李 歡，謝耿勛，郝 祿，唐 強(qiáng)

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十五研究所，北京 100176)

近年來(lái)，為了提高設(shè)備的工作效率，設(shè)計(jì)人員在不斷地提高主軸的轉(zhuǎn)速。然而，當(dāng)主軸達(dá)到一定轉(zhuǎn)速時(shí)，設(shè)備就會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，導(dǎo)致零件的損壞，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)發(fā)生事故。目前，主軸的振動(dòng)問題[1，2]越來(lái)越引起設(shè)計(jì)人員的關(guān)注，而且已經(jīng)成為了評(píng)價(jià)一臺(tái)設(shè)備質(zhì)量的重要標(biāo)準(zhǔn)。為此，本文采用有限元模擬的方式主要針對(duì)設(shè)備主軸進(jìn)行振動(dòng)模態(tài)分析，求出其臨界轉(zhuǎn)速，避免主軸在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生振動(dòng)，防止對(duì)設(shè)備造成損傷。尤其對(duì)于金剛石線多線切割機(jī)而言，主軸的振動(dòng)問題尤為重要。因此，本文主要以金剛石線多線切割機(jī)為研究對(duì)象，建立其主軸系統(tǒng)的有限元模型，對(duì)多線切割機(jī)主軸進(jìn)行振動(dòng)模態(tài)分析[3]，計(jì)算出其臨界轉(zhuǎn)速。

目前，振動(dòng)模態(tài)分析已經(jīng)成為研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的一種重要的方法[4]，在工程振動(dòng)領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用。通過對(duì)設(shè)備進(jìn)行模態(tài)分析，可以清楚地知道設(shè)備的結(jié)構(gòu)在易受影響的頻率范圍內(nèi)的每一階模態(tài)的主要特性，從而便可以推斷出此結(jié)構(gòu)在這些頻率受到內(nèi)部或者外部何種激勵(lì)作用下產(chǎn)生的實(shí)際響應(yīng)，有效地避免了因共振所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)損傷和破壞[5]。

1 振動(dòng)模態(tài)分析理論

振動(dòng)模態(tài)分析理論有三個(gè)基本假設(shè)。一是線性假設(shè)，即結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性是線性的，它的動(dòng)力學(xué)特性可用線性微分方程來(lái)進(jìn)行闡述。二是時(shí)不變性假設(shè)，即結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此微分方程的系數(shù)是和時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。三是可觀測(cè)性假設(shè)，即系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性所需要的數(shù)據(jù)都是可監(jiān)控的。下面給出了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程[6]：

式中：M—系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C—阻尼矩陣；K—?jiǎng)偠染仃?；P—系統(tǒng)承受的外界載荷之和；ü-系統(tǒng)加速度矢量；u·—系統(tǒng)速度矢量；u—系統(tǒng)位移矢量。

而對(duì)于無(wú)阻尼的系統(tǒng)，即動(dòng)力方程中的C=0，P=0。將其帶入式(1)得：

然而對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，無(wú)阻尼振動(dòng)的形式為以下公式：

將方程(3)帶入到方程(2)中，得出：

但是方程(4)必須存在非零解，也就是說φi不為0，則K-ωi2M的行列式必須為0才能滿足條件，即：

2 有限元模型建立

本文以中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十五研究所研制的金剛石線多線切割機(jī)主軸前后軸為研究對(duì)象建立有限元模型。由于要計(jì)算主軸的臨界轉(zhuǎn)速，因此只選取其旋轉(zhuǎn)部位為主要研究對(duì)象，即前后軸軸芯和軸輥，示意圖如圖1所示。

