李 歡，謝耿勛，郝 祿，唐 強

(中國電子科技集團公司第四十五研究所，北京 100176)

近年來，為了提高設(shè)備的工作效率，設(shè)計人員在不斷地提高主軸的轉(zhuǎn)速。然而，當主軸達到一定轉(zhuǎn)速時，設(shè)備就會產(chǎn)生振動，導致零件的損壞，嚴重時還會發(fā)生事故。目前，主軸的振動問題[1，2]越來越引起設(shè)計人員的關(guān)注，而且已經(jīng)成為了評價一臺設(shè)備質(zhì)量的重要標準。為此，本文采用有限元模擬的方式主要針對設(shè)備主軸進行振動模態(tài)分析，求出其臨界轉(zhuǎn)速，避免主軸在高速旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生振動，防止對設(shè)備造成損傷。尤其對于金剛石線多線切割機而言，主軸的振動問題尤為重要。因此，本文主要以金剛石線多線切割機為研究對象，建立其主軸系統(tǒng)的有限元模型，對多線切割機主軸進行振動模態(tài)分析[3]，計算出其臨界轉(zhuǎn)速。

目前，振動模態(tài)分析已經(jīng)成為研究結(jié)構(gòu)動力學特性的一種重要的方法[4]，在工程振動領(lǐng)域中有著極其廣泛的應用。通過對設(shè)備進行模態(tài)分析，可以清楚地知道設(shè)備的結(jié)構(gòu)在易受影響的頻率范圍內(nèi)的每一階模態(tài)的主要特性，從而便可以推斷出此結(jié)構(gòu)在這些頻率受到內(nèi)部或者外部何種激勵作用下產(chǎn)生的實際響應，有效地避免了因共振所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)損傷和破壞[5]。

1 振動模態(tài)分析理論

振動模態(tài)分析理論有三個基本假設(shè)。一是線性假設(shè)，即結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性是線性的，它的動力學特性可用線性微分方程來進行闡述。二是時不變性假設(shè)，即結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性與時間無關(guān)，因此微分方程的系數(shù)是和時間無關(guān)的常數(shù)。三是可觀測性假設(shè)，即系統(tǒng)動態(tài)特性所需要的數(shù)據(jù)都是可監(jiān)控的。下面給出了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力方程[6]：

式中：M—系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C—阻尼矩陣；K—剛度矩陣；P—系統(tǒng)承受的外界載荷之和；ü-系統(tǒng)加速度矢量；u·—系統(tǒng)速度矢量；u—系統(tǒng)位移矢量。

而對于無阻尼的系統(tǒng)，即動力方程中的C=0，P=0。將其帶入式(1)得：

然而對于一個線性系統(tǒng)，無阻尼振動的形式為以下公式：

將方程(3)帶入到方程(2)中，得出：

但是方程(4)必須存在非零解，也就是說φi不為0，則K-ωi2M的行列式必須為0才能滿足條件，即：

2 有限元模型建立

本文以中國電子科技集團公司第四十五研究所研制的金剛石線多線切割機主軸前后軸為研究對象建立有限元模型。由于要計算主軸的臨界轉(zhuǎn)速，因此只選取其旋轉(zhuǎn)部位為主要研究對象，即前后軸軸芯和軸輥，示意圖如圖1所示。

圖1 數(shù)值模型

中國電子科技集團公司第四十五研究所研制的金剛石線多線切割機主軸前后軸以及軸輥的材料均為20Cr，其彈性模量為 206 GPa，密度為7.82 g/cm3，泊松比取0.3。為了便于進行有限元分析，提高網(wǎng)格劃分質(zhì)量和計算速度以此來提高計算結(jié)果的精度，我們在建模的過程中忽略模型中的一些小特征，例如倒角、螺紋等細小部分，從而對多線切割機主軸系統(tǒng)進行適當?shù)暮喕痆7]。本文采用實體單元進行有限元計算，網(wǎng)格采用四面體網(wǎng)格進行劃分。根據(jù)實際工況，前后軸芯與軸輥均采用綁定約束，同時釋放其前后軸的周向位移，即只允許主軸繞中心轉(zhuǎn)動而不允許其發(fā)生平動，其有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型

3 振動模態(tài)計算結(jié)果分析

本文采用Lanzos法對主軸進行模態(tài)分析。由于低階模態(tài)對主軸整個系統(tǒng)影響較大，因此，計算出主軸的前5階模態(tài)，并得到其陣型，如表1所示。

表1清楚地反映了金剛石線多線切割機主軸的前5階模態(tài)的頻率以及主軸系統(tǒng)6個自由度重要的陣型參與系數(shù)。其中陣型參與系數(shù)數(shù)值的絕對值表示該陣型在這個自由度方向的強弱，表中黑體字部分為絕對值數(shù)值最大的部分，說明該陣型主要以此自由度方向為主。因此由表1我們可以得出，主軸系統(tǒng)的前5階模態(tài)的陣型均為旋轉(zhuǎn)陣型，繼而得出主軸系統(tǒng)的陣型主要以旋轉(zhuǎn)陣型[8]為主，即主軸只有在旋轉(zhuǎn)時才容易產(chǎn)生振動。

同時也能夠清楚地反映出金剛石線多線切割機主軸系統(tǒng)的一階模態(tài)為1.28 Hz，即主軸系統(tǒng)的固有頻率為1.28 Hz。同時也能看出主軸系統(tǒng)的2～5階模態(tài)的頻率分別為 210.5 Hz，218.3 Hz，405.9 Hz，413.6 Hz。其中2階模態(tài)和3階模態(tài)、第4階模態(tài)和第5階模態(tài)的頻率在數(shù)值上較為接近，這是由于模型的對稱性產(chǎn)生的對稱模態(tài)。

表1 前5階模態(tài)陣型

主軸的轉(zhuǎn)速和頻率的關(guān)系為：

其中：n為轉(zhuǎn)速，f為頻率，將主軸系統(tǒng)的頻率轉(zhuǎn)化成臨界轉(zhuǎn)速，如表2所示。

由表2可知，該金剛石線多線切割機在轉(zhuǎn)速達到76.8 r/min和12 630 r/min時會產(chǎn)生振動現(xiàn)象。然而工作時最高的轉(zhuǎn)速為3 274 r/min。所以，主軸在剛啟動時較易產(chǎn)生振動，因此我們應避開其一階頻率，快速的提高主軸的轉(zhuǎn)速。由于篇幅的原因，以下給出了主軸系統(tǒng)的前三階模態(tài)[10]，如圖3、圖 4、圖 5 所示。

表2 前5階模態(tài)頻率對應的臨界轉(zhuǎn)速

圖3 一階模態(tài)

圖4 二階模態(tài)

圖5 三階模態(tài)

4 結(jié) 論

本文主要采用有限元模擬的方法對由中國電子科技集團公司第四十五研究所研制的金剛石線多線切割機主軸系統(tǒng)進行了振動模態(tài)分析，求出了其固有頻率，并得出了主軸旋轉(zhuǎn)的臨界轉(zhuǎn)速，解決了主軸在高速旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的振動問題，為主軸系統(tǒng)的設(shè)計和研發(fā)提供了重要的理論基礎(chǔ)。