廣東省深圳市翠園中學(xué) 林 鈿

我們知道,當(dāng)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,這樣的概率模型為幾何概率模型.但是,在面對(duì)幾何概型問(wèn)題時(shí),部分學(xué)生卻不知道究竟要利用長(zhǎng)度、面積或者體積中的哪一種幾何概率模型來(lái)計(jì)算具體問(wèn)題的概率.本文主要從變量個(gè)數(shù)的角度選擇合適幾何概型模型解決幾何概型問(wèn)題.

1 .一維幾何概型問(wèn)題

一個(gè)幾何概型問(wèn)題中,如果具體問(wèn)題中變化的量只有一個(gè),可以認(rèn)為是一維的幾何概型問(wèn)題.單個(gè)變量一般對(duì)應(yīng)到數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn),滿足題意的所有情況可以轉(zhuǎn)換成線段長(zhǎng)度.所以,可以通過(guò)計(jì)算滿足題意的線段長(zhǎng)度占據(jù)總事件對(duì)應(yīng)的線段的比例計(jì)算概率.

例1(2016年高考全國(guó)卷II)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車,小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是( )

解析由于該題變化的量是小明的出發(fā)時(shí)間,而發(fā)車時(shí)間是固定不變的.可以看成一維的幾何概型問(wèn)題.轉(zhuǎn)化成數(shù)軸問(wèn)題解決.

圖1

畫出數(shù)軸如圖1,其中,滿足題意的時(shí)間段為7：50-8：00和8：20-8：30共20分鐘,所有可能的出發(fā)時(shí)間合計(jì)為40分鐘.所以,等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率為

感悟提升對(duì)于一維幾何概型問(wèn)題往往都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)軸問(wèn)題,然后利用一維幾何概型概率計(jì)算公式：

變式探究(2017年煙臺(tái)市模擬試題)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則cosx的值介于之間的概率為___.

解析當(dāng)時(shí),由得總的事件數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)軸長(zhǎng)度為滿足題意的事件數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)軸長(zhǎng)為根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為

2 . 二維幾何概型問(wèn)題

例2某校早上8：00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30-7：50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為____.(用數(shù)字作答)

解析與例1相比,例2中涉及到的變量變成了小王與小張兩個(gè)人到達(dá)時(shí)間,設(shè)小王到校時(shí)間為x,小張到校時(shí)間為y,建立平面直角坐標(biāo)系,原點(diǎn)O表示7：30.兩人到校時(shí)間可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示.所有可能的到校時(shí)間組合恰好形成了一個(gè)正方形,該正方形區(qū)域的面積為400.小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足x-y≥5.對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為

圖2

感悟提升若具體的幾何概型問(wèn)題涉及到的變量有兩個(gè),可以把計(jì)算概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求面積比例的問(wèn)題;一般步驟如下,先畫出直角坐標(biāo)系,在坐標(biāo)軸上把兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)的值標(biāo)出來(lái);再把題目的約束條件化成對(duì)應(yīng)的不等式做出可行域;最后,利用概率計(jì)算公式：

變式探究(2016年高考全國(guó)卷I)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,···,xn,y1,y2,···,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),···,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()

圖3

解析這個(gè)題可以理解成有兩個(gè)變量x,y,兩個(gè)變量均是屬于區(qū)間[0,1].由例2知道,在平面直角坐標(biāo)系中這對(duì)應(yīng)的圖形是正方形.同時(shí),兩數(shù)的平方和等于1這對(duì)應(yīng)的圖形是一個(gè)圓.則該題可以理解成在矩形區(qū)域隨機(jī)抽取n個(gè)點(diǎn),其中落到圓區(qū)域的點(diǎn)有m個(gè).設(shè)正方形的面積為S,圓的面積為S′,所以

3 . 三維幾何概型問(wèn)題

例3在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離不大于a的概率為()

解析滿足條件的點(diǎn)在以A為球心,半徑為a的球內(nèi),所求概率為故選D.

感悟提升由題可知,滿足題意的所有點(diǎn)形成的是一個(gè)空間幾何體—球;所求的概率等于球的體積與正方體的體積的比,可以理解成是一個(gè)三維的幾何概型問(wèn)題;對(duì)于以空間幾何體為背景的幾何概型問(wèn)題,往往都要找出滿足題意的點(diǎn)形成的幾何體體積,再找出總的事件對(duì)應(yīng)的幾何體體積.最后利用概率計(jì)算公式：

變式探究在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P,則的概率為()

解析由得(h為P到平面ABCD的高).SABCD=1,所以故滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為如圖中截面下方部分.故所求概率為故選A.

圖4

小結(jié)從上述例子可知,解決幾何概型的問(wèn)題主要先分析題目涉及到變量個(gè)數(shù),利用變量的個(gè)數(shù)把幾何概型問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體長(zhǎng)度、面積或體積這些幾何元素的比例問(wèn)題求解.