弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中提出了“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)思想，即讓學(xué)生在現(xiàn)實活動中通過自己的實踐和思考去“創(chuàng)造”，去獲得數(shù)學(xué)知識，而不是生吞活剝似的將數(shù)學(xué)知識灌輸給學(xué)生。實踐證明，學(xué)生確實很樂意接受學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性任務(wù)，它既可以體現(xiàn)知識的價值，更可以體現(xiàn)個人的價值，所以創(chuàng)造性學(xué)習(xí)必定是主體性學(xué)習(xí)。

以色列著名未來學(xué)家尤瓦爾·赫拉利在《未來簡史》中談到：“在中世紀(jì)的歐洲，獲得知識的主要公式是：知識=經(jīng)文×邏輯。如果想知道某個重要問題的答案，他們會閱讀相關(guān)經(jīng)文，并用邏輯來理解經(jīng)文的確切含義……科學(xué)革命的知識公式則非常不同：知識=實證數(shù)據(jù)×數(shù)學(xué)。如果想知道某個重要問題的答案，我們要做的就是收集相關(guān)的實證數(shù)據(jù)，再用數(shù)學(xué)工具加以分析……等待人類對自己有了足夠的信心之后，一個獲取倫理知識的新公式出現(xiàn)了：知識=體驗×敏感性。如果想知道任何道德問題的答案，我們需要連接到自己內(nèi)心的體驗，并以最大的敏感性來觀察它們。”這一段話中所說的知識的含義比較廣泛，但給了我們在教學(xué)中“如何讓學(xué)生獲得知識”一些有益的啟示，知識可以根據(jù)邏輯推導(dǎo)出來，也可以根據(jù)數(shù)據(jù)分析出來，還可以根據(jù)體驗感悟出來，它們都可以成為創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的方式。

一、讓學(xué)生創(chuàng)“作”

弗賴登塔爾說：“‘學(xué)’這一活動最好的辦法就是 ‘做’。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“做中學(xué)”可以通過“知識=實證數(shù)據(jù)×數(shù)學(xué)”和“知識=體驗×敏感性”的方式來創(chuàng)造出知識，從而實現(xiàn)在實踐中學(xué)習(xí)和在體驗中學(xué)習(xí)的教學(xué)理念。

可以說，創(chuàng)造是一種發(fā)現(xiàn)知識的實踐活動和體驗活動。全國生態(tài)體驗教育專家姚亞萍說：“一次體驗勝過百次說教?！痹跀?shù)學(xué)創(chuàng)造性學(xué)習(xí)中，離不開操作、制作、創(chuàng)作等實踐活動和體驗活動?！巴嬷袑W(xué)”“做中學(xué)”可以發(fā)展成為“創(chuàng)中學(xué)”，促使學(xué)生從知識的“看客”向知識的“創(chuàng)客”轉(zhuǎn)變。創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生對自己有足夠的信心。

有一首兒歌“人有兩個寶，雙手和大腦。雙手會做工，大腦會思考”，還有一個成語“心靈手巧”，原意是“心靈+手巧”，但我們也可以理解成“心靈才能手巧”，還可以理解成“手巧更能心靈”?！笆质呛⒆拥牡诙竽X”，從生理學(xué)角度看，手指與大腦相連的神經(jīng)最多，通過運動手指，可以有效刺激大腦，延緩腦細(xì)胞死亡時間。斯坦福大學(xué)研究人員提出一項有趣的假設(shè)：“手指感知力的必要性及重要性，甚至可能是鋼琴家和其他音樂家對數(shù)學(xué)的理解力常常高于沒學(xué)過樂器的人的原因?！惫P者認(rèn)為，“手指的感知力”的意思還可以指動手活動可以提高對所做事情中所隱含知識的敏感性。心理學(xué)家皮亞杰說：“兒童的智慧源于操作，操作是兒童早期認(rèn)識世界、適應(yīng)環(huán)境、賴以生存的主要手段。兒童要認(rèn)識物體，必須對它施加動作，在移動、拆散、合并物體的反復(fù)動作過程中，通過頭腦與材料的相互作用與協(xié)調(diào)，建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！焙⒆邮峭ㄟ^手來探索和建構(gòu)世界的。

例如，要教小學(xué)一年級的孩子什么是正方形，他們哪里知道什么幾何定義？但只要給他們一大團泥巴或橡皮泥，讓他們用手去拍、切、擠、壓、搓、捏，甚至摔，他們很快就能做出自己要的形狀，從而掌握技巧，形成印象，成為能力，建立信心，并內(nèi)化為經(jīng)驗。這就是“經(jīng)驗知識”的力量。

思維活躍的學(xué)生，其動手能力和創(chuàng)新精神強。動手必然動眼和動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經(jīng)驗、創(chuàng)造知識。 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出要積累學(xué)生的基本活動經(jīng)驗，“做數(shù)學(xué)”可以讓學(xué)生在探究中獲得數(shù)學(xué)知識、經(jīng)歷實驗過程、獲得情感體驗、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

