浙江省杭州第二中學錢江校區(qū)(312053)董泉發(fā)

浙江省從2018屆新高一開始,增加人教版選修4—5《不等式選講》中絕對值不等式一章作為必修內(nèi)容.近幾年,浙江省高考數(shù)學關于絕對值函數(shù),絕對值不等式的考察力度有所加強,例如2015年浙江卷理科第14題,第15題,第18題,2015年浙江卷文科第8題,第14題;2015年浙江省高中數(shù)學學考第34題,2014年浙江卷理科第8題,第10題,第22題;2014年浙江省高中數(shù)學學考第3題;2013年浙江卷理科第17題,第22題等.16年浙江卷尤其是理科試卷濃墨重彩地考察了絕對值不等式,特別是絕對值三角不等式的性質,例如理科第8、15、18、20題;文科第15題.這些題都是處在壓軸題位置,要求學生具有較高的思維能力.

下面筆者就結合這些題來談一下絕對值三角不等式的教學,筆者認為這些題具有非常好的教學價值.

2016年高考數(shù)學浙江卷文科第15題已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是____.

分析與解由絕對值不等式性質可知：

試題點評本題以向量為背景,主要考察了絕對值三角不等式的性質：||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|,其中等號成立的條件滿足

學生做這道題可能有幾種思路：第一,可能會從幾何角度思考,即考察代數(shù)式的幾何意義;第二,可能會考慮平方(因為平方也是去絕對值的一種方法);第三,就是考慮運用絕對值三角不等式的性質放縮.

筆者認為,本題最佳做法是運用絕對值三角不等式的性質.學生可能會想,絕對值三角不等式并沒有給出形如|x|+|y|的代數(shù)式的上限啊,利用絕對值三角不等式如何估計|a·e|+|b·e|的最大值呢?實際不然,正如上述解法,只要考慮絕對值三角不等式等號成立的條件就可破題.

教學啟示在平時的教學中,筆者認為教師應該多引導學生關注絕對值三角不等式中兩個等號成立的條件.

2016年高考數(shù)學浙江卷理科第15題已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤ √則a·b的最大值是____.

分析與解易知|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤由e的任意性可知,|b+a|≤即a2+2a·b+b2≤6,從而易知a·b的最大值為-

試題點評筆者認為,本題較文科15題而言,學生應該更容易想到用絕對值三角不等式性質破題,正如上述解法,利用絕對值三角不等式性質很容易就得到一個必要條件：走到這一步之后,接下來就沒有太大的思維障礙了.

教學啟示筆者曾經(jīng)做過實驗,把這道題拿給高一的學生做,因為高一學生剛剛學了絕對值三角不等式,再加上筆者在平時的教學過程中,經(jīng)常跟學生講,學數(shù)學講究聯(lián)想,解題要有一定的聯(lián)想能力,看到眼前的式子,你能聯(lián)想到什么?有時候,這是很重要的.如果學生平時聯(lián)想力訓練足夠的話,那么就本題而言,當學生看到式子自然聯(lián)想到絕對值三角不等式模型了,這是不困難的.

筆者認為,在平時的教學中,如果我們教師經(jīng)常讓學生做這種聯(lián)想訓練,用聯(lián)系的觀點看問題,久而久之,學生自然會思路開闊,愛因斯坦曾經(jīng)說過,想象力比知識更重要.

2016年高考數(shù)學浙江卷理科第8題已知實數(shù)a,b,c.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2＜100.

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2＜100.

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2＜100.

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2＜100.