圖1 數(shù)值模型

中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十五研究所研制的金剛石線多線切割機(jī)主軸前后軸以及軸輥的材料均為20Cr，其彈性模量為 206 GPa，密度為7.82 g/cm3，泊松比取0.3。為了便于進(jìn)行有限元分析，提高網(wǎng)格劃分質(zhì)量和計(jì)算速度以此來(lái)提高計(jì)算結(jié)果的精度，我們?cè)诮５倪^程中忽略模型中的一些小特征，例如倒角、螺紋等細(xì)小部分，從而對(duì)多線切割機(jī)主軸系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化[7]。本文采用實(shí)體單元進(jìn)行有限元計(jì)算，網(wǎng)格采用四面體網(wǎng)格進(jìn)行劃分。根據(jù)實(shí)際工況，前后軸芯與軸輥均采用綁定約束，同時(shí)釋放其前后軸的周向位移，即只允許主軸繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)而不允許其發(fā)生平動(dòng)，其有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型

3 振動(dòng)模態(tài)計(jì)算結(jié)果分析

本文采用Lanzos法對(duì)主軸進(jìn)行模態(tài)分析。由于低階模態(tài)對(duì)主軸整個(gè)系統(tǒng)影響較大，因此，計(jì)算出主軸的前5階模態(tài)，并得到其陣型，如表1所示。

表1清楚地反映了金剛石線多線切割機(jī)主軸的前5階模態(tài)的頻率以及主軸系統(tǒng)6個(gè)自由度重要的陣型參與系數(shù)。其中陣型參與系數(shù)數(shù)值的絕對(duì)值表示該陣型在這個(gè)自由度方向的強(qiáng)弱，表中黑體字部分為絕對(duì)值數(shù)值最大的部分，說明該陣型主要以此自由度方向?yàn)橹?。因此由?我們可以得出，主軸系統(tǒng)的前5階模態(tài)的陣型均為旋轉(zhuǎn)陣型，繼而得出主軸系統(tǒng)的陣型主要以旋轉(zhuǎn)陣型[8]為主，即主軸只有在旋轉(zhuǎn)時(shí)才容易產(chǎn)生振動(dòng)。

同時(shí)也能夠清楚地反映出金剛石線多線切割機(jī)主軸系統(tǒng)的一階模態(tài)為1.28 Hz，即主軸系統(tǒng)的固有頻率為1.28 Hz。同時(shí)也能看出主軸系統(tǒng)的2～5階模態(tài)的頻率分別為 210.5 Hz，218.3 Hz，405.9 Hz，413.6 Hz。其中2階模態(tài)和3階模態(tài)、第4階模態(tài)和第5階模態(tài)的頻率在數(shù)值上較為接近，這是由于模型的對(duì)稱性產(chǎn)生的對(duì)稱模態(tài)。

表1 前5階模態(tài)陣型

主軸的轉(zhuǎn)速和頻率的關(guān)系為：

其中：n為轉(zhuǎn)速，f為頻率，將主軸系統(tǒng)的頻率轉(zhuǎn)化成臨界轉(zhuǎn)速，如表2所示。

由表2可知，該金剛石線多線切割機(jī)在轉(zhuǎn)速達(dá)到76.8 r/min和12 630 r/min時(shí)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象。然而工作時(shí)最高的轉(zhuǎn)速為3 274 r/min。所以，主軸在剛啟動(dòng)時(shí)較易產(chǎn)生振動(dòng)，因此我們應(yīng)避開其一階頻率，快速的提高主軸的轉(zhuǎn)速。由于篇幅的原因，以下給出了主軸系統(tǒng)的前三階模態(tài)[10]，如圖3、圖 4、圖 5 所示。

表2 前5階模態(tài)頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速

圖3 一階模態(tài)

圖4 二階模態(tài)

圖5 三階模態(tài)

4 結(jié) 論

本文主要采用有限元模擬的方法對(duì)由中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十五研究所研制的金剛石線多線切割機(jī)主軸系統(tǒng)進(jìn)行了振動(dòng)模態(tài)分析，求出了其固有頻率，并得出了主軸旋轉(zhuǎn)的臨界轉(zhuǎn)速，解決了主軸在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)問題，為主軸系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和研發(fā)提供了重要的理論基礎(chǔ)。