寓身認(rèn)知理論主張：“人應(yīng)該以 ‘體認(rèn)’的方式認(rèn)識世界，心智離不開身體經(jīng)驗，概念通過身體、大腦和對世界的體驗而形成，特別是通過感知和肌肉運動能力而得到，只有通過它們才能被理解?！痹⑸碚J(rèn)知理論的依據(jù)之一就是腦科學(xué)。對大腦皮層的研究表明，在精細(xì)運動過程中，與認(rèn)知發(fā)展有密切關(guān)系的前額葉血流量增加，這說明精細(xì)運動過程還可能通過直接激活大腦皮層認(rèn)知部位進而促進認(rèn)知發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些實物操作實驗（擺小棒、玩七巧板等）都是精細(xì)運動，它需要借助學(xué)生的手及手指等部位小肌肉或小肌肉群的運動，需要在感知和注意等多方面心理活動配合下才能完成任務(wù)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能多地給學(xué)生動手操作、制作、創(chuàng)作的機會。例如，在教學(xué)“一一間隔規(guī)律”一課時，可以給學(xué)生布置“穿珠子”的任務(wù)：桌子上有若干紅色珠子和黃色珠子，將它們穿到帶子上，注意要一顆紅色珠子接著一顆黃色珠子這樣間隔排列，要求紅色珠子必須是4顆。結(jié)果學(xué)生有四種設(shè)計方法：（1）紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅；（2）紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃；（3）黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅；（4）黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃。接著，教師讓學(xué)生將它們圍成圓形手鏈，還是要求一顆紅色珠子接著一顆黃色珠子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有第（2）種和第（3）種穿法符合要求，因為它們兩端的珠子顏色不同。下課后，學(xué)生戴著課堂上做的“手鏈”，甭提有多高興了。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，甚至學(xué)具也可以讓學(xué)生自己動手制作，在動手制作中創(chuàng)造出知識。例如，教學(xué)“圓柱的認(rèn)識”一課時，可以讓學(xué)生自己制作圓柱學(xué)具，讓他們在制作活動中逐步認(rèn)知圓柱的特征。

第1次制作。提供一個圓柱物體，讓學(xué)生制作與這個圓柱物體一樣的圓柱學(xué)具，此時學(xué)生大都想到的方法是描下圓柱物體的底面，然后用紙去圍圓柱的側(cè)面，在這個過程中學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)圓柱的底面相等。

第2次制作。增加完成任務(wù)的難度，要求不能描圓柱物體的底面和用紙去圍圓柱的側(cè)面，而要測量后用直尺和圓規(guī)畫出圖紙，然后制作圓柱學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)側(cè)面與底面之間的關(guān)系，最后讓學(xué)生思考“要制作一個圓柱，至少需要知道哪些數(shù)據(jù)?！?/p>

第3次制作。再增加完成任務(wù)的難度，不提供圓柱物體，給一張長方形紙作為圓柱的側(cè)面，讓學(xué)生配上底面制作圓柱學(xué)具。在這個過程中學(xué)生明白了圓柱的側(cè)面有兩種圍法，一是沿著長方形紙的長邊圍，二是沿著長方形紙的寬邊圍。

第4次制作。只有一張長方形紙，讓學(xué)生設(shè)計圖紙，充分利用長方形紙的大小，制作圓柱學(xué)具。

上述接二連三、循序漸進的制作活動，既活動了學(xué)生的雙手和大腦，又活躍了學(xué)習(xí)氣氛，在收獲知識成果的同時還留下了物質(zhì)成果。這樣的數(shù)學(xué)活動課，不僅是知識交流會，而且還是作品交流會。

“做中學(xué)”能給學(xué)生“玩中學(xué)”的好感，深得學(xué)困生的喜歡，特別是一些好動的學(xué)困生。例如，有一位學(xué)生平時數(shù)學(xué)測驗成績大都在60分左右，但他對手工制作很感興趣。有一次，在上“長方體和正方體的認(rèn)識”一課之前，教師讓他做了一個能拆裝的長方體框架。上課時，教師有意拿他做的學(xué)具問同學(xué)們：“這個框架做得好嗎？”同學(xué)們齊聲回答：“好！”教師講完長方體、正方體的各部分名稱和特征后提問：“長方體的棱長之和怎樣計算？”有學(xué)生回答：“4條長、4條寬、4條高加起來?！边@時這位學(xué)生主動回答道：“老師，相交于一個頂點的長寬高加起來，再乘4就行了?！比绱怂斓幕卮鹪从谒H手制作學(xué)具獲得的切身感悟，教師抓住這有利時機，對他進行了表揚。手工制作作品被老師當(dāng)了教具，發(fā)言又受到了老師的表揚，這位學(xué)生非常開心，此后他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情也越來越高，成績也提高得很快。