分析與解A錯,例如取a=b=10,c=-(a+b2)=-110;B錯,例如取a=10,b=-a2=-100,c=0;C錯,例如取a=-b=10,c=0;D對,可作如下考慮：由|a2+a+b+b2|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1得從而a,b∈(-2,1).由|c|-|a2+b|≤|a2+b+c|≤|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1得|c|≤1+|a2+b|≤1+a2+|b|≤7.從而

試題點評本題作為選擇題的壓軸題其思維含量是比較高的,因為本題初看上去,四個選項差不多,破此題就需要學生有較好的代數(shù)感覺能力.學生先不要急著算,稍微多想會兒,還是很容易找到此題的“破綻”的.四個選項中的條件表面上差不多,實際不然.就結構而言,A選項中變量a與b是對稱的,即它們在整個代數(shù)式中的地位是一樣的,所以應賦相同的值;B選項和C選項條件中表面上有三個變量,實際上只有兩個變量,因為a2+b和a+b可以看成整體;而D選項則不同,它的結構較復雜,變量a,b,c是相互制約的.從這個角度考慮的話,正如筆者上述解法很容易舉反例排除選項A,B,C,這符合浙江省高考數(shù)學命題組組長、浙江大學金蒙偉教授講的,“多想一想,少算一算”的命題思想.當然,D項的正確性的推導也是絕對值三角不等式教學的很好的素材.

教學啟示在平時的教學中,筆者認為應該多向學生灌輸這種“多想一想,少算一算”的解題策略,先設計好算法,然后再算.

2016年高考數(shù)學浙江卷理科第20題設數(shù)列{an}滿足

(I)求證：|an|≥2n-1(|a1|-2)(n∈N?);

分析與解(I)由絕對值三角不等式性質可知,|an|-從而|an+1|≥2|an|-2,即|an+1|-2≥2(|an-2|),所以|an|≥|an|-2≥2(|an-1|-2)≥...≥2n-1(|a1|-2).

(II)反證法.假設存在m∈N?,使得|am|＞2.由(I)可知,當n＞m時,|an|≥2n-m(|am|-2),而當n＞時,|an|≥2n-m(|am|-?x∈N?矛盾.

試題點評這道數(shù)列不等式題題干簡潔、思想深刻,讓人有“情理之中、意料之外”之感,體現(xiàn)了命題者的獨具匠心.這些試題為考生搭建了良好的區(qū)分平臺,凸顯了試卷的選拔功能.就本題第1問而言,方法較多,學生上手不難,例如可以直接利用絕對值三角不等式放縮,也可以先去絕對值再放縮.至于第2問,筆者認為這是本題的創(chuàng)新之處,有“意料之外”之感,為什么這么說呢?因為本題正面證明是很困難的,需要從反面考慮,即采用反證法.而在高中階段,反證法是講的非常少的,教科書中也只有人教版必修2立體幾何中有關線面、面面平行與垂直的性質定理的證明涉及到了反證法,但是定理的證明通常會被教師和學生忽略.本題第2問有濃厚的大學數(shù)學分析的味道,無論是題目的敘述語言,還是證明語言都很接近大學數(shù)學分析的語言風格,而反證法在大學數(shù)學里是經(jīng)常出現(xiàn)的.所以筆者認為,這道題很好地銜接了高中數(shù)學與大學數(shù)學.

教學啟示鑒于以上分析,筆者認為,在平時的教學中,教師應該多訓練一下學生的反面思維能力,反面思維和正面思維同等重要,同一個事物從正反兩方面去看,這也是辯證法的觀點.本題就是一個非常好的反面思維能力訓練素材.

2015年高考數(shù)學浙江卷理科第14題若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是____.

解析注意到目標函數(shù)是兩個絕對值之和,故聯(lián)想到絕對值三角不等式進行放縮：當且僅當數(shù)時,等號成立.

注當x2+y2≤1時,由三角代換合一變形可知3x+4y≤5,故|8-(3x+4y)|=8-(3x+4y).

試題點評本題如上解法利用絕對值三角不等式放縮較為簡單;若采用規(guī)劃知識來處理,則首先要去掉目標函數(shù)中的兩個絕對值,觀察力好的話,可以注意到|6-x-3y|=6-x-3y,因為x+3y而|2x+y-2|的絕對值要去掉,則要分類討論.

試題綜評這些試題背景熟悉、設問新穎、內(nèi)涵豐富、方法多樣.

2015年高考數(shù)學浙江卷理科第18題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)證明：當|a|≥2時,M(a,b)≥2;

(2)當a,b滿足M(a,b)≤2時,求|a|+|b|的最大值.

解析(1)當|a|≥2時,易知f(x)在[-1,1]上單調,從而