梁玉榮，甘信娟，聶圣菊

（濟(jì)南市水文局，山東 濟(jì)南 250014）

西葦水庫是一座以防洪、灌溉為主，兼顧發(fā)電及漁副業(yè)生產(chǎn)的大型水庫。該水庫建成于1960年6月，總庫容1.02億m3，控制流域面積113.6 km2。2002年，西葦水庫經(jīng)除險(xiǎn)加固后，已能有效控制洪水，如遇千年一遇大洪水，大沙河流量將由1 670 m3/s，消減至376 m3/s，對減輕下游洪澇災(zāi)害，確保京滬鐵路、鄒縣電廠、兗州煤礦及人民生命財(cái)產(chǎn)的安全，起到極為重要的作用。本文采用1961—2015年長達(dá)54年的實(shí)測降水觀測資料，以西葦水庫的月實(shí)測降水量為研究對象，采用指數(shù)平滑模型，自回歸滑動(dòng)平均（ARIMA）模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

1 研究方法

1.1 指數(shù)平滑法

1976年布朗提出指數(shù)平滑算法，該方法提出穩(wěn)定性或規(guī)則性是時(shí)間序列固有特性，可以用最近的過去態(tài)勢來合理地順勢推延相關(guān)的未知時(shí)間序列。該方法重點(diǎn)關(guān)注最近的資料。在生產(chǎn)預(yù)測中，指數(shù)平滑法是用得最多的中短期數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢預(yù)測方法。指數(shù)平滑公式分別為：

上標(biāo)（1）、（2）、（3）分別代表一、二、三次指數(shù)平滑，α為平滑系數(shù)，取值為0～1。

1.2 自回歸滑動(dòng)平均（ARIMA）模型

70年代初博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）提出了自回歸積分滑動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡記 ARIMA，又稱Box-Jenkins模型、博克思-詹金斯法），它是一種有效時(shí)間序列預(yù)測方法。在差分自回歸移動(dòng)平均模型 ARIMA（p，d，q）中，AR 代表自回歸，p是其中的自回歸項(xiàng)；MA代表移動(dòng)平均，其中q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，時(shí)間序列中需要d次差分才能成為平穩(wěn)的序列，使用該方法可以把非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理，然后建立因變量與它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值之間的函數(shù)。模型為：

其中，自回歸系數(shù)為 Ф1，Ф2，…，Фp；自回歸階次為 p；滑動(dòng)平均系數(shù)為 φ1，φ2，…，φq，滑動(dòng)平均階次為q；白噪聲序列為εt。若進(jìn)行d次差分，則記為 ARIMA（p，d，q）。

ARIMA模型預(yù)測的基本程序：首先依據(jù)散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖來識(shí)別降水量序列的平穩(wěn)性，接著進(jìn)行平穩(wěn)化處理降水量序列，選擇不同的模型，根據(jù)參數(shù)估計(jì)來檢驗(yàn)序列的統(tǒng)計(jì)意義，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)來判斷殘差序列是否為白噪聲，利用已通過檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測分析。

2 數(shù)據(jù)處理過程及結(jié)果

2.1 指數(shù)平滑模型

對西葦水庫水文站1961—2015年月降水量時(shí)間按序列數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)平滑法分析，從自相關(guān)（ACF）和偏相關(guān)（PACF）序列圖可以看出：殘差相關(guān)序列并沒有顯著的趨勢特征，因此，利用該模型進(jìn)行分析預(yù)測存在一定的合理性。

圖1給出了觀測值和擬合結(jié)果。圖中的虛線為預(yù)測的2016—2020年月降水量，從圖中可以看出，月降水量呈周期性變化，周期數(shù)為12個(gè)月，每年7月最大降水量為200 mm左右。但是該模型預(yù)測的降雨量數(shù)值是固定的序列，這與實(shí)際不大相符，但能大概反映出月降水量的大致變化趨勢。

圖1 觀測值和指數(shù)平滑法擬合結(jié)果

2.2 自回歸滑動(dòng)平均（ARIMA）模型

根據(jù)西葦水庫水文站1961—2015年月降水量時(shí)間按序列數(shù)據(jù)進(jìn)行模型處理，首先判斷，時(shí)序是否平穩(wěn)，未經(jīng)差分處理的降雨量ACF圖見圖2，由圖2可以看出超過一半的自相關(guān)系數(shù)未進(jìn)入置信區(qū)間，說明該序列非平穩(wěn)，需要進(jìn)行差分處理。

圖2 未經(jīng)差分處理的降雨量ACF圖

對時(shí)間序列進(jìn)行差分平穩(wěn)（差分選d=1），繪制相關(guān)系數(shù)圖見圖3，由圖3可以看出在k=12之后，自相關(guān)函數(shù)衰減，并且基本在置信區(qū)間范圍之內(nèi)，可以認(rèn)為該序列平穩(wěn)了，其中Ф12，12=0.345最大，其他并沒有明顯趨于0，可以認(rèn)為在k=12后拖尾。因此經(jīng)過一階差分后的降雨量入選模型為 ARIMA（12，1，12）或 ARIMA（0，1，12）。分別對兩個(gè)模型進(jìn)行擬合和預(yù)測，比較其精度。

圖3 差分平穩(wěn)（d=1）后的相關(guān)系數(shù)圖

表 1 分別給出了 ARIMA（12，1，12）和 ARIMA（0，1，12）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，由表可以看出ARIMA（12，1，12）模型的R平方和平穩(wěn)的R平方優(yōu)于ARIMA（0，1，12），因此可以認(rèn)為 ARIMA（12，1，12）模型的結(jié)果更為可信和準(zhǔn)確。

表1 模型統(tǒng)計(jì)資料

圖4 ARIMA（12，1，12）模型的觀測值、調(diào)整值和預(yù)測結(jié)果

圖4 給出了ARIMA（12，1，12）模型的觀測值、調(diào)整值和預(yù)測結(jié)果。圖中的虛線為預(yù)測的2016-2020年月降水量曲線，由圖可以看出使用 ARIMA（12，1，12）模型計(jì)算得到的月降雨量（調(diào)整值）基本與實(shí)測月降雨量相符，說明該模型可以從理論上對西葦水庫的月降雨量進(jìn)行分析和預(yù)測。假如在預(yù)測的過程中不斷使用最新數(shù)據(jù)，并調(diào)整模型，則模型的理論和實(shí)用價(jià)值會(huì)更大。