周維祥

（上海市政工程設計研究總院（集團）有限公司 200092）

引言

在混凝土結構截面設計時，混凝土板配筋除需要承載力驗算外，還要滿足正常使用狀態(tài)條件下裂縫控制要求，但現(xiàn)有國內(nèi)外鋼筋混凝土構件截面優(yōu)化研究都集中在強度控制條件下采用解析法［1-3］、遺傳算法［4］計算單筋最優(yōu)板厚或最優(yōu)配筋率上，忽略了裂縫限值條件，而在給水排水混凝土結構截面設計過程中，必須要進行裂縫驗算，并且往往也對配筋起控制作用，所以承載力控制條件下的“最優(yōu)板厚”并不是真正的最優(yōu)板厚。另外，混凝土板中往往有兩層及以上受力鋼筋承受面外彎矩，因此十分有必要進行承載力及裂縫雙控條件下多層鋼筋受力的最優(yōu)板厚及最優(yōu)配筋率研究。本文通過引入鋼筋混凝土構件受彎承載力計算及裂縫驗算公式，在滿足結構安全和裂縫限值的條件下，對單位面積鋼筋混凝土板造價目標函數(shù)求導得到理論最小值，進而得到特定彎矩值所需要的最優(yōu)板厚及對應配筋率。

1 造價目標函數(shù)

假設單位面積鋼筋混凝土板造價為C。板厚度為h=h0+as，雙層雙向配筋，各鋼筋層配筋率分別為鋼筋綜合單價為Cs（元/m3），混凝土綜合單價為Cc（元/t），鋼筋容重為ρs（t/m3），則：

考慮到Cs、Cc、ρs都為常數(shù)，在保護層厚度C一定的情況下，as變化幅度很小。令mc=最終定義造價目標函數(shù)為：

2 約束條件

規(guī)范［5，6］及手冊［7］規(guī)定，結構設計要滿足強度、剛度、裂縫以及構造等要求。而設計過程中強度計算、裂縫驗算是最基本的、最主要的，通常對截面設計及結構造價起控制作用。

2.1 強度條件

單筋純彎構件截面達到極限破壞時，極限彎矩為：

聯(lián)立式（2）和式（3）得到：

2.2 裂縫條件

根據(jù)GB 50069-2002規(guī)范［6］附錄A，裂縫驗算公式為：

其中，純彎構件時，取a1=0，a2=1。令：

將式（7）、式（8）代入式（5），可簡化得到鋼筋直徑d的一元三次方程：

根據(jù)卡爾丹求根公式：

對應滿足裂縫限值的配筋率：

3 截面設計優(yōu)化

3.1 強度條件下單筋截面設計優(yōu)化

單層受力鋼筋在強度控制條件下的最優(yōu)板厚可通過解析方法得到。其中非受力的三層鋼筋按有效截面的最小配筋率配置。

將式（4）代入式（1），并對強度控制條件下的造價目標函數(shù)求導：

則最優(yōu)有效截面高度：

最優(yōu)配筋率：

3.2 雙控條件下多層受力鋼筋的截面設計優(yōu)化思路

當考慮多層受力鋼筋時，強度控制條件的最優(yōu)板厚很難通過解析法得出，而考慮到裂縫控制函數(shù)的不連續(xù)性，雙控條件下多層受力鋼筋的最優(yōu)板厚采用數(shù)值解法是個不錯的選擇。

數(shù)值解法通過設定壁厚有效高度的搜索區(qū)間和特定步長，在一定設計參數(shù)條件下，通過極值算法得到造價函數(shù)的最小值，對應板厚即為最優(yōu)板厚。

本節(jié)以常用設計參數(shù)（表1）為例對造價目標函數(shù)進行優(yōu)化。其中采用細而密的配筋可以更好地滿足裂縫要求，但間距s不宜小于100mm［6］，故假設鋼筋中心間距s=100mm。

3.3 截面有效高度范圍

在確定的受力鋼筋對應彎矩值組合作用下，考慮最大配筋率和最小配筋率限制，對應強度控制條件及裂縫控制條件都有最小壁厚和最大壁厚，并且都由彎矩組合中的最大彎矩值控制。有效高度范圍的確定方法見圖1。

表1 設計參數(shù)Tab.1 Design parameter

圖1 有效高度范圍示意Fig.1 Effective height range

最小配筋率驗算時，取全截面配筋率：

當達到最大受壓區(qū)高度時，

對應強度控制條件下：

對應裂縫條件時，解析方法得到最大、最小有效高度比較困難，但可以通過數(shù)值方法得出，分別記而最終最優(yōu)有效高度范圍如下：

3.4 造價目標函數(shù)形態(tài)

將式（4）和式（10）分別代入式（1）后可得到強度控制造價目標函數(shù)（不考慮受壓區(qū)鋼筋）、裂縫控制造價目標函數(shù)與有效截面高度的關系。不同的彎矩值組合的造價目標函數(shù)呈現(xiàn)出不同的形式。為方便研究，本節(jié)假定控制彎矩相等，并取25kN·m、100kN·m、500kN·m三檔，按控制彎矩的數(shù)量不同分別研究。