一些教師會對一些學(xué)生數(shù)數(shù)愛掰手指的現(xiàn)象深感擔(dān)憂，但英國研究人員發(fā)現(xiàn)，掰手指頭等通過身體活動思考的方式有助提高思維能力，能夠更好地解決問題。英國金斯頓大學(xué)組織行為學(xué)教授蓋勒·瓦萊—杜爾昂若和心理學(xué)教授弗雷德里克·瓦萊—杜爾昂若在《對話》雜志中撰文說：“單用大腦思考不如腦、眼和手結(jié)合起來更有效，身體與所思考問題之間的互動有助記憶信息，提高解決問題的創(chuàng)造性和有效性?！彼裕跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該多給學(xué)生動手學(xué)習(xí)的機會，也要寬容一些學(xué)生依然需要靠動手（如數(shù)數(shù)愛掰手指）來學(xué)習(xí)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視實踐活動和實驗工作，避免過多地使用口頭教育。而“做中學(xué)”既可以是數(shù)學(xué)實踐活動，還可以是數(shù)學(xué)實驗活動。弗賴登塔爾指出：“要實現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則是不可能的。在傳統(tǒng)課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由發(fā)展，它要求有個實驗室，學(xué)生可以在那兒個別活動或是小組活動?！睌?shù)學(xué)教學(xué)有著許多數(shù)學(xué)實驗，動手操作、動眼觀察、動腦思考的數(shù)學(xué)實驗可以豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗，它不僅能幫助學(xué)生理解所學(xué)知識，更能提高學(xué)習(xí)層次，在學(xué)習(xí)程序性知識的同時，還在不斷地吸納緘默性知識，由顯性知識向隱性知識深度融通。學(xué)生通過親身實踐真切感受到發(fā)現(xiàn)的快樂，在實驗過程中學(xué)會思考、學(xué)會創(chuàng)造。

二、讓學(xué)生創(chuàng)“想”

創(chuàng)造不一定只停留在動手制造，還可以是動腦創(chuàng)想，教學(xué)的開放應(yīng)該更多地著力于學(xué)生思維的開放上。

例如，在教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”一課時，在練習(xí)中，學(xué)生在解答“一個三角形，兩邊的長分別是12厘米和18厘米，第三條邊的長可能是多少厘米？”時，普遍出現(xiàn)思維單向化的不自如，只會簡單地把12厘米、18厘米看成兩條“短邊”，得到“第三條邊小于30厘米”的答案，而不會靈活地想到問題的另一方面，把18厘米看成一條“長邊”，最終得到“第三條邊應(yīng)大于6厘米，小于30厘米”的完整結(jié)論。由此可見，在新授中忽視了“三角形任意兩邊”的問題，造成了學(xué)生思維的局限。對此，在第二次教學(xué)時，把動手“創(chuàng)作”三角形變成動腦“創(chuàng)想”三角形，教師不再給學(xué)生提供操作的小棒，而是出示如圖1的直觀圖。

圖1

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀圖展開想象操作：既可以將線段a或b延長，也可以將線段c縮短?？梢哉f，動手操作改成動腦想象，給了學(xué)生自由靈活的思考路徑和自由馳騁的想象空間。在這里，a、b、c三根小棒在學(xué)生的腦海中已經(jīng)被想成了線段，也不再是某幾個特定的長度，而是涵蓋了所有可能，一定程度上突破了教學(xué)的局限——任意三角形。這是動手操作無法企及的，因為我們不可能為學(xué)生提供所有的操作材料。

在學(xué)生思維放開之后，教師一句“那a可以無限延長嗎”的提醒和提示，又讓學(xué)生的思維收了回來，在“左思右想”中實現(xiàn)思維的“進退自如”，最終打破原有的關(guān)注對象，沖破原有的認(rèn)識局限，最大程度突破了教學(xué)的難點——三角形的任意兩邊，從而能夠全面地思考問題。

在這里，想象操作與動手操作相比，更容易使探究活動長驅(qū)直入概念的核心，并讓操作活動的過程更富內(nèi)涵。在這樣的想象操作過程中，學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、思考、推理、歸納等過程，提高了空間觀念和邏輯推理能力，積累了分析問題、解決問題的經(jīng)驗和方法，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

當(dāng)然，對最終結(jié)論“三角形兩邊之和大于第三邊”，我們同樣可以在新授課結(jié)束后畫龍點睛，讓學(xué)生在歸納“創(chuàng)想”的同時再通過演繹“創(chuàng)想”出來。教師先出示圖2，問學(xué)生：“從A地到B地，走哪條路近？為什么？”學(xué)生都會從“兩點之間直線距離最短”這一知識來解釋，然后教師把圖中的曲線改成折線，出示圖3，此時學(xué)生又可以用剛剛學(xué)習(xí)的三角形的三邊關(guān)系來解釋。如此的漸變與對照，無須教師多言，學(xué)生自然會感悟到“三角形的三邊關(guān)系”與“兩點之間直線距離最短”之間的聯(lián)系，確信其為真命題。

圖2

圖3

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)多布置一些創(chuàng)造性的設(shè)計任務(wù)，實施開放性教學(xué)。例如，“一一間隔規(guī)律”一課，教師可以出示一個開放性問題：“在一條長20米的小路一側(cè)種樹，每隔5米種一棵數(shù)，可以種幾棵？”在簡單理解題意后，要求學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗，不僅要寫出算式，還要用圖示把自己的想法畫出來。此時，學(xué)生就會設(shè)計出“兩端都種樹”“一端種樹一端不種樹”“兩端都不種樹”等植樹方案。