現(xiàn)不同的趨勢。由圖2可見，不同的支撐剛度下系統(tǒng)的高階固有頻率在梁高為0～2m區(qū)段內(nèi)的變化趨勢有明顯區(qū)別：支撐剛度越小，系統(tǒng)高階固有頻率隨梁高增長越緩慢；支撐剛度越大，系統(tǒng)高階固有頻率隨著梁高的增大越迅速。同時由圖2可知，當(dāng)梁高度較小時，梁截面抗彎剛度也偏小，此時系統(tǒng)兩端的彈簧約束條件對梁本身的固有頻率影響更為明顯，即梁的固有頻率與支撐剛度成正比關(guān)系。隨著梁截面高度增加，梁截面抗彎剛度明顯增大，支撐剛度對系統(tǒng)高階固有頻率影響逐漸減弱。由以上分析可知，當(dāng)梁高較小時，即柔性較大的梁，支撐彈簧剛度會顯著影響隔振系統(tǒng)的固有頻率，對系統(tǒng)隔振效果作用明顯。當(dāng)梁高較大時，即剛度較大的梁，彈簧支撐剛度對系統(tǒng)高階固有頻率的影響可以忽略不計，且此時系統(tǒng)前兩階固有頻率顯著低于其他高階固有頻率。

圖2 梁高與固有頻率的關(guān)系Fig.2 Relationship between the beam height and natural frequencies

圖3 顯示了在不同支撐剛度的情況下梁的長度對系統(tǒng)固有頻率的影響。數(shù)值計算中采用的計算參數(shù)與圖2相同，令梁長為變量，梁高為h=2m。由圖3可以看出，隨著梁長度的增加，系統(tǒng)固有頻率降低。同時當(dāng)梁長增加時，彈簧支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響會逐漸顯現(xiàn)出來，支撐剛度的大小與系統(tǒng)固有頻率的大小成正比關(guān)系。

綜上所述，梁體自身剛度越低，彈簧支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響越明顯。在低剛度支撐條件下要提高系統(tǒng)的高階固有頻率，盡量將梁體剛度增大是較為有效的方法。采用此種方法可以在維持系統(tǒng)的前2階固有頻率較低的情況下明顯提高系統(tǒng)的高階固有頻率，有效減弱微振動環(huán)境下的低頻振源對精密儀器的影響，獲得良好的隔振效果。

圖3 梁長與固有頻率的關(guān)系Fig.3 Relationship between the beam length and natural frequencies

3 系統(tǒng)振動傳遞效率

由偏微分方程解的形式可知，式（9）的解可寫為如下形式：

為簡化計算，假設(shè)兩端彈性支撐的位移一致，均為u（t），則彈性支撐梁邊界條件如下：

為計算彈性支撐梁對基座位移u的傳遞函數(shù)Gb（s）和系統(tǒng)絕對傳遞率Rb（ω），假設(shè)系統(tǒng)初始振動條件為零，將邊界條件作拉氏變換，且令：

將式（10）帶入拉氏變換后的邊界條件即可求得系數(shù)C1、C2、C3、C4的表達(dá)式，即得到系統(tǒng)振形函數(shù)的具體表達(dá)式。通過整理，可以得到彈性梁中點(diǎn)位移對于基座垂直激勵u（t）的傳遞函數(shù)如下：

在式（11）中，令s=jω（ω為激勵頻率），得到圖1中力學(xué)模型的彈性梁位移相對于基座垂直激勵u（t）的頻率特性Gb（jω），其幅值稱為幅頻特性，即為本系統(tǒng)的絕對傳遞率：

基于式（12）可利用MATLAB數(shù)值計算軟件討論系統(tǒng)物理參數(shù)變換對系統(tǒng)絕對傳遞率的影響。

圖4～圖7分別為彈簧剛度、梁長度、高度和梁密度對系統(tǒng)絕對傳遞率的影響，橫坐標(biāo)為激勵頻率ω，縱坐標(biāo)為系統(tǒng)絕對傳遞率Rb（ω）。由數(shù)值結(jié)果可以看出，系統(tǒng)絕對傳遞率與支撐彈簧剛度、梁長度和高度均成反比，梁的質(zhì)量的改變對系統(tǒng)的振動傳遞率幅值影響不大。在實(shí)際工程中采用彈性支撐隔振臺座時，臺座的隔振效率是產(chǎn)品重要的性能指標(biāo)。通過以上模型的數(shù)值分析可知，增大支座剛度雖然能減小系統(tǒng)絕對傳遞率，但也會提高隔振系統(tǒng)的固有頻率，降低系統(tǒng)對低頻振源的隔振效果。在符合工程需求的情況下適當(dāng)增長隔振臺座，增大隔振臺座質(zhì)量，可有效降低隔振臺座傳遞效率和系統(tǒng)低階固有頻率，顯著提高隔振臺座對低頻振源的隔振性能。

圖4 支撐彈簧剛度與系統(tǒng)絕對傳遞率的關(guān)系Fig.4 Relationship between the spring stiffness and the transmissibility

圖5 梁長與系統(tǒng)絕對傳遞率的關(guān)系Fig.5 Relationship between the beam length and the transmissibility

圖6 梁高與系統(tǒng)絕對傳遞率的關(guān)系Fig.6 Relationship between the beam height and the transmissibility

圖7 梁密度與絕對傳遞率的關(guān)系Fig.7 Relationship between the beam density and the transmissibility

4 結(jié)論

本文建立彈性支撐梁模型作為超長型隔振臺座的計算模型，采用經(jīng)典梁理論建立系統(tǒng)的振動控制方程。通過系統(tǒng)特定邊界條件求得系統(tǒng)固有頻率及模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式，通過數(shù)值模擬討論系統(tǒng)固有頻率隨物理參數(shù)的變化規(guī)律。對系統(tǒng)振動方程進(jìn)行拉氏變換，得到梁中點(diǎn)位移相對于基座垂直位移的絕對傳遞率。利用數(shù)值模擬的方法研究系統(tǒng)的不同物理參數(shù)對系統(tǒng)絕對傳遞率的影響。數(shù)值結(jié)果表明，支撐彈簧剛度及梁高與系統(tǒng)的固有頻率均有密切關(guān)系，前者對系統(tǒng)低階固有頻率作用明顯，后者主要影響系統(tǒng)的高階固有頻率。系統(tǒng)的絕對傳遞率與支撐彈簧剛度、梁長度和高度均成反比，梁身質(zhì)量改變對系統(tǒng)的絕對傳遞率影響不大。