圖2中只有一個方向控制彎矩，其余三層鋼筋都按最小配筋率考慮。強度控制造價目標函數(shù)隨著板厚的增加先少后多，而裂縫控制造價目標函數(shù)隨著板厚的增加逐漸增加。圖中黑色點劃線對應橫坐標為最優(yōu)板厚的有效截面高度（下同）。當彎矩較小時，雙控條件的造價最低值即強度條件的最低值；而彎矩增大時，最優(yōu)板厚由兩個函數(shù)的交點確定；而當彎矩大于一定數(shù)值時，最優(yōu)板厚為最小壁厚，對應配筋率為最大配筋率。

圖2 Mq1控制時C0-h0曲線Fig.2 C0-h0curve for Mq1control only

圖3 ～圖5中分別有2～4個相等的控制彎矩，其余鋼筋層按最小配筋率考慮。兩個造價目標函數(shù)都隨著板厚的增加先減小后增大。特別的，裂縫控制函數(shù)的拐點對應式（8）ψ=0.4，此時：

當彎矩較小時，最優(yōu)板厚由兩個函數(shù)的交點確定，隨著控制彎矩數(shù)量增加，最優(yōu)板厚隨之增大；而彎矩較大時，裂縫條件控制配筋，最優(yōu)板厚對應裂縫控制造價函數(shù)拐點，式（18）所列表達式即為最優(yōu)有效高度。

圖3 Mq1=Mq2控制時C0-h0曲線Fig.3 C0-h0curve for Mq1=Mq2control only

圖4 Mq1=Mq2=Mq3控制時C0-h0曲線Fig.4 C0-h0curve for Mq1=Mq2=Mq3control only

圖5 Mq1=Mq2=Mq3=Mq4控制時C0-h0曲線Fig.5 C0-h0curve for Mq1=Mq2=Mq3=Mq4control

3.5 最優(yōu)板厚有效高度和配筋率

通過最小值搜索，可以根據(jù)圖2～圖5方便地得到最優(yōu)板厚h0，進而通過式（4）和式（10）得到最優(yōu)配筋率

圖6中雙向、三向、四向相同彎矩控制條件下最優(yōu)板厚曲線除小彎矩情況外完全重合，且約等于單向控制彎矩條件下最優(yōu)板厚的2倍。在允許一定誤差并考慮實際壁厚模數(shù)（50mm）的條件下，可以近似以式（16）作為單向配筋的最優(yōu)板厚，以式（18）作為雙向以上配筋的最優(yōu)板厚。顯然近似與成正比。

圖6 -Mq曲線Fig.6 -Mqcurve

圖7中雙向、三向、四向相同彎矩控制條件下經(jīng)濟配筋率除小彎矩情況外完全重合，都分布在0.35%～0.45%之間，且隨著控制彎矩的增大逐漸增大。而單向控制彎矩條件下經(jīng)濟配筋率分布在1.1%～2.05%之間，其中當彎矩大于400kN·m時，經(jīng)濟配筋率即最大配筋率。

圖7 -Mq曲線Fig.7 -Mqcurve

圖8 為單向彎矩控制條件下不同Cs/Cc時的曲線。結果表明，在有限的鋼筋混凝土價格比變動下，最優(yōu)板厚并不明顯變化。因此，在截面設計時可不考慮價格的因素。

圖8 不同Cs/Cc條件下-Mq曲線Fig.8 -Mqcurve for different Cs/Cc

4 算例

4.1 算例一

懸臂單向板，內(nèi)水工況，水深5.2m。鋼筋、混凝土綜合單價同文獻［4］中算例。計算見表2，造價隨著有效高度的增加而增加，最優(yōu)板厚有效高度為最小有效高度239mm，此時可按50mm模數(shù)取板厚h=h0+as=250+50=300mm，配筋率為1.76%。

表2 算例一Tab.2 Calculate example 1

4.2 算例二

懸臂單向板，內(nèi)水+外水土工況，兩側彎矩相同，其余同算例一。計算見表3，造價隨著有效高度的增加先降低、后增加，最優(yōu)板厚有效高度為512mm，此時可取板厚為500+50=550mm，配筋率為0.42%。

表3 算例二Tab.3 Calculate example 2

5 結語

本文通過構造造價目標函數(shù)，引入強度控制條件及裂縫控制條件，經(jīng)過理論推導和圖表分析，得到了不同彎矩組合作用下純彎板的最優(yōu)板厚高度及對應配筋率，并得出以下通用性的認識：

1.本文通過理論推導，得到了裂縫控制配筋關于板厚和彎矩的顯式表達，即As=f（h，Mq）。可以摒棄以往的試算方法，而直接通過公式求得裂縫配筋。

3.單向控制彎矩條件下經(jīng)濟配筋率分布在1.1%～2.05%之間，其中當彎矩大于400kN·m時，經(jīng)濟配筋率即最大配筋率。

4.雙向及以上相同彎矩控制條件下經(jīng)濟配筋率除小彎矩情況外完全重合，都分布在0.35%～0.45%之間。

5.在有限的鋼筋混凝土價格比變動下，最優(yōu)板厚變化不明顯。

6.實際工程中，經(jīng)常碰到變截面、分離式配筋等情況，還需要考慮軸力、抗剪、撓度等要求。因此本文僅對純彎板的優(yōu)化設計進行理論探討，實際板厚還需要綜合施工質量、抗?jié)B等因素來確定。